МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ,
обучающихся по специальности
050708.65 – Педагогика и методика начального образования
со специализацией Обучение информатике в начальной школе
Автор: доцент кафедры МиММЭ , канд. пед. наук, доцент
Цели изучения дисциплины
Обеспечение необходимого уровня теоретической подготовки будущего учителя начальных классов по математике для успешного обучения и воспитания младших школьников, углубление математических знаний студентов, математических положений, на основе которых строится начальный курс математики, как по ныне действующим программам, так и с учетом возможного внедрения в начальную школу новых разделов математики.
Задачи обучения
- раскрыть мировоззренческое значение математики, углубить представление о роли и месте математики в изучении окружающего мира;
- создать условия для овладения фундаментальными понятиями тех разделов современной математики, которые необходимы учителю для успешной работы в школе;
- способствовать развитию логического мышления;
- освоение основного математического аппарата и способов построения математических теорий;
- развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и другой математической литературой;
- развитие математической культуры будущих учителей.
В результате освоения программы курса «Математика» студент
должен знать:
- основные математические понятия
(множества, операции над множествами; соответствия, бинарные отношения и отображения, их основные свойства; высказывания, предикаты, операции над ними, кванторы, умозаключения и их виды, разбиение множества на классы; теоремы, их структура и виды; основные правила и методы решения комбинаторных задач, определение и свойства отношения делимости, основные признаки делимости и т. п.);
- основные теоретические положения математики, идеи построения и эволюции фундаментальных математических теорий (элементы теории множеств, комбинаторики, логики).
должен уметь:
- пользоваться научными знаниями для понимания теоретических положений школьного курса математики (теоретико-множественные идеи построения математики в начальной школе);
- доказывать основные математические факты;
- применять математические теории для построения математических доказательств (использование элементов логики, умения строить умозаключения и проверять их);
- подкреплять теоретические положения разнообразными примерами (в том числе и доступными ученикам начальных классов);
владеть навыками:
- решения простейших комбинаторных задач;
- анализа структуры определений понятий;
- анализа простейших рассуждений;
- решения и обоснования решений уравнений и неравенств с одной переменной.
Извлечение из ГОС ВПО специальности,
включающие требования к обязательному минимуму содержания дисциплины и общее количество часов (выписка).
СД.6 | Математика Множество – основное понятие курса математики. Математические утверждения и их структура. Бинарные отношения и их свойства. Отношения эквивалентности и разбиение множества на классы - основной подход к построению множества целых неотрицательных чисел. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел. Теория чисел – основа вычислительных действий. Расширение множества целых неотрицательных чисел. Рациональные и действительные числа. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел. Функции, уравнения, неравенства. Величины и их измерение. Различные подходы к введению аддитивно-скалярных величин. Величины, изучаемые в начальной школе. Единицы измерения величин. Геометрические величины, изучаемые в начальной школе, их определение, свойства и признаки. | 700 9 семестров |
Объем дисциплины и виды учебной работы
№ п/п | Шифр и наименование специальности | Курс | Семестр | Виды учебной работы в часах | Вид итогового контроля | |||||
Трудоемкость | Всего аудит. | ЛК | ПР/ СМ | ЛБ | Сам. работа | |||||
1 | 050708.65 ПиМНО, инф | 4 | 8 | 700 (9 с.) | 24 | 10 | 14 | – | 44 | экзамен |
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах).
Примерное распределение учебного времени
№ п/п | Наименование раздела, темы | Количество часов | ||||
Всего ауд. | ЛК | ПР | ЛБ | Сам. работа | ||
Алгебраические операции и алгебры | 24 | 10 | 14 | – | 44 | |
1. | Алгебраические операции в множестве. Частичные алгебраические операции. | 8 | 4 | 4 | – | 12 |
2. | Алгебры. Свойства алгебраических операций. | 8 | 2 | 6 | – | 18 |
3. | Некоторые роды алгебр. | 8 | 4 | 4 | – | 14 |
Содержание разделов дисциплины
Алгебраические операции и алгебры.
Тема 1. Алгебраические операции в множестве.
Алгебраические операции в множестве. Примеры алгебраических операций. Компоненты алгебраической операции, унарные, бинарные, полинарные операции. Частичная алгебраическая операция в множестве X, область ее определения. Замкнутость подмножества относительно данной алгебраической операции.
Тема 2. Алгебры и свойства алгебраических операций.
Понятие алгебры. Примеры алгебр. Изоморфные алгебры. Примеры изоморфизма алгебр. Основные свойства алгебраических операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, сократимость. Понятие обратной операции, их примеры. Свойства обратных операций. Нейтральный и поглощающий элементы относительно данной алгебраической операции. Симметричные элементы относительно алгебраической операции, примеры таких элементов.
Тема 3. Некоторые роды алгебр.
Понятие группы, примеры групп. Понятие кольца, примеры колец. Свойства алгебраических операций в кольце. Коммутативные и ассоциативные кольца. Числовые кольца. Понятие поля, примеры полей. Числовые поля, их примеры. Операции в числовом поле.
