О формировании познавательной деятельности через самостоятельную работу учащихся на уроках математики по изучению новой темы

О ФОРМИРОВАНИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ЧЕРЕЗ САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ПО ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ

Гимназия № 000

г. Барнаул

e-mail: *****@***ru

тел/ф:

Дидактические материалы целенаправленны на осуществление дифференцирования обучения и индивидуального подхода к каждому ученику, а также создания условий для развития познавательного интереса учащихся в предметной области «математика».

Под развивающим понимается такое обучение, при котором учащиеся не только запоминают факты, усваивают правила и определения, но и обучаются рациональным приемам применения знаний на практике и переносу своих знаний и умений как в аналогичные, так и в измененные условия.

Современного подростка уже не устраивает роль пассивных слушателей на уроке, им не интересно записывать под диктовку учителя или списывать готовые решения с доски. Они не склонны слушать слишком подробные объяснения учителя. Они ждут новых форм знакомства с новым материалом, в которых могли бы воплотиться их активность, деятельный характер мышления, тяга к самостоятельности.

Для успешного усвоения курса математики необходима добровольная, заинтересованная, активная самостоятельная учебная работа учащихся на всех этапах учебного процесса. В решении этой задачи помогают эффективные средства организации самостоятельной работы учащихся на уроке, в виде набора карточек. Они предназначены для индивидуального подхода к учащимся в процессе обучения на уроках. Эта работа опирается на дифференцированный подход к учащимся. При разработке дидактических материалов учитываются индивидуальные особенности каждого учащегося, его уровень знаний, умений и навыков. Индивидуальная работа с учащимися трудоемкая, но, в конце концов результативная.

Дидактические материалы предоставляют учащемуся возможность дифференцировать обучение на всех этапах и уровнях усвоения знаний, при подготовке к изучению нового материала, при ликвидации пробелов в знаниях, первичном ознакомлении, выработке умений и навыков применять полученные знания в сходных и новых ситуациях.

Дидактические материалы содержат следующие виды карточек-заданий:

Информационного (1), инструктивного (2), тренировочного (3) и контролирующего (4) характера.

Приведено планирование учебного материала по некоторым разделам программы с указанием дидактических материалов, которые можно применять на уроках и консультациях.

Карточки информационного характера используются в качестве индивидуальных - заданий, предназначенных для повторения ранее пройденного материала, а также для быстрого ознакомления с материалом, не изученным учащимися из-за пропусков занятий. В этих карточках изложена учебная информация в сжатом, компактном виде, которая не увеличивается от разнообразной учебной информации и соответствует своему дидактическому назначению. Ученик читает текст и делает соответствующие записи в тетради, тем самым он берет на себя часть управленческих функций учителя. Они помогают учащимся эффективнее усваивать новый учебный материал и упорядочить самостоятельную работу по восполнению обнаруженных пробелов в математической подготовке, обладая свойством быстродействия, что позволяет подключить отдельных учащихся, не усвоивших этот материал своевременно, к работе класса.

Крупный объем учебной информации делиться на составные части, доступные для самостоятельного проблемного изучения. При этом пассивное обучение сменяется на уроке активной мыслительной деятельностью учащихся.

Карточки инструктивного характера содержат образцы решений типовых примеров и упражнений. В этих карточках используются алгоритмические или программные упражнения. Под алгоритмом используется точное общепринятое предписание о выполнении в определенной последовательности элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу, используя алгоритм можно всегда прийти к правильному решению.

После знакомства с теоретическим текстом и образцами решения задач учащемуся предлагается самостоятельно записать в тетради главную мысль изложенного или суть способа решения задачи и приступить к выполнению упражнений, записанных на тренировочных карточках.

В тренировочных карточках даны задания обязательного стандарта, которые позволяют сделать первый проверочный «срез» полученных знаний и определить недочеты в знаниях отдельных учащихся и содержание их последующей работы. Для основной части учащихся этого бывает достаточно. Для остальных требуется повторная работа и новая коррекция до тех пор, пока они не достигнут заданного уровня усвоения материала. Карточки облегчают организацию текущего контроля процесса формирования знаний, умений и навыков, проведения самостоятельной работы учащихся, т. е. помогают управлять процессом умственного развития учащихся. Это особенно важно для учащихся с пониженным уровнем обучаемости. Длительный «стаж неуспеваемости» подрывает у таких подростков веру в собственные силы. Итак, данные карточки применяют для тематического контроля с целью выявления качества усвоения учащимся изученной темы и отдельных ее вопросов.

Работа по алгоритму дает учащимся возможность перейти на продвинутый уровень в своем развитии. На эту мысль натолкнули слова великого французского математика, которого спросили, почему он такой гениальный. Ответ был следующим: «Потому, что я знаю три тысячи алгоритмов», т. е. интеллектуальное творчество проявляется в умении человека, знакомого с разными подходами к решению научных проблем, в нужный момент «достать» из своей памяти тот или иной алгоритм рассуждения. Это позволяет учащимся перейти к карточкам контролирующего характера.

Карточки по решению творческих задач, которые требуют большей или полной самостоятельности и рассчитаны на поисковую деятельность, неординарный, нетрадиционный подход и творческое применение знаний. В процессе решения таких заданий учащимся самостоятельно, без участия учителя или при его незначительной помощи, открывают новые для себя знания и способы их добывания.

Это задания на нахождение закономерностей, на нахождение наиболее рационального способа решения, на нахождение нескольких вариантов решения ученик должен проводить каждый раз как бы мини-исследование, которое и несёт в себе развивающий эффект. При этом трудность задания и степень самостоятельности его выполнения постепенно нарастает.

