Линейные уравнения с параметрами (стр. 3 )

Выразим сумму и произведение чисел и через сумму и произведение и .

Подставляя значения вместо суммы и произведения и в полученные равенства, находим для корней искомого уравнения:

Теперь можно составить искомое уравнение:

Ответ:

Задание для самостоятельной работы.

1. Пусть и - корни уравнения

Не решая уравнение, найдите: а) б) в)

2. При каком действительном значении a сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей?

Занятие 58.Установление зависимости между корнями двух уравнений.

Пример 1. Какая зависимость существует между корнями двух уравнений, где a, b, c, p, q не равны 0: и

Решение

Во-первых, корни уравнений должны существовать (первые коэффициенты не равно нулю по условию), значит, для первого уравнения: для второго уравнения: или откуда получаем такое же соотношение, как и для первого уравнения:

Пусть и - корни первого уравнения, а и - корни второго уравнения. По теореме Виета, для первого уравнения, находим:

Для второго уравнения, по теореме Виета, имеем:

Подставим в последние два равенства вместо

В результате такой подстановки получаем:

Ответ:

Пример 2.. Найдите корни уравнения если

Решение

1. Если a = 0, тогда уравнение примет вид: , а условие станет таким: Из условия находим: уравнение примет вид

a) Если b = 0, тогда получим - это уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) Если тогда

2. Если тогда найдем дискриминант

Из соотношения выразим b и подставим в выражение для дискриминанта:

a) При a = c имеет один корень:

b) При уравнение имеет два различных корня:

Ответ:

1. a) Если a = 0 и b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) Если a = 0, но тогда x = 1.

2. а) Если и , тогда уравнение имеет один корень:

б) Если и тогда уравнение имеет два различных действительных корня:

Пример 3.. Найти рациональный способ решения следующих уравнений:

1) 2)

Решение

1)

Находим дискриминант: Он будет неотрицательным при любом действительном значении b.

Рассмотрим два случая.

1. В этом случае уравнение имеет единственный корень

2, Если тогда и уравнение имеет два различных действительных корня, которые легко найти по теореме Виета. Их сумма должна быть равна , а произведение равно Только два числа дают в сумме , а в произведении - это и 1. Значит,

Ответ: 1. Если , тогда уравнение имеет единственный корень

2. Если тогда уравнение имеет два различных корня:

2)

Решение

1. Если Это возможно в двух случаях, при и

Если b = 0, тогда уравнение примет вид которое при a = 0 имеет бесконечное множество решений, а при - единственное решение: x = 1.

Если a = b = 0, то этот случай уже рассмотрен - уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если , тогда будем решать уравнение, как квадратное относительно x. Для этого преобразуем его к приведенному, для чего разделим обе части уравнения на

Получим уравнение

Пусть и - корни уравнения, тогда, по теореме Виета, сумма корней равна:

а их произведение равно

Теперь становится понятным, что корнями уравнения могут быть только числа:

В самом деле, произведение корней дает:

Покажем, что их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком:

Ответ:

1. Если a = b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений.

2. Если b = 0, но тогда уравнение имеет единственное решение x = 1.

3. Если и тогда уравнение имеет два корня

Задание для самостоятельной работы.

1. Какая взаимозависимость существует между корнями двух квадратных уравнений, где a, b, c, p, q не равны нулю:

а) и

б) и

2. Найти рациональный способ решения следующих уравнений:

а) б) в)

Занятие 59.

Решить уравнения на множестве действительных чисел

Пример 1.

Решение

Рассмотрим коэффициент при , который равен

1. Если что происходит при и тогда квадратное уравнение "вырождается" в линейное.

При , получаем при

2. Если тогда находим дискриминант и исследуем уравнение по дискриминанту.

D = 0 при

Если то уравнение имеет единственное решение

Если тогда уравнение имеет решение

Если и тогда дискриминант будет положительным и уравнение будет иметь два различных действительных корня

Ответ:

1. Если a = 0, x = 0. 2. Если a = -1, x = 2. 3. Если тогда

4. Если тогда

5. Если тогда уравнение имеет два различных действительных корня

Пример 2..

Решение

1. Если уравнение примет вид:

В свою очередь, это уравнение при a = 0 имеет бесконечное множество решений, При - единственное решение x = a.

