Линейные уравнения с параметрами (стр. 4 )

Рис. 49

Решение неравенства будет множество:

Ясно, что дробь принимает наибольшее значение при x = 6, тогда значение a будет равно:

Ответ: при a = 1.

Пример 27. Для каждого значения параметра a определите число решений уравнения

Решение

1. Если тогда уравнение не имеет решений, модуль любого вещественного числа неотрицателен.

2. Если тогда получим уравнение Это уравнение имеет два корня, так как

3. Если тогда получаем совокупность двух уравнений:

(1) и (2)

Первое уравнение имеет дискриминант:

Оно не будет иметь корней при но это невозможно, так как

Также оно не может иметь один корень (тогда a = -4, что также невозможно).

Таким образом, при уравнение (1) имеет два корня.

Второе уравнение имеет дискриминант:

Оно не будет иметь корней, если

Будет иметь один корень, если

Будет иметь два корня, если

Окончательно получаем.

Ответ:

1. Если тогда уравнение не имеет корней.

2. Если и тогда уравнение имеет два корня.

3. Если тогда уравнение имеет три корня.

4. Если тогда уравнение имеет четыре корня.

Пример 3.. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни:

Решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Если тогда получим уравнение: (1)

Дискриминант этого уравнения равен:

Уравнение (1) будет иметь один корень, при и Два корня, при и

Если тогда получим уравнение: (2)

Дискриминант этого уравнения равен:

Уравнение (2) будет иметь один корень при и Два корни - при и

Делаем вывод, что при уравнение (1) имеет один корень, а уравнение (2) - два корня. При , уравнение (1) имеет два корня, а уравнение (2) - один.

Таким образом, при и данное уравнение имеет три корня.

Найдем эти корни. При , первое уравнение примет вид: Оно имеет один корень:

Уравнение (2) примет вид: которое имеет два корня:

При , уравнение (2) примет вид: Оно имеет один корень:

Уравнение (1) примет станет:

которое будет иметь корни:

Ответ: 1. При

2. При

Задание для самостоятельной работы.

1. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных решения.

2. Найдите все значения параметра a из промежутка при каждом из которых меньший из корней уравнения принимает наименьшее значение.

3. Для каждого значения параметра a определите число решений уравнения

4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни:

Занятие 61. Графический способ решения

Пример 1. При каких значениях a найдутся вещественные x и y, удовлетворяющие уравнению

Решение

Данное уравнение равносильно смешанной системе:

Длина отрезка PK равна поэтому окружность, заданная уравнением, и полуплоскость, заданная неравенством, имеют общие точки, если радиус окружности, равный будет больше или равен OP, т. е. .

Отсюда найдем a,

Ответ:

Пример 2. Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет ровно одно решение.

Решение

Преобразуем уравнение:

Графиком функции , т. е. левой части уравнения, есть нижняя единичная полуокружность с центром в точке (3; 3).

(

Графиком функции т. е. правой части уравнения является такая же полуокружность, но с центром в точке (a; a).

Двигая параметр a по числовой оси в сторону возрастания, получим, что указанные графики впервые пересекаются, причем имеют единственную общую точку, при a = 2. Эта ситуация сохраняется при дальнейшем увеличении a (кроме случая a = 3, когда полуокружности сливаются) до значения a = 4, а затем графики расходятся и не имеют общих точек.

Занятие 62.

Решение иррациональных неравенств с параметрами.

Решить неравенство с параметрами означает определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решение, и, если требуется в задании, для всех таких параметров найти множество всех решений неравенства.

Пример1. Решить неравенство .

Очевидно, что при а < 0, неравенство не имеет решений.

При а

Пример2.Решить неравенство .

ОДЗ неравенства: . Очевидно, что х = 1 является решением неравенства при любом а. Если х > 1, и неравенство выполняется при , откуда . Т. О. решение исходного неравенства зависит от взаимного расположения чисел х = 1 и х = - а. Если 1 < - a, то . Если 1то х = 1.

при ; х = 1 при .

Пример3. Для каждого положительного значения параметра а решить неравенство . (1)

Решение. По условию а > 0. Введём переменную t = a-x, тогда

2ах – х = =. Исходное неравенство запишем в виде

. (2)

Рассмотрим два возможных случая: t, t > 0.

а) Если t, то неравенство (2) равносильно неравенству .

Так как t и , то отсюда следует, что 0, т. е.

0 а. (3)

б) Если t < 0, то неравенству (2) удовлетворяют все значения t, при которых определена функция у = , т. е. значения t на промежутке . Итак, -, т. е. -, откуда . (4)

Объединяя решения (3) и (4) получим решение исходного неравенства, которое представляет собой отрезок .

При а>0

Пример5.При каждом значении параметра а решить неравенство .

Обозначим , . Заметим, что .

у > (у) + в(у) – (у – в)< 0 (у – в)( у – (1- в)) < 0.

Рассмотрим три случая:

1)  в1 -в в;

в<y<1 – в Û

;

2)  0;

1 – в < y < в1 -2;

3)  1 –в < 0 в > 1 ;

y < в.

Ответ : при ;

1 -2 при ;

при

Пример 6.Решите неравенство .

ОДЗ неравенства: 2х + а 0 . Рассмотрим два случая:

1)  х < 0. Тогда все пары ( х; а), входящие в ОДЗ, являются решениями.

2)  х . Тогда возведём обе части неравенства в квадрат:

Исследуем дискриминант полученного трёхчлена Д = 4(1 + а):

а) при а < -1 неравенство не имеет решений.

б) при имеем 1 - . Это двойное неравенство теперь надо согласовать с условиями и х .Т. е. надо решить систему

Число х должно быть не меньше каждого из трёх чисел 0, , .Сравним эти числа в зависимости от а:

1) Выясним, когда 0 > . Замечаем, что при 0 >

Т. о. при а > 0

2) Пусть -1. Тогда >0 и > 0. Сравним и или +1 и . Сравним квадраты этих чисел: . Получим, что . Т. е. >. Т. о. при 1.

Ответ:если а < -1, то неравенство не имеет решений

если -1, то

если а > 0 , то

Пример7.При каких а неравенство > a – x имеет решение?

ОДЗ неравенства |x|. Воспользуемся тригонометрической подстановкой – пусть х = cos и . После замены получим неравенство или |sin| > a - cos. При sin, тогда < sin + cos. Отсюда а < . Это неравенство имеет решение, если а меньше наибольшего значения выражения . Так как , то max= и исходное неравенство имеет решение при а < . Ответ:а < .

Пример8.Решить неравенство 2.

1). При а = 0 неравенство решений не имеет.2). При а неравенство равносильно совокупности двух систем при .

Ответ:При а = 0 не имеет решения; при .

Задание для самостоятельной работы.

Для каждого значения параметра а решите неравенство:

1. а)

б)

2.

3.

4.При каких значениях а при всех выполняется неравенство

?

5.

Занятия 64-68.

Защита исследовательских работ учащихся.