Варианты заданий для письменного экзамена
по математике с решениями
Вариант 1
Выбрать правильный ответ
А1. Каков знак числа 
, если 
?
1) плюс | 2) минус | 3) неопределен |
А2. 
равен
1) | 2) | 3) |
А3. Последовательность задана формулой 
. Чему равен ее третий член?
1) | 2) | 3) |
А4. Решите неравенство 
.
1) решений нет | 2) | 3) |
Представить развернутое решение
В1. Решите уравнение: 
.
В2. Решите уравнение: 
.
С1. Решите неравенство: 
.
С2. Моторная лодка прошла 60 км против течения реки и 60 км по течению реки, затратив на путь против течения на 50 мин больше, чем на путь по течению. Найти скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 21 км/ч.
С3. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.
Примечание: каждая задача оценивается следующим образом
Задача группы | Количество баллов |
A | 0 или 5 |
B | 0-10 |
C | 0-20 |
Всего | 0-100 |
Решение 1 варианта заданий
Выбрать правильный ответ
А1. Каков знак числа , если ?
1) плюс 2) минус 3) неопределен
Решение
23 – число нечетное, так как , то 
. Правильный ответ: 2) минус
А2. равен
1) 
2) 
3) 
Решение
. Правильный ответ: 1)
А3. Последовательность задана формулой . Чему равен ее третий член?
1) 
2) 
3) 
Решение
, при 
имеем: 
. Правильный ответ: 2) 17
А4. Решите неравенство .
1) решений нет 2) 
3) 
Решение
при любых 
. Правильный ответ: 1) решений нет.
Представить развернутое решение
В1. Решите уравнение: .
Решение
По определению модуля имеем: 
или 
. Тогда 
или 
.
Ответ: ; .
В2. Решите уравнение: .
Решение
Решение данного уравнения – частный случай решения уравнения 
. 
, 
. Отсюда 
, .
Ответ: , .
С1. Решите неравенство: .
Решение
Так как основание 
, то функция 
- возрастающая, то 
; 
. Найдем корни уравнения 
. 
; 
; 
.
Ответ: 
.
С2. Моторная лодка прошла 60 км против течения реки и 60 км по течению реки, затратив на путь против течения на 50 мин больше, чем на путь по течению. Найти скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 21 км/ч.
Решение
Пусть скорость течения реки равна 
. Тогда, скорость лодки против течения реки равна 
. Скорость лодки по течению реки равна 
. По условию задачи имеем: 
. 
; 
; 
; 
; 
- не подходит по условию.
Ответ: Скорость реки 3 км/ч.
С3. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.
Решение
; 
см.
Пусть 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
; 
; 
.
; 
; 
; 
.
; 
; 
- не подходит по условию.
; 
; 
; 
; 
, отсюда 
; 
.
Ответ: 
.
Вариант 2
Выбрать правильный ответ
А1. Число 
. Каков знак числа 
?
1) минус | 2) плюс | 3) неопределен |
A2. Куда направлены ветви параболы 
?
1) вниз | 2) влево | 3) вверх |
А3. Чему равен десятый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 
?
1) 37 | 2) 41 | 3) 36 |
А4. Решите неравенство 
.
1) решений нет | 2) | 3) |
Представить развернутое решение
В1. Решить уравнение: 
.
В2. Решить уравнение: 
.
С1. Решить неравенство: 
.
С2. Для перевозки 90 т груза было затребовано некоторое количество машин. В связи с тем, что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше, дополнительно было затребовано 6 машин. Сколько машин было затребовано первоначально?
С3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
Решение 2 варианта заданий
Выбрать правильный ответ
А1. Число . Каков знак числа ?
1) минус | 2) плюс | 3) неопределен |
Решение
21 – нечетное число и , то 
. Правильный ответ: 1) минус.
A2. Куда направлены ветви параболы ?
1) вниз | 2) влево | 3) вверх |
Решение
Коэффициент при 
равен 
, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Правильный ответ: 3) вверх.
А3. Чему равен десятый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность ?
1) 37 | 2) 41 | 3) 36 |
Решение
По условию: 
, . Известно, что 
, отсюда 
. Правильный ответ:
А4. Решите неравенство .
1) решений нет | 2) | 3) |
Решение
, функция 
- возрастающая, при 
значение 
равно 1.
Правильный ответ: 1) нет решений.
Представить развернутое решение
В1. Решить уравнение: .
Решение
, 
, 
.
Ответ: 
.
В2. Решить уравнение: .
Решение
Если 
, то , тогда данное уравнение – тождество. Если 
, то 
, тогда 
. 
, 
, что противоречит условию , следовательно, решений нет.
Ответ: 
.
С1. Решить неравенство: .
Решение
Найдем область допустимых значений: 
, 
, 
, следовательно, 
.
Решим неравенство: 
или 
; 
.
Решим уравнение 
, 
, 
, 
.