2. Если Найдем дискриминант:

Преобразуем уравнение к приведенному, получим:

Это уравнение два различных действительных корня. По теореме Виета:

Нетрудно найти, что эти равенства выполняются, только в одном случае, когда и

В самом деле, только при этих значениях и будет выполняться теорема Виета для уравнения:

При других возможных комбинациях значений и сумма и произведение их не будут равны данным значениям по теореме Виета. (Конечно, можно воспользоваться обычным способом определения корней по формуле.)

Ответ:

1. Если тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

3. Если тогда уравнение имеет два различных действительных корня:

и

Пример 3..

Решение

Рассмотрим случай, когда первый коэффициент равен нулю:

Это произойдет при и

1. При , уравнение примет вид: откуда

2. При уравнение примет вид: откуда

3. Если тогда, чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

После преобразований, получим: при любом действительном значении a.

1) Если D = 0, тогда уравнение имеет единственное решение. Это произойдет при и

Единственный корень уравнения, при этих значениях a определяется по формуле

В частности, при , при , также

2) Если , D > 0 и уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по общей формуле.

Но эти преобразования довольно сложны, поэтому найдем корни, применяя теорему Виета.

Преобразуем уравнение к приведенному, получим:

По теореме Виета, сумма корней должна быть равна: а произведение

Такое возможно только в одном случае, если Это легко проверить, выполнив сложение и умножение корней.

Ответ:

1. Если

2. Если

3. Если

4. Если тогда

Задание для самостоятельной работы.

Решите уравнение относительно параметра a:

1.

2.

3.

Занятие 60.Решение уравнений повышенной трудности

Пример 1.. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

Решение

Найдем решения для каждого значения a, а затем отберем те, которые удовлетворяют условию задачи, т. е. при которых уравнение имеет единственное решение.

Для каждого фиксированного a будем искать решения данного уравнения сначала на промежутке , а потом на промежутке , поскольку модуль обращается в нуль при x = -2a.

1) Пусть . На этом промежутке и поэтому данное уравнение примет вид

Найдем дискриминант полученного приведенного квадратного уравнения

значит, при любом действительном значении a уравнение имеет два различных действительных корня:

и

Выясним, входят ли они в промежуток Корень лежит в этой области только тогда, когда выполняется неравенство:

или

Последнее неравенство равносильно системе неравенств:

или

Последняя система неравенств не имеет решений, значит, ни при каком значении параметра a число не лежит в области

Корень лежит в рассматриваемой области тогда, когда выполнено неравенство:

или

Решим последнее неравенство. Ясно, что этому неравенству удовлетворяют все значения a из промежутка

При получим неравенство Отсюда находим:

Таким образом, при уравнение имеет единственное решение

2) Пусть На этом промежутке и поэтому исходное уравнение можно переписать в виде

Найдем дискриминант этого уравнения:

Уравнение не имеет решений, если т. е. если

Значит, уравнение не имеет корней для a из промежутка

Если a не принадлежат этому промежутку, то квадратное уравнение имеет корни причем при и Выясним теперь, при каких значениях параметра a найденные корни лежат в области

Для этого нужно решить неравенства и

Неравенство равносильно неравенству или совокупности двух систем неравенств:

(1) и (2)

Множество решений первой системы имеет вид вторая система не имеет решений. Значит, только при значении корень уравнения лежит в области

Неравенство равносильно неравенству или системе неравенств

Множество решений полученной системы неравенств есть отрезок

Только при этих значениях параметра a, корень принадлежит области: Таким образом, при данное уравнение в области решений не имеет.

Если то уравнение в рассматриваемой области имеет единственное решение

При значениях a, лежащих в области исходное уравнение имеет два различных корня и Если же то исходное уравнение имеет единственный корень Полученные результаты удобно свести в таблицу:

Значения a	Решения данного уравнения

Таким образом, искомые значения a образуют два промежутка: и

Ответ: ,

Пример 2. Найдите все значения параметра a из промежутка при каждом из которых больший из корней уравнения принимает наибольшее значение.

Решение

Преобразуем уравнение к виду

Значит, если тогда

Найдем наибольшее значение x, при котором т. е. наибольшее решение неравенства

Преобразуем это неравенство:

Последнее неравенство решим методом промежутков (см. рис. 49), помня, что