Второй этап Всероссийской олимпиады школьников (стр. 3 )

Вариант 51-9

1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби

2. В квадрат размером 2 X 2 брошены пять точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит .

3. Если от задуманного числа отнять 7, то оно разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, а если отнять от него 9, то оно разделится на 9. Какое число было задумано?

4. В параллелограмме проведены биссектрисы углов между диагоналями. Докажите, что их пересечения со сторонами параллелограмма будут вершинами ромба.

5. Построить график функции .

Вариант 52-9

1. Углы ромба ABCD равны 600. На АВ и ВС взяты соответственно точки К и М так, что АК=ВМ. Найдите углы треугольника DKM.

2. Имеются два сосуда емкостью 3 л и 5 л. Как можно, пользуясь этими сосудами, налить из крана ровно 4 л воды в большой сосуд?

3. Найти сумму

4. Докажите, что если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и отсекает от второй стороны отрезок, равный третьей части этой стороны, считая от третьей стороны, то эта прямая отсекает от продолжения третьей стороны отрезок, равный этой стороне.

5. Построить график функции .

Вариант 53-9

1. Найдите двузначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его цифр.

2. Расшифруйте запись: РЕШИ+ЕСЛИ=СИЛЕН

(здесь зашифровано сложение двух четырехзначных чисел: различные цифры зашифрованы различными буквами; совпадающие цифры – одной и той же буквой; предполагается, что Е=Ё).

3. Периметр ромба равен , сумма его диагоналей . Найти площадь ромба.

4. В треугольнике с углом 1200 стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найдите стороны треугольника.

5. Корень трехчлена умножили на корень трехчлена и получили произведение, равное 1. Найдите эти корни.

Вариант 54-9

1. Если 90 % числа равны , то чему равно это число?

2. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС, если даны его углы и отрезок

3. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

4. Доказать, что если натуральное число не делится на 5, то делится на 100.

5. Найти все значения параметра , при которых уравнение

Вариант 55-9

1. Упростить выражение

2. Двое играют в следующую игру. Имеются две кучки спичек. Один игрок выбрасывает какую-нибудь кучку, а оставшуюся кучку разбивает на две. Следующий игрок поступает точно также. И т. д. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход из-за того, что в каждой кучке осталось по одной спичке. Кто выиграет при правильной игре: начинающий игру или его противник, если вначале в кучках было 100 и 111 спичек?

3. Найти двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату.

4. Двое играющих поочередно вынимают из двух ящиков шары. В свой ход каждый может брать из любого(только одного) ящика произвольное число шаров. Выигравшим считают того, кто берет последним. Как должен играть начинающий, чтобы выиграть, если в одном ящике 73 шара, а в другом 118?

5. Найти все значения параметра , при которых неравенство верно для любого .

Вариант 56-9

1. Найдите значение выражения , если х=9, у=49.

2. Имеются три сосуда емкостью 3 л, 3 л и 7 л. Можно ли, пользуясь этими сосудами, налить в большой сосуд ровно 5 л воды?

3. Даны два целых числа и . Доказать, что число - четное.

4. Разложить на целые рациональные множители выражение .

5. Дан окружность и хорда . Найти множество середин ломаных , где - любая точка окружности.

Вариант 57-9

1. Докажите, что если , то .

2. Мальчик Вова при возведении в квадрат натурального числа получил многозначное число, все цифры которого – нечетные числа. Докажите, что Вова допустил ошибку в вычислениях.

3. Некоторое шестизначное число начинается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть и приписать единицу справа, то получим втрое большее число. Найти это число.

4. Доказать, что дробь, дополняющая несократимую дробь до 1, также несократима.

5. Завод изготовил две партии изделий. На первую партию затратил на 20%, а на вторую партию на 25% больше, чем планировалось. Общие затраты превысили планируемые на 23% и составляют 246 тысяч рублей. Какие затраты планировались на каждую партию?

Вариант 58-9

1. В треугольнике угол больше угла . Докажите, что длина стороны больше половины длины стороны .

2. Имеются равноплечные весы. Какое наименьшее число разновесок (гирек) следует взять, чтобы на этих весах можно было взвесить любое целое число граммов от 1 г до 100 г? При взвешивании разновески укладываются только на одну чашу весов.

3. Пусть и корни квадратного уравнения . Вычислить .

4. Дан выпуклый многоугольник. Внутри взята произвольная точка M. Из нее опускаются перпендикуляры на стороны многоугольника или на их продолжение. Доказать, что по крайней мере один перпендикуляр пересечет сторону многоугольника, а не ее продолжение.

5. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет два различных положительных корня.

Вариант 59-9

1.Найдите наибольшее отношение трехзначного числа к сумме его цифр.

2.Пусть п – четное число. Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на п равных фигурок, не являющимися прямоугольниками.

3.Решить уравнение

4.Доказать, что уравнение не имеет решений в целых положительных числах.

5.Имеется 552 гири весом 1г,2г,3г,…,552г. Разложить их по три равные по весу кучки.

Вариант 60-9

1. Докажите, что все точки пересечения парабол и лежат на одной окружности.

