Третий тур
9 класс
1. Первый 18-серийный сезон сериала сначала 32 дня снимал Иванов, получая 50 тыс. рублей за серию, затем 8 дней — Петров (20 тыс. рублей за серию), а за 18 дней его доснял Сидоров (40 тыс. рублей за серию). Второй 18-серийный сезон снимал Васечкин (30 тыс. рублей за серию). Он выполнил работу на 4 дня быстрее. Но если бы первые три режиссера снимали ровно по 6 серий, то у них ушло бы столько же времени, сколько у Васечкина на весь сезон. На сколько первый сезон оказался дороже второго? Учтите, что на съёмки одной серии может быть потрачено нецелое число дней.
2. Угол обзора Таниного фотоаппарата равен 90°, то есть Таня фотографирует произвольный прямой угол (граница угла тоже попадает на снимок). В городе несколько небоскрёбов. Таня заметила, что с каждого из них она может сфотографировать не более 5 других небоскрёбов. Какое наибольшее число небоскрёбов могло быть в городе, если никакие три из них не лежат на одной прямой? (Небоскрёбы считаются точками на плоскости).
3. Петя написал последовательность из 100 цифр. Вася утверждает, что существует натуральное число, запись сотой степени которого содержит такое сочетание цифр. Прав ли он?
4. В записи четырехзначного числа нет цифр «0» и «9». Две его цифры уменьшили на 1, две другие увеличили на 1, получили новое четырехзначное число. Какое наибольшее значение может принимать НОД первоначального и получившегося чисел?
5. В записи 10-значного числа были использованы все 10 цифр. Его зашифровали: начав слева, вместо каждой цифры написали количество цифр, которые меньше неё и расположены справа от неё. Сколько различных шифров можно получить таким образом?
6. На сборы приехали 20 футбольных команд и стали играть друг с другом матчи. Если команда за время сборов одерживает четвёртую победу, или же в третий раз играет вничью, или же второй раз проигрывает, то она тут же уезжает со сборов. Какое наибольшее число игр могло пройти в течение сборов?
7. Равносторонние треугольники ABC, ADE и CFG расположены так, что точки E и F лежат на сторонах AB и BC соответственно, а вершины D и G — вне треугольника ABC. Если точку B симметрично отразить относительно прямой DG, то она попадет на сторону AC. Найдите величину угла DBG.
8. На шахматной доске (8 ´ 8 клеток) расставлены 5 ферзей. Докажите, что
какие-то два ферзя не бьют друг друга.
Третий тур
8 класс
1. Первый 18-серийный сезон сериала сначала 32 дня снимал Иванов, получая 50 тыс. рублей за серию, затем 8 дней — Петров (20 тыс. рублей за серию), а за 18 дней его доснял Сидоров (40 тыс. рублей за серию). Второй 18-серийный сезон снимал Васечкин (30 тыс. рублей за серию). Он выполнил работу на 4 дня быстрее. Но если бы первые три режиссера снимали ровно по 6 серий, то у них ушло бы столько же времени, сколько у Васечкина на весь сезон. На сколько первый сезон оказался дороже второго? Учтите, что на съёмки одной серии может быть потрачено нецелое число дней.
2. Угол обзора Таниного фотоаппарата равен 90°, то есть Таня фотографирует произвольный прямой угол (граница угла тоже попадает на снимок). В городе несколько небоскрёбов. Таня заметила, что с каждого из них она может сфотографировать не более 5 других небоскрёбов. Какое наибольшее число небоскрёбов могло быть в городе, если никакие три из них не лежат на одной прямой? (Небоскрёбы считаются точками на плоскости).
3. Существует ли натуральное число, в записи сотой степени которого встречаются все цифры?
4. В записи четырехзначного числа нет цифр «0» и «9». Две его цифры уменьшили на 1, две другие увеличили на 1, получили новое четырехзначное число. Какое наибольшее значение может принимать НОД первоначального и получившегося чисел?
5. В записи 10-значного числа были использованы все 10 цифр. Его зашифровали: начав слева, вместо каждой цифры написали количество цифр, которые меньше неё и расположены справа от неё. Сколько различных шифров можно получить таким образом?
6. На сборы приехали 20 футбольных команд и стали играть друг с другом матчи. Если команда за время сборов одерживает четвёртую победу, или же в третий раз играет вничью, или же второй раз проигрывает, то она тут же уезжает со сборов. Докажите, что на сборах не может быть сыграно более 60 матчей.
7. Не равные друг другу равносторонние треугольники ABC, ADE и CFG расположены так, что точки E и F лежат на сторонах AB и BC соответственно, а вершины D и G — вне треугольника ABC. Найдите угол DBG, если известно равенство отрезков BD и BG.
8. На шахматной доске (8 ´ 8 клеток) расставлены 5 ферзей. Докажите, что
какие-то два ферзя не бьют друг друга.
