Занятие 55.

Линейные уравнения с параметрами

Определение. Уравнения вида, где x - переменная, f(a) и g(a) - некоторые функции, зависящие от a, называется линейным с параметром a.

Возможные случаи решения линейных уравнений с параметрами

1. Если тогда уравнение примет вид которое имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если тогда уравнение примет вид , которое не имеет решений.

3. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел

Решение

Преобразуем уравнение:

В данном случае f(a) = a - 3, g(a) = 3a.

1. Если f(a) = 0, a - 3 = 0, тогда уравнение примет вид: Оно не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

1. Если тогда уравнение не имеет решений. 2. Если тогда уравнение имеет ед. решение

Пример 2. Решить уравнение

Решение

Преобразуем уравнение:

Здесь f(m) = m(m - 3) и g(m) = m - 3.

1. Если f(m) = 0, m(m - 3) = 0, m = 0, m = 3:

а) при m = 3, уравнение примет вид: которое имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число;

б) при m = 0, уравнение примет вид: которое не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

1. Если m = 3, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если m = 0, тогда уравнение не имеет решений.

3. Если то уравнение имеет единственное решение

Пример 3. Решите уравнение

Решение

В этом уравнении функция f(a) имеет вид. Разложим на множители двучлен , получим

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Функция g(a) является квадратным трехчленом . Разложим его на множители.

Трехчлен имеет корни , тогда

1. Если , т. е. , , тогда уравнение примет вид:

1) При , получаем , значит уравнение не имеет корней.

2) При , получаем , значит уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если и , тогда уравнение имеет единственное решение:

Ответ:

1. Если , то уравнение не имеет корней.

2. Если , то уравнение имеет бесконечное множество решений.

3. Если и , то уравнение имеет единственное решение:

Пример 4.

Решение

Область допустимых значений параметра. При уравнение не определено.

Пусть

Преобразуем уравнение:

7(x - 1) - a(ax - 1) + 2(a + 2)(1 - x) = 0 или

(a - 1)(a + 3)x = 3(a - 1), f(a) = (a - 1)(a + 3), g(a) = 3(a - 1).

1. Если f(a) = 0, a = 1, a = -3.

а) При a = 1, уравнение примет вид уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) При a = -3, уравнение примет вид оно не имеет решений.

2. Если тогда уравнение имеет единственное решение

3. В области допустимых значений переменной установлено, что и При a = 0 и при a = -2 уравнение не имеет корней.

Ответ:

1. При a = 1, уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. При a = 0, a = -2, a = -3, уравнение не имеет решений.

3. Если тогда уравнение имеет единственное решение

Пример 5. Решите уравнение

Решение

Преобразуем уравнение:

1. Если тогда уравнение имеет единственное решение

2. Если a = 0, тогда уравнение примет вид:

1) если тогда уравнение не имеет решений;

2) если b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений,

x - любое действительное число.

3. Если a = 2, тогда уравнение примет вид:

1) если тогда уравнение не имеет решений;

2) если тогда уравнение имеет бесконечное множество решений,

x - любое действительное число.

Ответ:

1. Если тогда уравнение имеет единственное решение

2. Если a = 0, но и если a = 0, но тогда уравнение не имеет корней.

3. Если a = 0, b = 0 и если a = 2, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

Пример 6.

Решение

Преобразуем уравнение

1. Если a = 1, тогда уравнение примет вид:

если то уравнение имеет бесконечное множество решений;

если то уравнение не имеет решений.

2. Если b = 2, тогда уравнение примет вид:

если a = 4, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

если то уравнение не имеет корней.

3. Если и , тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

Задание для самостоятельного решения.

1. Если и , тогда уравнение имеет единственное решение

2. Если и или и , тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

3. Если и или и , тогда уравнение не имеет корней.

Пример 7. Решите уравнение |x - a| = |x - 4|.

Решение

Это уравнение равносильно следующему:

После преобразования получим: 2(4 - a)x = (4 - a)(4 + a).

