Второй этап Всероссийской олимпиады школьников (стр. 2 )

Вариант 27-9

1. Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.

2. В поле работают тракторные бригады, оснащенные одинаковым количеством гусеничных тракторов и одинаковым количеством колесных тракторов, причем в каждой бригаде число всех тракторов меньше 9. Если в каждой бригаде число колесных тракторов увеличить в 3 раза, а гусеничных - в 2 раза, то общее число колесных тракторов во всех бригадах будет на 27 больше общего числа гусеничных тракторов, а в каждой бригаде число тракторов превысит 20. Определить число бригад, работающих в поле, и число тракторов каждого вида в бригаде.

3. Найдите отношение двух числе, если отношение произведения этих чисел к сумме их квадратов равно 0,3.

4. Даны три точки на плоскости. Провести на плоскости прямую так, чтобы сумма расстояний от данных точек до этой прямой была наименьшей.

5. Найдите хотя бы одно натуральное число п такое, что каждое из чисел п, п+1, п+2,.., п+20. Имеет с числом 30030=2×3×5×7×11×13 общий делитель, больший единицы.

Вариант 28-9

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельная ее основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках и . Найти длину отрезка , если основания трапеции равны и .

2. Автобус отправляется из пункта А в пункт В и после шестиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же постоянной скоростью. На пути из А в В в 8 ч 50 мин автобус догоняет велосипедиста, который движется из А в В с постоянной скоростью 15 км/ч. В 9 ч 02 мин велосипедист находится на расстоянии 21 км от А. Автобус, возвращаясь из В в А после остановки в В, встречается с велосипедистом в 9 ч 14 мин и затем прибывает в А в то же время, когда велосипедист приезжает в В. Определить время отправления автобуса из А.

3. Найдите отношение двух чисел, если квадрат суммы этих чисел в 3 раза больше неполного квадрата разности этих чисел. Неполным квадратом разности двух чисел называется выражение вида:

4. Два зеркала образуют угол. На одно из них падает солнечный зайчик и отражается (угол падения равен углу отражения). Затем отраженный луч падает на второе зеркало или же уходит из угла (в зависимости от угла отражения) и. т. д. Может ли луч никогда не выйти из угла, ограниченного зеркалами?

5. В прямоугольнике 3 х 4 см расположено 6 точек. Докажите, что найдется пара точек, удаленных одна от другой не более чем на см.

Вариант 29-9

1. Директор завода ежедневно приезжает на вокзал в 8 часов утра. В это же время к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит директора на завод. Однажды директор приехал на вокзал в 7 часов утра, пошел пешком, встретил автомобиль и приехал на завод на 20 минут раньше обычного. В котором часу произошла встреча директора с автомобилем? Во сколько раз быстрее едет автомобиль, чем идет пешком директор?

2. С завода нa стройку нужно перевести 24 больших и 510 маленьких бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из которых вмещает 44 маленьких блока и имеет грузоподъемность 10 т. Масса маленького блока 0,2 т, большого - 3,6 т, причем большой блок занимает место 14 маленьких. Найти минимальное число рейсов, достаточное для пере возки всех блоков.

3. При каком значении параметра а, уравнение имеет один корень?

4. Корни уравнения с неизвестными коэффициентами равны . Найти корни уравнения .

5. Докажите, что для любых неотрицательных чисел a и b справедливо неравенство

.

Вариант 30-9

1. Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого поставлены 1500 точек так, что никакие из 1500 точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезают на треугольники, вершинами которых служат заданные 1500 точек. Сколько получится треугольников?

2. Смесь равных объемов двух веществ имеет массу г. Масса второго вещества в смеси равна массе 52/7 см3 первого вещества, а плотность второго вещества равна 1 г/см3. Найти объем каждого вещества в смеси.

3. При каком значении параметра а, уравнение имеет один корень?

4. Пусть p - простое число, . Известно, что при некотором натуральном n число содержит 20 цифр. Доказать, что среди них хотя бы 3 одинаковые.

5. Корни уравнения являются натуральными числами. Докажите, что - составное число.