Темы для самостоятельного изучения
№ | Наименование раздела дисциплины. Тема. | Форма самостоятельной работы. | Кол-во часов | Форма контроля выполнения с/р |
1. | Алгебраические операции в множестве. Частичные алгебраические операции. | Самостоятельная работа по теме. Выполнение домашних работ по теме | 12 | Проверка, выполнение работы над ошибками |
2. | Алгебры. Свойства алгебраических операций. | Самостоятельная работа по теме, выполнение упражнений. | 18 | Проверка и выполнение работы над ошибками |
3. | Некоторые роды алгебр. | Самостоятельная работа по теме, изучение, конспектирование | 14 | Проверка, выполнение работы над ошибками |
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу
(планы последовательного проведения практических занятий)
Практические занятия.
ТЕМА: «Алгебраические операции».
Работа на занятии:
1. Выяснить, являются ли сложение и вычитание алгебраическими операциями на множестве целых четных чисел 
.
2. Являются ли умножение и деление алгебраическими операциями на множестве 
– натуральных чисел, кратных 3?
3. Какие из следующих алгебраических операций:
a)
b)
c)
являются коммутативными на множестве натуральных чисел 
?
4. Используя коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций, а также понятия нейтрального и симметричного элементов, упростите следующие выражения:
a)
b)
c)
Вопросы и задания для самоконтроля:
1. Объясните, почему сложение, умножение, возведение в степень являются алгебраическими операциями на множестве натуральных чисел , а вычитание, деление, извлечение корня – не являются?
2. Являются ли алгебраическими операции сложения, вычитания, умножения и деления на множестве 
– целых чисел, кратных 5? Ответ обоснуйте.
3. Являются ли операции нахождения НОД и НОК алгебраическими операциями на множестве ?
4. Является ли операция деления чисел алгебраической на множестве рациональных чисел 
? А на множестве 
?
5. Пусть М – множество всевозможных предикатов с областью определения Х. являются ли алгебраическими на множестве М операции конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности предикатов?
6. Будут ли алгебраическими на множестве 
операции 
и 
, если:
, где 
– остаток от деления суммы 
на 5;
, где 
– остаток от деления произведения на 5?
7. Какие из следующих операций коммутативны:
a) объединение множеств;
b) вычитание множеств;
c) декартово произведение множеств;
d) конъюнкция высказываний;
e) импликация высказываний?
8. Какие из следующих операций ассоциативны:
a) пересечение множеств;
b) вычитание множеств;
c) декартово произведение множеств;
d) дизъюнкция высказываний;
e) вычитание целых чисел?
9. Укажите нейтральный элемент для операции сложения на множестве целых неотрицательных чисел 
. Укажите на этом множестве нейтральный элемент для операции умножения.
10. Используя коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций, а также понятия нейтрального и симметричного элементов, упростите следующие выражения:
a)
b)
c)
Практические занятия
ТЕМА: «Алгебраические структуры».
Работа на занятии:
1. Образует ли группу множество 
– целых чисел, кратных 7, относительно операции сложения?
2. Образует ли кольцо (поле) относительно операций сложения и умножения множество рациональных чисел?
3. Образует ли кольцо множество М, состоящее из всевозможных высказываний и символов логических констант И, Л, относительно операций конъюнкции и дизъюнкции?
Вопросы и задания для самоконтроля:
1. Образует ли группу относительно операции сложения:
множество – четных целых чисел;
множество 
– нечетных целых чисел;
множество 
– целых чисел, кратных 3;
множество 
– положительных рациональных чисел;
множество 
?
2. Образует ли группу относительно операции умножения:
множество 
– всех целых чисел;
множество – положительных рациональных чисел;
множество 
– отрицательных рациональных чисел;
множество 
– положительных действительных чисел;
множество ?
3. Пусть М – множество всех подмножеств универсального множества 
. Образует ли оно группу относительно операции объединения множеств? Относительно операции пересечения множеств? Ответ обосновать.
4. Образует ли группу множество М – всех квадратных трехчленов относительно операции сложения? Относительно операции? Ответ обосновать.
5. Образует ли кольцо (поле) относительно операций сложения и умножения:
множество 
– целых чисел, кратных 10;
множество 
– отрицательных рациональных чисел;
множество 
– действительных чисел?
Практические занятия
ТЕМА: «Действительные числа».
Работа на занятии:
1. Сравнить числа: 
и 
. Представим данные числа в виде десятичных дробей: 
, 
Сравним полученные десятичные дроби: 
.
2. Найти три первых десятичных знака суммы 
Возьмем десятичные приближения слагаемых с четырьмя десятичными знаками:
,
.
.
Значит, 
.
3. Найти два первых десятичных знака произведения 
Возьмем десятичные приближения множителей с тремя десятичными знаками:
,
.
.
.
Значит, 
.