Если a = 4, тогда уравнение примет вид которое имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

Если тогда уравнение имеет единственное решение

Ответ:

Если a = 4, то уравнение имеет б/м решений, x - любое действительное число.

Если то уравнение имеет единственное решение

Пример 8. Для каждого значения параметра a решить уравнения:

а) |x - a| = x - 2; б)

Решение

а) |x - a| = x - 2.

1-й способ

Область допустимых значений:

Тогда, уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:

(1) и (2)

Решим каждую систему:

(1) Это значит, что при уравнение имеет бесконечное множество решений из промежутка

(2)

Чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение будет иметь решение подставим вместо x в неравенство системы, значение и решим полученное неравенство относительно a.

Но поскольку, мы установили, что при a = 2 уравнение имеет множество решений их промежутка тогда при уравнение будет иметь решение .

Осталось выяснить решения уравнения при .

Из первой системы находим:

(1) уравнение не имеет решений.

Из второй системы мы нашли решения при , в противном случае, т. е. при уравнение не будет иметь решений.

2-й способ

Область допустимых значений:

Воспользуемся свойством абсолютной величины:

Получим уравнение: Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим:

1. Если a = 2, тогда уравнение примет вид: уравнение имеет бесконечное множество решений из промежутка

2. Если тогда уравнение имеет решение Чтобы выяснить значения a, надо решить неравенство , куда вместо x подставить значение

Учитывая, что при a = 2 получаем:

Таким образом, при уравнение имеет решение

3. При , очевидно, уравнение не имеет решений.

Ответ:

1. Если a = 2, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений из промежутка

2. Если a > 2, тогда уравнение имеет единственное решение .

3. Если то уравнение не имеет решений.

б)

Решение

Если тогда будем иметь уравнение:

После простых преобразований получим (a - 1)(a + 1)x = 1 - a.

При и уравнение имеет единственное решение но учитывая, что находим,

Отсюда ясно, что при уравнение имеет единственное решение

При a = -1 получаем уравнение которое не имеет решений.

При a = 1 уравнение примет вид которое имеет бесконечное множество решений на промежутке

Если x < 0, тогда получим уравнение которое преобразуется в уравнение Оно имеет единственное решение при любых действительных значениях a, но, учитывая, что x должно быть отрицательным, находим для a значения: 1 - a < 0, a > 1.

Остается выяснить решение уравнения при -1 < a < 1.

Нетрудно установить, что, в этом случае, уравнение не имеет корней.

В самом деле:

1) Если находим:

Поскольку , тогда что невозможно, ибо значит уравнение не имеет решений.

2) Если находим: .

Поскольку , тогда что невозможно, так как значит уравнение также не имеет решений.

Ответ:

1. Если , тогда

2. Если тогда уравнение не имеет решений.

3. Если a = 1, тогда

4. Если a > 1, тогда .

Пример 9. Решите уравнение |2 - |1 - |x||| = 1.

Решение

Решать будем это уравнение последовательно "раскрывая" модули, начиная с "внешнего" и "приближаясь" к переменной x.

После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:

|1 - |x|| = 1 или |1 - |x|| = - 1.

Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:

|1 - |x|| = 1,

|x| = 1 или |x| = -1.

Из уравнения (3) находим: |x| = 0, из уравнения (4) находим: |x| = 2,

Решая уравнение (2), также получим: |1 - |x|| = 3, которое распадается два уравнения: (3') 1 - |x| = -3 или (4') 1 - |x| = 3.

Из (3') получаем: |x| = 4, Из (4') |x| = -2, которое не имеет решений.

Ответ:

Задание для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.x - a| + |x + a + 1| = 3.

4. |x + a| - |2x - a + 2| = a.

5.При каких значениях a уравнение имеет более двух корней?

|2x + 3| + |2x - 3| = ax + 6.

Занятие 56.

Решение и исследование квадратных уравнений. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами.

Определение. Уравнение вида где a, b, с - действительные числа, причем x - переменная, называется квадратным.