Вариант 31-9

1. Несколько мальчиков собирали грибы. Один из них нашел 6 грибов, а остальные по 13. В другой раз за грибами отправилось другое число мальчиков. Один из них нашел 5 грибов, а все остальные по 10. Сколько мальчиков собирали грибы в первый и во второй раз, если известно, что в обоих случаях было собрано одинаковое число грибов, причем это число больше 100, но не превышает 200?

2. Первая и вторая бригады одновременно начали выполнять некоторую работу. Более чем через час после начала работы первую бригаду сменила третья, которая вместе со второй работала до завершения всей работы. На выполнение работы указанным способом ушло 5,5 ч. Первая бригада за все время, пока, она работала, сделала столько, сколько третья делает за час. Если бы первая бригада проработала на 6 ч больше, чем это было на самом деле, то она сделала бы столько же, сколько было сделано второй бригадой. Если бы три бригады все время работали вместе, то работа была бы выполнена в 1,5 раза быстрее, чем в действительности. Сколько времени работала первая бригада?

3.Найдите наибольшее целое значение параметра k, при котором уравнение не имеет действительных корней.

4.Решите уравнение: .

5.Дана таблица 4 х 4 клетки, в некоторых клетках которой расставляются звездочки. Докажите, что можно расставить так семь звездочек, что при вычеркивании любых двух строк и любых двух столбцов таблицы в оставшихся клетках всегда будет хотя бы одна звездочка. Докажите, что если звездочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.

Вариант 32-9

1. Вычислить сумму , если известно, что .

2. Поле имеет форму прямоугольника. На одной из его сторон на расстоянии до ближайшего угла, равном 1/10 этой стороны, стоит столб. Если пойти от столба до самого далекого угла по границе поля (по двум сторонам), то на это уйдет 1 ч 3 мин; если же пойти напрямик, то потребуется 45 мин. Чтобы пройти поле из угла в угол по диагонали, нужно более 48 мин. За сколько минут можно дойти от столба до ближайшего угла (скорость ходьбы Всегда одна и та же)?

3. При каком значении параметра т оба корня уравнения равны нулю:

4. На декартовой координатной плоскости xOy заданы четыре точки: А1(0;0), А2(0;2); А3(-2;-2), А4(4;0). Для каждой из этих точек укажите множество всех точек плоскости, расстояние от которых до этой точки не превышает расстояний до других трех точек (например, для точки А1 следует указать множество всех точек М таких, что ). Ответ обоснуйте.

5. Доказать, что если произведение трех положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.

Вариант 33-9

1. Три равные окружности с центрами в точках , и пересекаются в одной точке. Пусть , ,- другие точки пересечения этих окружностей. Доказать, что треугольники и равны.

2. Пункты А и В находятся на двух шоссе, пересекающих, друг друга под углом 1200 в точке С. Если идти из А в В сначала по первому шоссе до перекрестка С, а потом по второму, то потребуется 5 ч. Туристы идут из А в В напрямик без дороги и проделывают путь за 6,5ч. Если туристы пойдут без дороги напрямик от А до середины D отрезка шоссе СВ, то они затратят на путь АD более 5 ч. Сколько времени нужно, чтобы дойти от А по шоссе до перекрестка С, если скорость ходьбы без дороги в 1,5 раза меньше, чем скорость ходьбы по шоссе? (Шоссе считать прямым.)

3. При каких значениях параметра т оба корня уравнения равны нулю:

4. Найдите все действительные числа таким, что для некоторых натуральных чисел a, b, c число х0 будет большим корнем уравнения .

5. В трапеции и - основания, - точка пересечения диагоналей. Даны площади и . Найти площадь трапеции.

Вариант 34-9

1. Прямые, соединяющие середины дуг, которые стягиваются противоположными сторонами вписанного в окружность четырехугольника, взаимно перпендикулярны. Доказать это.

2. В детский сад привезли мороженое четырех видов. Каждый ребенок должен был выбрать одну порцию мороженого. Оказалось, что число выбранных порций каждого вида равно цене в копейках одной порции этого же вида. Число выбранных, порций второго вида больше числа выбранных порций первого вида на столько же, на сколько число выбранных порций четвертого вида больше числа выбранных порций третьего вида. Порций первого и третьего видов вместе было выбрано на 4 меньше, чем порций второго и. четвертого видов месте. Одна порция второго вида стоит дороже одной порции четвертого вида. За выбранное детьми мороженое уплатили 4 руб. 20 коп. Сколько. ребят в детском саду?

