Интернет-портал
www. *****
Всероссийская интернет-олимпиада
e-mail: *****@***ru
ЗАДАНИЯ
Всероссийской интернет-олимпиады по математике для 10-х классов.
1. Длины сторон одного треугольника равны 17, 25 и 26. Две длины стороны другого треугольника равны 17 и 28. Найдите длину третьей стороны второго треугольника, если у треугольников равны радиусы вписанных окружностей.
2. Найдите все целые значения x, при которых выражение x2–7x+10 будет квадратом целого числа. В ответе укажите наибольшее из найденных значений.
3. Найдите последнюю цифру числа 92013.
4. В заново сформированном классе не более 40 учеников. Некоторые из учеников знакомы между собой, а некоторые нет. В первый день учёбы каждая девочка встретилась взглядом с каждым знакомым мальчиком, а каждый мальчик встретился взглядом с каждой незнакомой девочкой. Таких взглядов было 117. Сколько девочек в классе, если известно, что девочек в классе больше, чем мальчиков?
5. Человек спускается по движущемуся эскалатору метро за 24 с. Если бы эскалатор был неподвижным, то этот человек спустился бы за 42 с. За сколько секунд спустится человек в метро, стоя неподвижно на ступеньке эскалатора?
6. Известно, что n последовательных натуральных чисел таковы, что каждое из них делится без остатка на сумму своих цифр. При каком наибольшем n такое возможно?
7. Сумма корней некоторого квадратного уравнения равна 1, а сумма их квадратов равна 2. Чему равна сумма их кубов?
8. Найдите наибольшее простое число p такое, что p+10 и p+14 также являются простыми числами.
9. Трава на лугу растёт одинаково быстро и густо. Известно, что 70 коров съели бы её за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву ровно за 96 дней?
10. Найдите остаток от деления 6592 на 11.
