Второй этап Всероссийской олимпиады школьников (стр. 1 )

учебного года по математике

Ставропольский край

Второй этап Всероссийской олимпиады школьников

учебного года по математике

Ставропольский край

Вариант 1-9

1. Корни уравнения являются натуральными числами. Докажите, что - составное число.

2. В сосуд емкостью 6 л налито 4 л 70%-го раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3 л 90%-го раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился r %-й раствор серной кислоты? Найти все r при которых задача имеет решение.

3. Вычислить .

4. Доказать, что для любого натурального n

5. Точки А и В движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям с центрами О1 и О2 соответственно (по часовой стрелке). Докажите, что вершина С правильного треугольника АВС также движется равномерно по некоторой окружности.

Вариант 2-9

1. Вычислить, не пользуясь калькулятором

2. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль и одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, доехав до пункта В, тотчас повернул назад и догнал велосипедиста через 2 ч после момента первой встречи. Сколько времени после первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5 всего пути от В до А?

3. Никита сложил квадратный лист бумаги пополам, потом еще раз и еще раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он получил?

4. Функция , имеющая период Т=5, задана графиком на промежутке . Найдите значение этой функции при x=11.

5. п точек соединены непересекающимися отрезками так, что из каждой точки можно пройти в каждую из остальных по этим отрезкам, причем нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями. Докажите, что число отрезков п-1.

Вариант 3-9

1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти сумму длин катетов.

2. Из города А в город В выезжает велосипедист, а через 3 ч после его выезда из города В навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в три раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между А и В. Если бы мотоциклист выехал не через 3, а через 2 ч после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к А. Найти расстояние между городами А и В.

3. Упростить и вычислить при x=; y=9

4. Найдите значение выражения , если равенство верно для всех .

5. В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Вариант 4-9

1. Решить уравнение и сумму корней умножить на НОД(180;120).

2. Две трубы, действуя вместе в течение 1 ч, наполняют водой 3/4 бассейна. Если сначала первая труба наполнит 1/4 часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем воды до 3/4 бассейна, то на это понадобится 2,5 ч. Если первую трубу включить на l ч, а вторую - на полчаса, то они наполнят бассейн более чем наполовину. За какое время наполняет бассейн каждая труба?

3. Найти все дробные корни уравнения

4. Известно, что , где x1 и x2-корни уравнения . Определить x1+x2 и результат умножить на

5. Докажите, что не существует целых чисел a, b, c, d таких, что выражение равно 1 при х=19 и равно 2 при х=62.

Вариант 5-9

1. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

2. Два бегуна стартуют из одной точки кольцевой дорожки стадиона, а третий бегун стартует одновременно с ними в том же направлении из диаметрально противоположной точки. Пробежав 3 круга, третий бегун впервые после старта догнал второго. Через 2,5 мин после этого первый бегун впервые догнал третьего. Сколько кругов в минуту пробегает второй бегун, если первый обгоняет его один раз через каждые 6 мин?

3. Среди решений (х: у) системы уравнений найти то, для которого сумма (x+y) максимальна

4. Построить график функции

5. Из середины М основания АС равнобедренного треугольника АВС опущен перпендикуляр МН на сторону ВС. Точка Р – середина отрезка МН. Докажите, что АН ^ ВР.

Вариант 6-9

1. Решить уравнение и наибольший корень умножить на НОД(231; 130)

2. Два гонщика стартуют одновременно из двух точек круговой трассы: первый из точки А, второй из точки В, и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их первых 13 встреч на трассе после старта только третья и тринадцатая состоялись в точке А. Найти отношение скорости первого гонщика к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из гонщиков проехал не менее одного круга.

3. На производство костюма было израсходовано 2,8 квадратных метра ткани. Площадь ткани, израсходованной на пиджак, брюки и жилетку, относятся как 7:5:2. Сколько ткани пошло на брюки?

4. Доказать, что уравнение не имеет корней.

5. Даны положительные числа а1, а2, …,ат; b1, b2, …, bn, причем . Докажите, что в пустую таблицу, из т строк и п столбцов можно поставить не более, чем т+п-1 положительных чисел так, чтобы сумма чисел в i-строке равнялась ai, а сумма чисел в k-столбце равнялась bk.

Вариант-7-9

1. В таблице одна из клеток закрашена черным цветом, остальные - белым. Можно ли, перекрашивая целиком строчки или целиком столбцы, добиться того, чтобы все клетки стали белыми?

2. Два парохода, скорость которых в стоячей воде одна и та же, отправляются от двух пристаней: первый пароход от пристани А вниз по течению, второй - от пристани В вверх по течению. Каждый пароход, дойдя до конечного пункта, стоит там 45 мин и возвращается обратно. Если пароходы отправляются от начальных пунктов одновременно то на обратном пути они встречаются в точке К, которая в два раза ближе к А, чем к В. Если первый пароход отходит от А на 1 ч позже, чем второй пароход отходит от В, то на обратном пути пароходы встречаются в 20км от А. Если первый пароход отходит от А на 30 мин раньше, чем второй отходит от В, то на обратном пути они встречаются на 5 км выше К. Найти скорость течения реки и время, за которое второй пароход доходит от А до К.

3. Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 68 см. Определите радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64 см.

4. Построить график функции

5. Натуральные числа a и b взаимно просты. Докажите, что наибольший общий делитель чисел a+b и a2+b2 равен 1 или 2.

Вариант 8-9

1. Когда Коля был молод, как Оля, много лет было тетушке Поле – годом меньше, чем Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тетушка Поля была в возрасте Коли?

2. Автозавод изготовляет легковые и грузовые автомобили. В первый день было изготовлено грузовых автомобилей на 100 машин больше, чем легковых. Во второй день было изготовлено легковых автомобилей на 150 машин больше, чем в первый день, а грузовых машин - на 50 больше, чем в первый день. Сколько легковых и сколько грузовых автомобилей было изготовлено в первый день, если во второй день было изготовлено машин в 1,2 раза больше, чем в первый?

3. Решить уравнение

4. Доказать, что для любых значений уравнение имеет хотя бы одно решение.

5. Даны п различных положительных чисел а1, а2, …,ап. Из них составляются всевозможные суммы с любым числом слагаемых (от 1 до п). Докажите, что среди этих сумм найдется по крайней мере п(п+1)/2 попарно различных.

Вариант 9-9

1. Решить систему уравнений и в ответе указать произведение , где n-число решений системы уравнений.

2. Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи одинакового поперечного сечения длиной в 960 и 180 м. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых первый экскаватор прокладывал большую траншею. Второй же экскаватор начал работать на 6 дней позднее первого, отрыл меньшую траншею, 3 дня ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нужно было тратить времени на ремонт, то работа была бы закончена за 21 день. Сколько метров траншеи может отрыть в день каждый экскаватор?

3. Найдите наибольшее целое значение функции

4. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа .

5. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой – целые положительные числа. Один из них – полный квадрат. Докажите, что прогрессия содержит бесконечно много полных квадратов.

Вариант 10-9

1. При каких значениях x числа 3, 3x+1, являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии?

2. Русло реки разделяется длинной отмелью на две протоки одинаковой длины, но с разной скоростью течения. Две байдарки, имеющие в стоячей воде одинаковую скорость, выходят одновременно по течению: первая в левую протоку, вторая - в правую. Первая байдарка прошла свою протоку на

5 мин быстрее, чем вторая. Затем они поднялись против течения теми же протоками, и при этом вторая байдарка прошла свой путь на 30 мин быстрее, чем первая. Если бы скорость байдарок в стоячей воде была в два раза больше, то обратный путь вторая байдарка прошла бы на 4 мин быстрее, чем первая. За какое время первая байдарка прошла свою протоку, идя вниз по течению?

3. Четная функция f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции вычислите сумму .

4. Найдите трехзначное число, зная, что сумма всевозможных двухзначных чисел, записываемых его цифрами, равна удвоенному искомому числу.

5. Докажите, что т(т+1) не являются степенью целого числа ни при каком натуральном т.

Вариант 11-9

1. Решить уравнение .

2. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Какой процент примесей в руде?

3. Вычислить

4. Две окружности пересекаются в точках К и М. В них проводятся диаметры КА и КВ. Докажите, что точки А, М, В лежат на одной прямой.

5. Найдите наибольший полный квадрат такой, что после вычеркивания двух его последних цифр получается снова полный квадрат (предполагается, что одна из вычеркиваемых цифр – не ноль).

Вариант 12-9

1.В ромбе , диагонали которого ,из вершины С тупого угла проведены две высоты: ,. Вычислить площадь .

2.Имеются три слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй - 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, То получится слиток, содержащий 60% меди. Найти массу третьего слитка и процент содержания меди в нем.

3.Решить уравнение и произведение корней умножить на выражение

4.На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки D и Е так, что AD=DB/2, BE=EC. Отрезки CD и АЕ пересекаются в точке F. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AFD равна S.

5.Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка, отсекаемого боковыми сторонами треугольника на касательной к вписанной окружности, проведенной параллельно основанию, если периметр треугольника равен 2р?

Вариант 13-9

1. Про неотрицательные действительные числа a, b, c известно, что все они не превышают 1. Доказать, что.

2. С маяка, находящегося в море на расстоянии 500 м от берега, видна лишь передняя стена пристани длиной 40 м. Между маяком: и берегом параллельно передней стене пристани движется пароход длиной 50 м с постоянной скоростью 5 м/с. Пароход загораживает всю пристань от смотрителя маяка в течение 4 с. Каково расстояние парохода от берега? (Считать, что берег прямолинейный и передняя стена пристани идет вдоль берега. Шириной корабля пренебречь.)

3. Решить уравнение и корни уравнения умножить на расстояние между точками пересечения кривой с осью ОХ.

4. Пусть . Вычислите величину .

5. Можно ли разместить 1965 точек в квадрате со стороной 1 так, чтобы в любой прямоугольник площади 1/200 со сторонами параллельными сторонам квадрата, содержал внутри себя хотя бы одну из этих точек?

Вариант 14-9

1. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD ÐCBD=ÐCAB, ÐACD=ÐBDA, ÐABC=ÐADC, то ÐABC=ÐADC.

2. Двое рабочих выполнили всю работу за 10 дней, причем последние два дня первый из них не работал. За сколько дней первый рабочий выполнил бы всю работу, если известно, что за первые 7 дней они вместе выполнили 80% всей работы?

3. Сколько имеется составных чисел среди натуральных чисел от 2 до 15 включительно?

4. Докажите, что ни при каком целом положительном n число не является полным квадратом.

5. Последовательность а1, а2, … образована по следующему правилу:

. Докажите, что

Вариант 15-9

1. Решите уравнение:

2. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода достиг мотоциклист?

3. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в семье сестер и братьев?

4. Доказать, что при любом целом n число - целое.

5. Медианы разбивают треугольник АВС на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей вписанных в этих треугольники равны. Докажите, что треугольник АВС правильный.

Вариант 16-9

1. Десятичная запись произведения некоторых 25 натуральных чисел заканчивается на 25. Доказать, что среди этих чисел можно выбрать такие три числа, что десятичная запись их произведения будет также заканчиваться на 25.

2. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через 1 ч из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль, который прибыл в пункт В одновременно с грузовым автомобилем. Если :бы грузовой и легковой автомобили одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, то они встретились бы через 1 ч 12 мин после выезда: Сколько времени провел в пути от А до В грузовой автомобиль?

3. Найти среднее арифметическое корней уравнения , где р – среднее арифметическое чисел и

4. На каждой стороне картонного листа нарисованы карты, изображающие по 10 стран. Страны на одной стороне закрашены десятью разными красками. Доказать, что теми же красками страны на другой стороне листа можно закрасить так, чтобы они были разного цвета, а общая площадь участков картона, закрашенных с двух сторон в один цвет, была меньше 0,1.

5. Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АС в точке К. Докажите, что прямая, соединяющая середину стороны АС с центром вписанной окружности, делит отрезок ВК пополам.

Вариант 17-9

1. Доказать, что удовлетворяет уравнению:

.

2. Из двух жидкостей, плотности которых равны 2 г/см3 и 3 г/см3 соответственно, составлена смесь. Сколько граммов каждой жидкости взято и какова плотность смеси, если 4 см3 смеси весят в десять раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см3 смеси весят столько же, сколько вся вторая жидкость, входящая в ту же смесь?

3. Как нужно разрезать циферблат часов на 6 частей так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинакова.

4. Найти наименьшее значение выражения , где , , ,- действительные числа.

5. а, b, c и d – положительные числа. Докажите, что среди неравенств

есть хотя бы одно неверное.

Вариант 18-9

1. Доказать, что для кубического уравнения между корнями и коэффициентами существует зависимость

2. Имеются два раствора одной и той же соли в воде. Для получения смеси, содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого раствора вдвое больше по массе, чем второго. Через неделю из каждого килограмма первого и второго раствора испарилось по 200 г воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требуется первого раствора уже вчетверо больше по массе, чем второго. Сколько граммов соли содержал ось первоначально в 100 г каждого раствора?

3. Определите, какое из чисел обладает таким свойством: оно четное, все его цифры различны, а число сотен в два раза больше числа единиц?

4. В ряд выписали 40 разных положительных чисел, любые из которых меньше 1. Сумма чисел, которые стоят на местах с четными номерами, на 1 больше суммы чисел, которые стоят на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду существует число, которое меньше обоих своих соседей.

5. Докажите, что для любого натурального п найдется число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на 2п.

Вариант 19-9

1. В ряд выписали 40 разных положительных чисел, любые из которых меньше 1. Сумма чисел, которые стоят на местах с четными номерами, на 1 больше суммы чисел, которые стоят на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду существует число, которое меньше обоих своих соседей.

2. Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В и С. в первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 3:5, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:2, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?

3. Сумма числителя и знаменателя дроби равна 2005, а после сокращения этой дроби получилось число 400. Определите сумму цифр числителя первоначальной дроби.

4. Среди 101 монеты 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 грамм. Одним взвешиванием на весах со стрелкой (которая показывает разность масс на чашах) определить, является ли данная одна монета фальшивой.

5. Квадратный трехчлен таков, что уравнение не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение также не имеет вещественных корней

Вариант 20-9

1. Целые числа x, y, z такие, что . Докажите, что число является квадратом целого числа.

2. Три одинаковых сосуда наполнены спиртом, Из второго и третьего сосудов отливают по а л (строго больше половины) спирта и доливают водой. Затем из третьего сосуда отливают а л смеси и доливают его водой. После этого объем спирта в первом и втором сосудах, вместе взятых, в 6/5 раза больше, чем объем спирта в первом и третьем сосудах, вместе взятых. Какую часть объема сосуда составляют а л?

3. Определите число, которое получается, если к 2005 прибавится 2005 сотых.

4. На плоскости даны 12 точек, расстояния между которыми не превышают 3 см. Можно ли утверждать, что из этих 12 точек можно выбрать 4 таких, все расстояния между которыми не превышают 2 см?

5. Среди чисел вида , где k, l – натуральные числа. Найдите наименьшее по абсолютной величине из этих чисел. Докажите, что найденное число, действительно, наименьшее.

Вариант 21-9

1. Пусть т - натуральное число. Доказать, что число - целое и нечетное.

2. В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых оленей. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце года совхоз купил 700 голов. В конце второго года стадо составляло 4400 голов. Определить процент естественного прироста.

3. Даны числа 10т-7к=0; 10т-3к=0; 3т-10к=0; 7т-10к=0; 7т-3к=0. Какое из данных равенств означает, что т составляет 30 % от к?

4. На координатной плоскости изобразить множество всех точек , координаты которых удовлетворяют условию . Указать все точки из этого множества, для которых сумма : а) наименьшая; б) наибольшая.

5. Докажите, что для положительных a, b, c имеет место неравенство

Вариант 22-9

1. У Малыша есть 100 палочек разной длины. Докажите, что сломав не больше двух из них (любую - на две части), он сможет из всех палочек составить прямоугольник.

2. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число. если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

3. Что получиться, если разделить на ?

4. На плоскости даны 100 точек Никакие три из них не лежат на одной прямой. Через точку 0 проходит прямая так, что по одну сторону от нее лежат 48 точек. Существует ли прямая, проходящая через 0, по одну сторону от которой лежат: а) 49 точек? б) 47 точек?

5. Докажите, что ни при каком натуральном т число не делится на

Вариант 23-9

1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой , равной 2 см, проведены медианы и . Около четырехугольника можно описать окружность. Найти длины медиан и .

2. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10 % больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59 %.

3. Даны числа ; ; ; ; . Какие из этих чисел являются полными кубами?

4. Доказать, что если p-простое число, , то числитель дроби делится на p.

5. Найти х и у из системы уравнений

a, b – данные числа.

Вариант 24-9

1. Дано квадратное уравнение вида . Составить такое квадратное уравнение, чтобы его корни были на данную величину больше корней данного уравнения.

2. В пустой резервуар по двум трубам одновременно начинают поступать чистая вода и раствор кислоты постоянной концентраций, После наполнения резервуара в нем получился 5 %-й раствор кислоты. Если бы в тот момент, когда резервуар был наполнен наполовину, подачу воды прекратили, то после наполнения резервуара получили бы 10 %-й раствор кислоты. Определить, какая труба подает жидкость быстрее и во сколько раз.

3. Найдите число, удвоенный квадрат которого равен этому числу, уменьшенному в три раза.

4. Сумма натуральных чисел равна 1001. Найти наибольшее возможное значение наибольшего общего делителя этих чисел.

5. Имеет ли уравнение решения в простых числах x, y, z.

Вариант 25-9

1. Пусть О - точка пересечения диагоналей АС и BD прямоугольной трапеции ABCD (BC || AD, ÐA=ÐB=900); М - основание перпендикуляра, опущенного из точки О на боковую сторону AB. Доказать, что ÐСМО=ÐDMO.

2. Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами, по 60 ящиков в каждой; при этом в 21 ящике были груши, а в остальных - яблоки. Сколько ящиков с грушами были в каждой машине, если известно, что в первой машине на один ящик с грушами приходилось в три раза больше ящиков с яблоками, чем во второй?

3. Произведение двух последовательных натуральных чисел в два раза больше меньшего из них. Найдите эти числа.

4. Сколько существует квадратов, вершины которых находятся в узлах квадратной сетки внутри прямоугольника , а стороны параллельны сторонам сетки?

5. Задано число а. Найдите наименьшее значение площади прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат ОХ и ОУ, и содержащего фигуру определяемую системой неравенств

Вариант 26-9

1. Даны прямая и точка С вне ее. Пусть МСР - прямоугольный треугольник, вершина Р которого лежит на прямой (угол С - прямой). Предположим, что точка Р движется по прямой , а площадь треугольника МСР остается постоянной. Какую линию опишет точка М?

2. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Одна девочка ходит в детский сад. Таня старше Юры, а суммы лет Тани и Светы делится на три. Сколько лет Лене?

3. Закончите фразу так, чтобы получилось неверное утверждение: «Для всякого числа х найдется такое число у, что…»

1)  ,

2) ,

3),

4) ,

5) .

4. Узнать, через сколько минут после того, как часы показывали 9 часов, минутная стрелка догонит часовую.

5. Двое рабочих заняты на одной и той же работе. Сначала один проработал треть того времени, которое требуется второму для выполнения всей работы, потом второй проработал треть того времени, которое потратил бы первый на выполнение всей работы. После этого оказалось, что выполнено всей работы. Сколько времени потребуется для выполнения работы каждому рабочему в отдельности, если вместе они могут выполнить ее за часа.