3. При каких значениях параметра т корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку.

4. Найдите все натуральные числа п такие, что каждая из цифр 0,1,2…9 встречается в десятичной записи только одного из чисел 6п, 9п, 13п, причем - только один раз.

5. Доказать, что сумма медиан треугольника больше его полупериметра и меньше периметра.

Вариант 35-9

1. Вычислить корень седьмой степени из числа

2. Заработная плата некоторой категории служащих повышалась два раза, причем процент повышения во второй раз был в два раза больше, чем в первый раз. Определить, на сколько процентов повышалась заработная плата каждый раз, если до первого повышения зарплата была 70 руб., а после второго она составила 92 руб. 40 коп.

3. При каких значениях параметра т корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

4. Постройте график функции

5. Дан острый угол и точка А внутри него. Построить минимального периметра, вершины В и С которого лежат на сторонах данного угла.

Вариант 36-9

1. В клетчатом квадрате 2003 х 2003 закрашены все клетки на обеих диагоналях. Сколько клеток остались незакрашенными?

2. Два трактора вспахивают поле, разделенное на две равные части. Оба трактора начали одновременно и каждый вспахивает свою половину. Через 5 ч после того момента, когда они совместно вспахали половину всего поля, выяснилось, что первому трактору осталось вспахать 1/10 часть своего участка, а второму - 4/10 своего участка. Сколько времени понадобится второму трактору, чтобы одному вспахать все поле?

3. Кофе при жарении теряет 12 % своей массы. Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить кг жаренного кофе?

4. Некоторые стороны клеточек шахматной доски размерами 8´8 выкрашены в красный цвет, остальные - в синий. За один шаг разрешается выбирать некоторую клетку доски и покрасить все её стороны одновременно в противоположный цвет. Всегда ли за несколько шагов можно сделать так, чтобы синими стали меньше четверти общего количества сторон клеток? Ответ обоснуйте.

5. Найти все значения , при которых корни многочлена удовлетворяют равенству .

Вариант 37-9

1. По окружности длиной 800 м едут два велосипедиста сначала в одном направлении, а потом в противоположных. В первом случае 1-й велосипедист обгоняет 2-го через каждые 24 мин., а во втором они встречаются через каждые 3 мин. Найти скорости велосипедистов

2. Пароход плывет от пристани А к пристани В и после десятиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же постоянной скоростью. На пути из A в В в 8 ч пароход догоняет лодку, которая движется из А в В с постоянной скоростью 3 км/ч. В 8 ч 10 мин лодка находится на расстоянии 1,5 км от A. Пароход, направляясь из В в А после стоянки в В, встречается в 8 ч 20 мин с лодкой и затем прибывает в А в то же время, когда приходит в В. Определить время прибытия лодки в В.

3. Яблоки при сушке теряют 85 % своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 10,5 кг сушенных?

4. Пусть положительные числа a, b, c и действительные числа x, y, z удовлетворяют равенству . Докажите, что .

5. Доказать, что если корнями многочлена являются числа и , а корнями многочлена - числа и , то справедливо равенство

.

Вариант 38-9

1. Существует ли выпуклый а) 12-угольник; б) 11-угольник, который можно разрезать на конечное число квадратов и правильных треугольников?

2. 24 школьника разбились на две группы. Первая из них пошла в цирк, а вторая - в кино. При этом оказалось, что на цирк и кино было затрачено одинаковое количество денег. Если бы билет в цирк стоил на 20 коп. дешевле, а билет в кино - на 20 коп. дороже, то, истратив на билеты в цирк и на билеты в кино те же суммы денег, в цирк и в кино смогли бы пойти вместе 15 школьников. Если бы при прежней стоимости билетов вторая группа школьников пошла в цирк, а первая группа – в кино, то на билеты в цирк ушло бы на 19 руб. 20 коп. больше, чем на билеты в кино. Сколько стоили билеты в цирк и в кино?

3. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию равна 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа.

4. На доске изображен треугольник АВС. Высота АН и биссектриса AL этого треугольника пересекают вписанную в треугольник окружность в разных точках M, N, P, Q соответственно. После этого рисунок вытерли, оставив лишь точки Н, М и Q. Восстановите треугольник АВС.

5. Доказать, что для любых положительных чисел справедливо неравенство

.

Вариант 39-9

1. В компании 5 мальчиков и 6 девочек. Может ли случиться так, что все девочки знакомы с разными количеством мальчиков, а все мальчики с одинаковым количеством девочек?

2. На 100 км пробега автомобиль новой модели расходует на 1,25 литра бензина меньше, чем старый, при этом на одном литре бензина старый автомобиль проходит на 4 км меньше, чем новый. Каков расход бензина на 100км пробега автомобилей новой и старой модели?

3. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию равна 87. Третье число меньше суммы первых двух на 5. Найти эти числа.

4. Докажите, что для длин сторон произвольного треугольника выполняется неравенство .

5. Внутри треугольника взята точка , для которой ,. Найти , если и .

Вариант 40-9

1. Упростить выражение

2. Мотоциклист отправляется из пункта А в пункт В и после десятиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же постоянной скоростью 48 км/ч. В момент отправления мотоциклиста из А навстречу ему из В в А выходит турист, идущий с постоянной скоростью. Турист встречается с мотоциклистом в 17 ч 15 мин. В 20 ч 55 мин турист находился на расстоянии 2 км от А. Направляясь из В в А после стоянки в В, мотоциклист догоняет туриста в 17 ч 35 мин. Определить время прибытия туриста в пункт С, находящийся на полпути между А и В.

3. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух чисел равна 25, а сумма второго и третьего равна 39. Найти эти числа.

4. В каждой клеточки таблицы 9´9 записаны знаки "+" или "-". Можно одновременно изменять все знаки на противоположные в любой строке или в любом столбце таблицы. Всегда ли можно добиться, чтобы за несколько шагов во всех строках и во всех столбцах таблицы плюсов было больше, чем минусов?

5. Биссектрисы ,, треугольника пересекаются в точке . Доказать, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники ,, ,, и равны, то треугольник равносторонний.

Вариант 41-9

1. Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС лежит внутри заданного прямого угла. Концы гипотенузы АВ скользят по сторонам данного угла: одна - вдоль одной стороны, вторая - вдоль второй. Как при этом будет двигаться вершина С (по какой линии)?

2. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 т, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом все равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 т, однако понадобилось еще на пять вагонов больше, но при этом все вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

3. Три числа образуют арифметическую прогрессию Сумма первых двух чисел равна 132, а отношение третьего к первому равно 3. Найти эти числа.

4. В прямоугольном треугольнике АВС точка О - середина гипотенузы АВ. На отрезке АС взяли точку М, а на отрезке ВС - точку К так, что угол МОК прямой. Докажите, что ..

5. Улитка ползет из точки по плоскости, поворачивая на через каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку только через целое число часов (скорость улитки считается постоянной).

Вариант 42-9

1. Существуют ли действительные числа a, b, c (a¹0) такие, что все действительные корни уравнения будут корнями уравнения ?

2. В двух колоннах, по 28 автомобилей в каждой, было 11 "Жигулей", остальные - "Москвичи". Сколько "Москвичей" было в каждой колонне, если известно, что в первой из них на каждую машину "Жигули" приходилось в два раза больше "Москвичей", чем во второй?

3. Вычислить указанную сумму чисел:

4. Найдите все такие пары действительных чисел a и b, для которых квадратные уравнения и имеют по крайней мере один общий корень.

5. Решить в натуральных числах уравнение .

Вариант 43-9

1. Решите неравенство: .

2. Брат и сестра собрали каждый по 40 грибов, ИЗ них 52 белых гриба. Сколько белых грибов собрал каждый, если известно, что отношение числа белых грибов к числу остальных грибов у брата в 4 раза больше, чем у сестры?

3. Решить уравнение .

4. Если a и b корни уравнения , то чему равно число ?

5. Сосновый лес растет на участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Зная, что весь этот лес состоит их 4500 деревьев диаметра 50 см, доказать, что в лесу можно выбрать прямоугольную площадку , на которой не растет ни одно дерево.

Вариант 44-9

1. Постойте график функции: .

2. В лотерее разыгрывались фотоаппараты, часы, шариковые ручки и транзисторные приемники на общую сумму 240 руб. Сумма цен одного транзисторного приемника и одних часов на 4 руб. больше суммы цен одного фотоаппарата и одной ручки, а сумма цен одних часов и одной ручки на 24 руб. меньше суммы цен одного фотоаппарата и одного приемника. Цена ручки равна целому числу рублей, не превосходящему 6. Число выигранных фотоаппаратов равно цене (в рублях) одного фотоаппарата, поделенной на 10, число выигранных часов равно числу выигранных приемников и равно числу выигранных фотоаппаратов. Количество выигранных ручек в 3 раза больше числа выигранных фотоаппаратов. Сколько было выиграно фотоаппаратов, часов, ручек и приемников?

3. Определить четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 27 , сумма средних равна 18.

4. Города А и В расположены на реке на расстоянии 10 км друг от друга. На что пароходу потребуется больше времени: проплыть от А до В и обратно или проплыть 20 км по озеру?

5. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определить скорость трамвая.

Вариант 45-9

1. Найдите все такие тройки простых натуральных чисел p, q, r, для которых простыми будут также числа .

2. Два лыжника стартовали друг за другом с интервалом в 6 минут. Второй лыжник догнал первого в двух километрах от точки старта. Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 1 км от точки поворота. Найти скорости лыжников.

3. Упростить выражение

4. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу. Так, на втором месте стоит число 14, так как 72=49, а 4+9+1=14, на третьем месте – число 17 и так далее. Какое число стоит на 1000-м месте?

5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

.

Вариант 46-9

1. Пусть - натуральные числа, сумма которых делится на 30. Доказать, что делится на 30.

2. Шестизначное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, то получится втрое большее число. Найдите это число

3. Корзина наполнена яблоками. Если их вынимать по два, по три, по четыре, по пять и по шесть, в корзине остается по одному яблоку, а если вынимать по семь, то остатка не будет. Сколько яблок в корзине, если она может вместить не более 500 штук?

4. Какое из чисел обладает такими свойствами: оно четное, все его цифры различны, а число сотен в два раза больше числа единиц?

5. Биссектриса угла треугольника пересекает дугу (не содержащую точку ) описанной около треугольника окружности в точке . Отрезок делится стороной в отношении (считая от вершины ). Найдите периметр треугольника , если .

Вариант 47-9

1. Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Доказать, что существует прямая, пересекающая хотя бы 4 из этих окружностей.

2. В некотором царстве выпускают монеты достоинством в 1 грош, 2 гроша, 3 грошей и 5 грошей. Докажите, что любую сумму грошей, превосходящую 7, можно набрать трехгрошевыми и пятигрошевыми монетами.

3. Доказать, что число делится без остатка на 10.

4. Решить уравнение

5.Решите уравнение

Вариант 48-9

1. Доказать, что площадь любого параллелограмма, который лежит внутри треугольника, не превосходит половины площади этого треугольника.

2. При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 10, по 9 и по 8 очков. Сделав несколько выстрелов, он выбил 90 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие попадания имели место?

3. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

4. 5=1. Желая доказать, что 5=1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и –2. При возведении этих чисел в квадрат получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Найдите ошибку в этих рассуждениях?

5. Новому главе Центробанка вручили список из 12 коммерческих банков, срочно нуждающихся в кредитах. Чтобы не запутаться, он распорядился выдавать каждый день по одному кредиту каким-то четырем подряд идущим в списке банкам. Через несколько дней оказалось, что банки (в соответствии со списком) имеют следующее количество кредитов:

2,6,7,7,8,9,8,10,13,8,8,2 . Докажите, что некоторые банки взяли кредиты на стороне.

Вариант 50-9

1. Освободитесь от радикалов в знаменателе дроби .

2. В неравнобедренном треугольнике из одной вершины проведена высота, биссектриса и медиана. Докажите, что биссектриса находится между высотой и медианой.

3. Доказать, что при любом натуральном выражение есть квадрат целого числа.

4. По окружности длиной 800 м едут два велосипедиста сначала в одном направлении, а потом в противоположных. В первом случае 1-й велосипедист обгоняет 2-го через каждые 24 мин., а во втором они встречаются через каждые 3 мин. Найти скорости велосипедистов.

5. Можно ли равносторонний треугольник со стороной 9 см разрезать на два треугольника, периметры которых равны 20 см и 23 см?