Рекомендуемая литература
Основная:
Стойлова . Учебник для студентов высших пед. уч. заведений. – М.: Академия, 2002. , Аматов : в 2 кн.: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. , Аматов . Упражнения и задачи: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.Дополнительная литература:
, Касатонов . – Минск: Высшая школа, 1976. Бобков . Учебное пособие для учит. нач. кл. и студентов МГПИ. – Мурманск, 1999. ч. II. , , Стойлова . Учебное пособие для студентов нач. кл. – М.: Просвещение, 1977. Стабильные учебники по математике для начальных классов. и др. Целые неотрицательные числа. – М., Просвещение, 1986. , Окунев рациональных чисел. – М., 1971. , , Шабалин величин на уроках математики и физики в школе. – М.: Просвещение, 1981. , , Шебалин величин. – М.: Просвещение, 1981. Депман арифметики. – М.: Учпедгиз, 1959. Ивин правильно мыслить. – М.: Просвещение, 1986. , , Шор задач и упражнений по математике для педучилищ. – М.: Просвещение, 1966. Калужнин в общую алгебру. – М.: Наука, 1979. Лихтарников знакомство с логикой. – СПб: Лань, 1997. Локоть для нематематиков. - Мурманск: МГПИ, 1997. Математика. / Под ред. . – Минск: Высшая школа, 1976. – ч. 2. , , Чекин по математике для студентов факультетов начальных классов. – М.-Воронеж: МОДЕК, 1998. , , Рудницкая , отношения, числа, величины. – М.: Просвещение, 1978. , и др. Теоретические основы начального курса математики. – М.: Просвещение, 1974. , Стойлова начального курса математики. – М.: Просвещение,1988. , , Нечаев рациональных чисел. – М.: Просвещение, 1971. Статьи из журналов «Начальная школа», «Математика в школе». , , Лаврова . – М.: Просвещение. 1990. Столяр введение в математику. – Минск, 1971. , Лельчук . – Минск: Высшая школа, 1975. – ч.1. Фомин счисления. – М.: Наука, 1987. , Турецкий научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989. , Пышкало основы начального курса математики. Учебное пособие для учащихся педучилищ. – М: Просвещение, 1988. . .Я., Лаврова . Учебное пособие для студентов ф-та нач. кл. – М: Просвещение, 1990. и др. Математика. – Минск: Высшая школа, 1976.Задачники:
1. , Стойлова - практикум по математике. Учебное пособие для студентов-заочников факультета нач. классов. – М.: Просвещение, 1985.
2. , , Стойлова -практикум по математике. Учебное пособие для студентов-заочников факультета нач. классов. – М.: Просвещение, 1977.
Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Эволюция теории действительного числа: основные исторические подходы, сложившиеся в математике.
Понятие о несоизмеримых отрезках. Теорема о несоизмеримости диагонали квадрата со стороной равной единице. Положительные действительные числа и бесконечные десятичные дроби. Задача об измерении длины отрезка. Приближенные значения действительного числа по недостатку и по избытку. Отношение порядка в R+. Сложение и умножение в множестве действительных положительных чисел. Их свойства: коммутативность, ассоциативность и сократимость. Дистрибутивность операции умножения относительно сложения. Вычитание и деление как операции, обратные сложению и умножению. Их свойства. Аксиоматическая теория множества R+. Измерение величин. Отношение равновеликости. Понятие площади фигуры, квадрируемости фигуры. Измерение площадей. Площадь прямоугольника. Зависимости между величинами. Алгебраические операции в множестве. Компоненты алгебраической операции, унарные, бинарные, полинарные операции. Частичная алгебраическая операция в множестве X, область ее определения. Замкнутость подмножества относительно данной алгебраической операции. Понятие алгебры. Примеры алгебр. Изоморфные алгебры. Примеры изоморфизма алгебр. Основные свойства алгебраических операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, сократимость. Понятие обратной операции, их примеры. Свойства обратных операций. Нейтральный и поглощающий элементы относительно данной алгебраической операции. Симметричные элементы относительно алгебраической операции, примеры. Понятие группы, примеры групп. Понятие кольца, примеры колец. Свойства алгебраических операций в кольце. Коммутативные и ассоциативные кольца. Числовые кольца. Понятие поля, примеры полей. Числовые поля, их примеры. Операции в числовом поле.Примерная тематика рефератов
1. Фалес из Милета – родоначальник греческой философии и науки. Теорема Фалеса.
2. Непозиционные системы счисления.
3. Позиционные системы счисления.
4. Пифагор – известнейший греческий математик. Пифагорейская школа. Числа по Пифагору.
Практикум по решению задач по темам лекций
(одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации)
1. Образует ли группу относительно операции сложения множество – целых чисел, кратных 3?
2. Образует ли группу относительно операции умножения множество – отрицательных рациональных чисел?
3. Являются ли сложение, умножение, вычитание и деление алгебраическими операциями на множестве 
.
4. Применяя коммутативный и ассоциативный законы сложения и умножения, найдите значение каждого из следующих выражений: а) 
; б) 
5. Применяя дистрибутивный закон умножения относительно сложения и вычитания, найдите значение выражения: а) 
; б) 
.
6. Даны числа 
и 
. Записать числа, симметричные каждому из них
7. а) относительно сложения, б) относительно умножения.