Дискриминантом квадратного уравнения называется число, составленное из коэффициентов уравнения:

По значению дискриминанта можно установить число решений уравнения или узнать, имеет ли оно решение вообще, т. е. исследовать уравнение.

1-й случай. D > 0. Уравнение имеет два различных действительных корня (действительных, т. е. принадлежащих множеству действительных чисел):

Если построить график квадратной функции то окажется, что он в двух точках пересекает ось OX, которые и являются корнями уравнения. Причем, если a > 0, то ветви графика (параболы) будут направлены вверх, при - ветви направлены вниз.

Попутно следует заметить, что если a > 0, то трехчлен (y) принимает положительные значения (y > 0) при а отрицательные значения (y < 0) при Мы заведомо считаем что

Если a < 0, то y > 0 при y < 0 при

2-й случай. Если D = 0, тогда уравнение имеет единственное решение или два равных корня:

График квадратной функции, в этом случае, имеет только одну точку пересечения с осью OX

Замечаем, что если a > 0, тогда трехчлен (y) принимает положительные значения при всех значениях x, кроме и не принимает отрицательных значений;

если a < 0, тогда трехчлен (y) принимает отрицательные (y < 0) значения при всех значениях x, кроме и не принимает положительных значений.

3-й случай. Если D < 0, тогда уравнение не имеет действительных корней.

График функции не будет пересекать ось OX и при a > 0 функция принимает при всех x только положительные значения (y > 0), а при a < 0 только отрицательные значения (y < 0).

Определение. Квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при равен 1, т. е. a = 1.

В этом случае, уравнение можно записать в виде:

Теорема Виета

Теорема 1. Если приведенное квадратное уравнение имеет корни , то сумма их равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: а произведение корней, равно свободному члену:

Теорема 2 (обратная). Если сумма двух действительных чисел (обозначим их и , впрочем, можно и другими буквами) равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Вот эта теорема (обратная), дает возможность, не решая квадратное уравнение находить его корни.

Например, для уравнения , легко усмотреть, что два числа, а именно, 2 и 3, в сумме дают 5 - второй коэффициент с противоположным знаком, а их произведение равно 6, значит, они являются корнями данного квадратного уравнения: Во многих случаях это облегчает решение квадратных уравнений.

Знаки корней приведенного квадратного уравнения

Если свободный член q приведенного квадратного уравнения больше нуля, q>0, то оба корня имеют одинаковые знаки, либо оба положительны, либо оба отрицательны.

В самом деле, если и , тогда но значит если и тогда снова а значит, и в этом случае Нетрудно доказать и обратное утверждение.

Если к тому же, второй коэффициент имеет отрицательный знак (p < 0), то оба корня положительны, в противном случае, (при p > 0) оба корня отрицательны.

Если свободный член приведенного квадратного уравнения - отрицателен (q<0), тогда корни имеют разные знаки, что нетрудно доказать, подобно предыдущему.

Но здесь любопытно другое! Можно установить, который из корней имеет отрицательный знак, а какой - положительный.

Для этого достаточно обратиться к знаку второго коэффициента p. Если его знак отрицательный, значит больший по модулю корень, будет положительным, а меньший по модулю корень - отрицательный знак. Если знак второго коэффициента положительный, тогда больший по модулю корень будет отрицательным, а меньший положительным.

Примеры: а) б)

в) г)

В уравнении а) свободный член (12) положителен, значит, оба корня имеют одинаковые знаки. Второй коэффициент (-7) отрицателен, значит, оба корня положительны.

В самом деле, и

В уравнении б) свободный член положителен и второй коэффициент положителен, значит оба корня отрицательны.

Нетрудно проверить, что и

В уравнении в) свободный член отрицателен (-12), значит, корни имеют разные знаки, а поскольку второй коэффициент также отрицателен (-1), тогда больший по модулю корень будет положительным, а меньший по модулю - отрицателен.

Найдем корни и убедимся в этом: