Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. E-mail:*****@***ru |
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 6 класс ответы и решения к работе № 3, уч. год |
Задание 1.
Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Подсказка: Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала в условии задачи дважды — один раз как выпитая с одной подругой, второй раз — с другой.
Решение:
Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды — один раз как выпитая с одной подругой, второй — с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам.
Ответ: 20 чашек.
Задание 2.
Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причём одновременных решений не было. Они ошибаются. Как вы думаете, почему?
Подсказка:Заметьте, за решение каждой задачи все три девочки вместе получали 7 конфет.
Решение
Если за решение каждой задачи все три девочки вместе получали 7 конфет (первая — 4, вторая — 2, третья — 1 конфету), значит, сумма всех полученных ими конфет должна обязательно делиться на 7, но 60 на 7 не делится. Следовательно, девочки ошиблись.
Ответ: Сумма конфет, полученных всеми девочками, должна делиться на сумму конфет, получаемых за одну задачу, т. е. должна быть кратна 7.
Задание 3.
Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см? Подсказка:По условию не обязательно двигаться вперёд!
Решение
После нескольких неудачных попыток удалиться на 1 м 70 см вперёд может показаться, что ответ — ''нет''. Заметим, что удалиться на 1 м 70 см не означает обязательно удалиться вперёд. Попробуем удалиться назад. 170 =
Ответ: Да, может. Например, 5 прыжков назад и 1 вперёд.
Задание 4.
Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся. Подсказка:Попробуйте разрезать квадрат по диагонали.
Решение
Разрежем квадрат по диагонали. Один из треугольников отложим в сторону. Теперь на какие бы треугольники мы ни разрезали второй треугольник, условие задачи будет выполнено. Один из возможных вариантов приведён на рисунке.
Задание 5.
Вдоль двух прямолинейных парковых аллеек посажены пять дубов — по три вдоль каждой аллеи. Где посадить шестой дуб так, чтобы можно было проложить еще две прямолинейные аллеи, вдоль каждой из которых росло бы тоже по три дуба?
Подсказка: Попробуйте начать с проведения новых аллеек.
Решение
У нас есть две пары деревьев, не соединенных аллеями. Проведем две аллеи, проходящие около этих двух пар (это можно сделать двумя способами — выберем любой). На пересечении новых аллей посадим шестое дерево.
Задание 6.
Чему равно выражение (102+112+122+132+142)/365 ?
Подсказка: Заметьте, можно просто «посчитать в лоб», т. е. вычислить каждый из квадратов, все сложить и, наконец, поделить; а можно вспомнить формулу квадрата суммы и сделать некоторые преобразования.
Решение
Приведем порядок действий, которые вполне могут быть сделаны в уме.
102 + 112 + 122 + 132 + 142 = 102 + (10+1)2 + (10+2)2 + (10+3)2 + (10+4)2 = 5×102 + 2×10×(1 + 2 + 3 + 4) + 12 +22 +32 + 42 =500 + 200 + 1 + 4 + 9 + 16 = 730.
Теперь уже легко сообразить, что ответ задачи — 2. Можно решить эту задачу и по-другому: 102 + 112 + 122 + 132 +142 = (12−2)2 + (12−1)2 + 122 + (12+1)2 + (12+2)2 = 5×122 + 2×10×(1+2−1−2) +2×(12 + 22) = 60×12 + 0 + 2×5 = 720 + 10 = 730. И теперь тоже легко сообразить, что ответ задачи — 2.
Задание 7.
Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько дают лимонов на 500 рублей. Сколько стоит десяток лимонов?
Решение
Составим пропорцию по условию задачи: 20 лимонов — x р; x лимонов — 500 р.
Таким образом, 20 : x = x : 500 , то есть x · x = 20 · 500 ; x · x = 10000 ; x = 100 . Два десятка лимонов стоят 100 рублей, значит, один десяток стоит 50 рублей.
Можно также найти ответ подбором, проверить, что он удовлетворяет условию задачи, а затем показать, что как в случае, когда десяток лимонов стоит больше, чем 50 рублей, так и в случае, когда десяток лимонов стоит меньше, чем 50 рублей, условие задачи не выполняется. Ответ:50 рублей.
Задание 8.
В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов. Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? Ответ обоснуйте.
Решение
Первый способ. Пусть каждый двугорбый верблюд “поделится” горбом с лошадью (у которой горба нет). Тогда у каждого животного будет по одному горбу, что означает, что количество горбов равно количеству животных в стаде.
Второй способ. Пусть x – количество лошадей (тогда количество двугорбых верблюдов также равно x), а y – количество одногорбых верблюдов. Следовательно, горбов в стаде 2x + y, что, по условию, равно 200, и животных в стаде также 2x + y. Ответ: 200.
Задание 9.
Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.
-- Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, — сказал рулевой.
-- А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, — заметил боцман. — Кроме того, я на 4 года старше матроса.
-- Средний возраст команды — 28 лет, — дал справку капитан. Сколько лет капитану?
Подсказка: Чему равна сумма возрастов всех членов команды? Сколько лет боцману? Сколько лет юнге и машинисту вместе? А сколько лет каждому из них? Сколько лет рулевому?
Решение
Для удобства перечислим все условия: 1) матросу 20 лет; 2) в команде шесть человек; 3) рулевой вдвое старше юнги; 4) рулевой на 6 лет старше машиниста; 5) юнге и машинисту в сумме в два раза больше лет, чем боцману; 6) боцман на 4 года старше матроса; 7) средний возраст команды 28 лет. Из условий 2 и 7 следует, что сумма возрастов всех членов команды (286) = 168 лет. Из условий 1 и 6 следует, что боцману 24 года. Отсюда и из условия 5 следует, что юнге и машинисту вместе 48 лет. Отсюда и из условий 3 и 4 мы можем определить возраст юнги и машиниста: здесь Ю — возраст юнги, М — машиниста. Решив эту систему уравнений, определим, что юнге 18 лет, а машинисту — 30. Отсюда и из условий 3 и 4 следует, что рулевому 36 лет. Зная возраст пяти членов команды и сумму возрастов всех шестерых членов команды, можем определить возраст капитана: К = + 24 + 18 + 30 + 36) = 40. Итак, капитану 40 лет. Ответ: 40 лет.
Задание 10.
У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей.
Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.
Решение
Пусть у кассира было x 10-копеечных монет, y 15-копеечных и z 20-копеечных. Тогда
x + y + z = 30,(*) и 10x + 15y + 20z = 500,(**). Умножив (*) на 15 и вычитая результат из (**), имеем: 5(z – x) = 50. Откуда z – x = 10 > 0.