2. Докажите, что с помощью разновесок (гирек) весом 5 г и 7 г на равноплечных весах можно взвесить груз весом в любое целое число граммов, превышающее 24. Разновески укладываются только на одну чашу весов.

3. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD вне его построены правильные треугольники BCM и CDN. Доказать, что треугольник AMN равносторонний.

4. Пароход движется из пункта А в направление пункта В со скоростью 40 км/ч, а яхта движется из В в направлении, перпендикулярном к ВА, со скоростью 16 км/ч. Через сколько времени расстояние между ними будет наименьшим, если км?

5. Найти значения и , при которых значение многочлена наименьшее, если .

Вариант 61-9

1. Найти сумму

2. На плоскости даны две окружности и точка А. Постройте отрезок, концы которого лежали бы на двух данных окружностях, и такой, что точка А является его серединой.

3. Среди четырех монет одна фальшивая. Она отличается весом, однако неизвестно, легче она или тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах обнаружить фальшивую монету, выяснив попутно, легче она или тяжелее настоящей, если имеется одна гиря массой 5 г.

4. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения непараллельных сторон трапеции, делит ее основание на равные части.

5. На олимпиаду пришли 10 учащихся из одного класса. Сколькими способами их можно распределить по четырем аудиториям, в которых они будут писать работу?

Вариант 62-9

1. Найдите значение выражения

2. Докажите, что в правильный пятиугольник нельзя вписать правильный семиугольник. Вписать означает, что все вершины должны лежать на сторонах пятиугольника.

3. Найти сумму

4. Найти четырехзначное число, равное четвертой степени суммы его цифр.

5. Дан угол и точка внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.

Вариант 63-9

1. Решить уравнение .

2. От вершины прямого угла по его сторонам одновременно начинают двигаться две материальные точки, скорости которых равны 5 см/с и 12 см/с. Через какое время расстояние между ними будет равно 52 см?

3. Решить неравенство

4. Сумма нескольких последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, равна трехзначному числу, все цифры которого одинаковы. Сколько взято чисел?

5. Даны точки - середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Построить четырехугольник.

Вариант 64-9

1. Решить уравнение .

2. С аэродрома вылетели одновременно два самолета: один – на запад, другой – на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолетов, если скорость одного составляла 75 % скорости другого.

3. Упростить выражение

4. В треугольник вписана окружность. Доказать, что точки касания окружности со сторонами треугольника, являются вершинами остроугольного треугольника.

5. Дан угол и две точки и внутри него. Как направить луч света из точки , чтобы он отразившись сначала в стороне , а затем в стороне , попал в точку ?

Вариант 65-9

1. Решить уравнение

2. Катер прошел 18 км по течению реки, а затем 20 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 20 км/ч.

3. Упростить выражение

4. Два железнодорожных пути пересекаются в точке О под углом . К месту пересечения одновременно выезжают два поезда, один со станции А, находящейся в 30 км, другой со станции В - в 60 км от точки О. Первый поезд идет со скоростью 60 км/ч, второй 30 км/ч. Через сколько времени поезда будут на наименьшем расстоянии друг от друга? Как велико это расстояние?

5. Доказать, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырехугольника, как на диаметрах, покроют весь четырехугольник.

Вариант 66-9

1. Решить уравнение .

2. Магнитный железняк содержит 70 % чистого железа. Сколько нужно взять магнитного железняка, чтобы в нем содержалось 80,5 т чистого железа?

3. При каком значении а, уравнение имеет два корня, причем один корень в два раза больше другого?

4. В прямоугольном треугольнике ACB проведен перпендикуляр CH на гипотенузу AB. Доказать, что сумма длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, CAH, CBH, равна длине перпендикуляра CH.

5. Доказать, что расстояние до любой точки окружности, описанной около правильного треугольника до одной из его вершин равно сумме расстояний от точки до двух его вершин.

Вариант 67-9

1. Какое число больше или ?

2. В сплаве олова и меди медь составляет 85 %. Сколько нужно взять сплава, чтобы в нем содержалось кг олова?

3. Решить уравнение

4. Все целые числа от 1 до 100 выписаны подряд. Вычеркнуть из образовавшегося числа 100 цифр так, чтобы полученное в результате вычеркивания число было наибольшим.

5. В четырехугольнике точка - середина , - середина .Доказать, что середины отрезков являются вершинами параллелограмма.

Вариант 68-9

1. Доказать, что делится на 6.

2. У двузначного числа п – цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Определите число п, которое будет обязательно нечетным или четным, или делится на 3, или делится на 6, или меньше 20.

3. Решить неравенство

4. Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого большая диагональ минимальна.

5. Доказать, что прямая, разбивающая данный многоугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник.

Вариант 69-9

1. Доказать неравенство .

2. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 5 дает в остатке 4 и при делении на 6 дает в остатке 5.

3. Решить неравенство .

4. В треугольник АВС вписана окружность. Точки касания этой окружности являются вершинами второго треугольника, в который также вписана окружность. Ее точки касания являются вершинами третьего треугольника, углы которого равны углам треугольник АВС. Найти эти углы.

5. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

Вариант 70-9

1. Доказать, что для любых ненулевых значений корни многочлена удовлетворяют равенству .

2. На рисунке изображены квадрат и 5 одинаковых касающихся кругов. Площадь каждого из кругов равна 1. Вершины квадрата расположены в центрах внешних кругов. Чему равна площадь закрашенной области.

3. Найдите значение выражения , если х=9, у=49.

4. Внутри квадрата со стороной 1 лежат 102 точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Доказать, что среди этих точек найдутся три такие, что площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше 0,01.

5. В классе 33 ученика, а сумма их возрастов составляет 430 лет. Справедливо ли утверждение, что найдутся в классе 20 учащихся, сумма возрастов которых больше 260?

Вариант 71-9

1. Решить в целых числах уравнение .

2. На какое наименьшее количество четырехугольников можно разрезать правильный девятиугольник?

3. Найдите пару рациональных чисел , для которых и упростите выражение .

4. Решить систему

5. Пусть - произведение первых простых чисел . Доказать, что ни одно из чисел и не является полным квадратом.

Вариант 72-9

1. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

2. На складе лежат 300 сапог, по 100 сапог 40-го, 41-го и 42-го размера, причем левых и правых поровну - по 150 штук. Докажите, что из них можно составить по меньшей мере 50 пар (в каждой паре – левый и правый сапоги одного размера).

3. Доказать, что если и , то .

4. Мяч, ударяясь о землю, отскакивает и поднимается на высоты, с которой падал. Если в первый раз он упал с высоты 8,1 м, то после скольких отскакиваний он поднимается на 1,6 м?

5. Доказать, что при любых действительных и , не равных одновременно нулю, данное уравнение имеет действительные корни .

Вариант 73-9

1. Найдите пару рациональных чисел , для которых и упростите выражение .

2. Король хочет выстроить 6 крепостей и соединить любые две из них прямолинейной дорогой. Нарисуйте такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было по три перекрестка, и на любом из них пересекались две дороги.

3. Три положительных числа образуют арифметическую прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если к третьему числу прибавить первое, а остальные два оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти произведение этих чисел.

4. Провести прямую, параллельно основанию треугольника так, чтобы получилась трапеция с периметром, равным .

5. Поезд вышел из пункта в пункт . Расстояние между и равно 230 км. Через час навстречу первому поезду вышел из пункта второй поезд, скорость которого на 15 км/ч больше скорости первого. Определить скорости поездов, если известно, что они встретились на расстоянии 120 км от .

Вариант 74-9

1. Из чайного листа получают 4,2 % чая. Сколько нужно взять чайного листа, чтобы получить 46,2 кг чая?

2. Пионеры ехали на автомашине из лагеря в город. Когда они проехали ¾ пути, машина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути пионеры прошли пешком, затратив на это времени в 4 раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрее ехали пионеры на автомашине, чем шли пешком?

3. Можно ли разрезать выпуклый семнадцатиугольник на 14 треугольников?

4. Вычислить диагонали правильного пятиугольника , у которого сторона равна .

5. По данному радиусу и хордам и двух дуг круга определить хорду суммы этих дуг.

Вариант 75-9

1. Расстояние от вершины С треугольника АВС до точки пересечения его высот равно радиусу описанной окружности. Чему равен угол при вершине С?

2. Имеются сосуды 12; 9 и 5 л. Первый из них заполнен некоторой жидкостью, а два остальных – пустые. Сколько литров можно отлить из 1-го сосуда, пользуясь вторым и третьим? Можно ли отлить 6 л?

3. Какое множество точек задается на плоскости уравнением ?

4. Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом составил , за второй год . Каков должен быть прирост продукции за третий год, чтобы средний прирост продукции за три года был равен .

5. Вычислить сторону правильного вписанного пятнадцатиугольника, если известно, что хорда разности двух дуг и вычисляется по формуле

, ,

где - радиус окружности.

Вариант 76-9

1. Доказать, что при любом натуральном n число делится на 8.

2. Двое рабочих вышли одновременно из одного и того же дома и шли на один и тот же завод. У первого из них шаг был на 10 % короче, чем у второго, но зато он делал шагов на 10 % больше, чем второй. Кто из этих рабочих раньше придет на завод?

3. Если a и b – числа разных знаков, то найти самое большое из четырех чисел

4. Дан квадрат со стороной, равной . Если на двух противоположных сторонах этого квадрата построить внутри два правильных треугольника, то боковые стороны треугольника пересекутся и образуют четырехугольник. Определить вид полученного четырехугольника и вычислить его углы, стороны и площадь.

5. Доказать, что одним из корней уравнения является значение

.

Вариант 77-9

1. Дана окружность и две точки А и В на ней. Пусть N - произвольная точка окружности. На продолжении отрезка AN отложен отрезок NM такой, что NM=BN. Найти геометрическое место точек M.

2. В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе.

3. Сколько существует квадратов с вершиной А(-1; 1), для которых хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии?

4. Две суммы составляют 10000 рублей. Процентная такса для каждой суммы равна , а общая сумма годового дохода 580 рублей. Как велика каждая сумма в отдельности.

5. Решить систему уравнений