, отсюда, с учетом ОДЗ, получим 
.
Ответ: .
С2. Для перевозки 90 т груза было затребовано некоторое количество машин. В связи с тем, что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше, дополнительно было затребовано 6 машин. Сколько машин было затребовано первоначально?
Решение
Пусть первоначально было затребовано - машин. Тогда 
загружали бы в каждую машину. 
- загрузили фактически. По условию задачи имеем: 
, или 
, 
, решим квадратное уравнение: 
. 
- не имеет смысла, 
.
Ответ: первоначально было затребовано 30 машин.
С3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
Решение
Пол условию дано: 
; 
. Найти больший катет треугольника.
Пусть , , , тогда 
; 
. 
; 
, 
.
; 
; 
.
; 
; 
; 
. 
; 
, 
.
; 
; 
, решим квадратное уравнение: 
; 
; 
- не удовлетворяет условию.
; 
; 
; 
.
; 
; 
; 
; 
.
Ответ: больший катет равен 8 м.
Варианты заданий по математике
для самостоятельного решения
Вариант 1
Выбрать правильный ответ
А1. Вынести множитель из под знака корня 
, если 
.
1) | 2) | 3) |
А2. Какой формулой задается обратная пропорциональная зависимость?
1) | 2) | 3) |
А3. Последовательность задана формулой 
. Чему равен ее третий член?
1) 10 | 2) 17 | 3) 15 |
А4. Решите неравенство 
.
1) решений нет | 2) | 3) |
Представить развернутое решение
В1. Решите уравнение: ;
В2. Решите уравнение: 
;
С1. Решите неравенство: 
;
С2. Велосипедист проехал 25 км. При этом один час он ехал по ровной дороге, а один час – в гору. Какова скорость велосипедиста по ровной дороге, если каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору?
С3. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.
Вариант 2
Выбрать правильный ответ
А1. Число 
. Чему равен 
?
1) 3 | 2) не существует | 3) -3 |
А2. Куда направлены ветви параболы 
?
1) влево | 2) вверх | 3) вниз |
А3. Последовательность задана формулой 
. Чему равен ее третий член?
1) 4 | 2) 6 | 3) 1 |
А4. Решите неравенство 
.
1) | 2) решений нет | 3) |
Представить развернутое решение
В1. Решите уравнение: 
;
В2. Решите уравнение: 
;
С1. Решите неравенство: 
;
С2. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 часов. Если бы первый сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?
С3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
ТРЕБОВАНИЯ,
предъявляемые на вступительных экзаменах по математике
Вступительный экзамен по математике в БГИТА проводится в письменной форме. Экзаменационные задания не выходят за пределы Программы по математике для поступающих в вузы.
Длительность экзамена – 4 часа.
На экзамене по математике поступающий должен показать:
· четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой;
· уверенное владение математическими знаниями и навыками, умение применять их к решению задач;
· умение точно и сжато выражать математическую мысль.
Поступающий должен уметь:
· достаточно бегло производить арифметические действия над числами, уметь работать с процентами;
· производить тождественные преобразования алгебраических и тригонометрических выражений;
· решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, предусмотренных программой;
· решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;
· изображать геометрические фигуры;
· использовать методы алгебры и тригонометрии при решении геометрических задач.
Экзаменационная работа состоит из трех групп заданий.
Группа А содержит 4 задания. В каждом задании формулируется вопрос и предлагается три варианта ответа, из которых только один верный. Абитуриент должен переписать задание и правильный ответ (ответ должен быть переписан полностью). Каждое правильно выполненное задание группы А оценивается в 5 баллов, невыполненное или выполненное неверно – в 0 баллов.
Группа В содержит 2 задания, а группа С – 3 задания более высокого уровня сложности. При решении заданий этих групп необходимо полностью переписать задание, затем изложить подробное решение с пояснениями (при необходимости сделать рисунок) и привести ответ.
Каждое правильно выполненное задание группы В оценивается в 10 баллов, а правильно выполненное задание группы С – в 20 баллов.
Если задание групп В и С не выполнено или выполнено в принципе неверно (допущены грубые ошибки, не понята суть задачи), то оно оценивается в 0 баллов. К грубым ошибкам, как правило, относятся те ошибки, наличие которых ведет к неверному результату. Если же подход к решению задачи в принципе верен, но в ходе решения допущены негрубые ошибки и имеются недочеты, то оценка за задание снижается (на 2 – 5 баллов за каждый недочет или негрубую ошибку).
Негрубые ошибки – те, которые не отражаются на правильности ответа при решении данной задачи. К недочетам относятся: отсутствие пояснений, проверки, где это необходимо; отсутствие промежуточных вычислений, если они неочевидны; несоблюдение формы записи результата; отсутствие упрощений при решении и т. п.
Сумма оценок за каждое задание является итоговой экзаменационной оценкой, ее максимальное значение – 100 баллов.