Эта методика позволят работать в зоне ближайшего развития ребенка и прогнозировать продвижение ребенка в своем развитии, а также позволяет формировать ОУУН на уроках:

1.  Организационные умения

§  умение планировать свою деятельность;

§  умение находить рациональный способ решения;

§  умение вести самоконтроль и самопроверку;

§  умение творчески работать;

2.  Учебно-информационные умения

§  умение работать с алгоритмом;

§  умение работать со справочным материалом;

3.  Учебно-коммуникативные умения

§  умение управлять своим вниманием;

§  умение слушать и развивать монологичную речь;

§  умение ставить вопросы.

Дидактические материалы

“Алгебра и начала анализа”

Содержание учебного материала.	Кол. уроков	Карточки
1) Арксинус, арккосинус и арктангенс.	2	1А,2А,3А,4А.
2) Решение простейших тригонометрических уравнений.	3	1Б,2Б,3Б,4Б.
3) Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений.	5	1В,2В,3В,4В. 1Д,2Д,3Д,4Д. 1Г,2Г,3Г,4Г, 1Е,2Е,3Е,4Е.
4) Решение тригонометрических неравенств.	3	1Ж,2Ж,3Ж,4Ж.
5) Контрольная работа.	1

Тема: Арксинус, арккосинус и арктангенс.

1А Информационная карточка.

Sin x = a на [-; ]

x = arcsin a, где –1<a<1

Определение:

arcsin a = b ó bÎ[ - ; ]

sin b = a

sin (arcsin a) = a

arcsin (-a) = - arcsin a

 

cos x = a на [0;п]

x = arccos a, где –1<a<1

Определение: arccos a = b ó cosb = a

bÎ[0;p]

cos(arccos) = a

arccos(-a) = p – arccos a

tg = a на (- ; )

x = arctg a, где a – любое.

Определение: arctg a = bó bÎ(-; )

tgb = a

tg (arctg a) = a

arctg (-a) = - arctg a

2А. Инструктивная карточка.

Задание:

Вычислить: arcsin 1; arccos ( -); arctg; arcsin ( - ).

Решение: arcsin 1 = , т. к. sin = 1 и Î[ - ; ]

arccos (-) = п - = 2, т. к. cos 2 = - и 2Î [0;p]

arctg = , т. к. tg = и Î (-;)

arcsin(-) = - arcsin = -,т. к. sin(-) = -и -Î[-;].

3А. Тренировочная карта.

Задание: Вычислить:

а) arcsin(-);

б) 2 arccos

в) 3 arctg

г) arcsin 0 + arccos

д) sin (arcsin) + cos(arccos) – tg(arctg )

4А. Контролирующая карта.

1)При каких значениях х имеют смысл выражения :

а) arcsin();

б) arccos 4x

в) arctg(2x-1)

2) Что больше:

а) arcsin или arcsin 0,82

б) arccos(-) или arccos

3) Вычислите:

а) arcsin(-1) - arctg

arccos (-)

б) sin (3 - arcsin )

Указание: применить формулу: sin(a-b) и cos(arcsin x) =,|х|< 1.

Тема: “Решение простейших тригонометрических уравнений”.

1.Б. Информационная карточка.

Решение уравнения cos x = a

Период косинуса равен 2.

Чтобы найти множество всех решений уравнения cos x = a, достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длиной 2и к каждому из них прибавить числа, кратные 2, т. е. числа вида 2.

cos x = a, если x , то два корня

cos x = a, если , то ,

Решения и можно записать одной формулой: .

a	Уравнение	Формула корней
	cos x = a	Нет решений
	cos x = a
a=0	cos x = 0
a=1	cos x = 1
a= - 1	cos x = -1

Для решения уравнения sin x = a рассуждения аналогичные (самостоятельно).

T=2

sin x = a, если , то

Решения и можно записать одной

формулой (см. в таблице)

a	Уравнение	Формула корней
	sin x = a	Нет корней
	sin x = a
a=0	sin x = 0
a=1	sin x = 1
a= - 1	sin x = -1

Рушение уравнения:

tg x = a, a, T=.

x=arctg a + , .

2Б Инструктивная карточка

Пример 1.

sin x = 1

sin x =

sin x =

x = (-1)n arcsin + pn, nÎZ

Ответ: (-1)n + pn, nÎZ

Пример 2.

3cos x = 4

cos x =

т. к. > 1, то уравнение не имеет решения.

3Б Тренировочная карточка

Вариант 3.

1.  2cos x - = 0.

2.  2sin x + 4 = 0.

3.  tg x + 1 = 0.

4.  2sin x - = 0.

4Б Контролирующая карточка

Решите уравнение

1. ;

2.

3.

4.

1В. I. Тригонометрические уравнения вида cos(x)=a, sin(x)=b, tg(x)=c.

Способ решения: введение новой переменной, т. е.

 

Простейшие тригонометрические уравнения

II. Тригонометрические уравнения вида (cos x)=a, (sin x)=b, (tg x)=c

Способ решения: введение новой переменной, т. е.

 

алгебраические уравнения

2В. Инструктивная карточка:

Задание: Решить уравнение:

cos (2x - )=; 8+6sin x-5=0

План решения	cos (2x - )=	8+6sin x-5=0
1) Выполнить замену выражения на новую переменную.	2x - = t и cos t =	sin x= t 8
2) Решить получившееся уравнение.	t=arcos + 2 t=+ 2, где	Решаем квадратное уравнение. ;
3) Сделать обратную замену и найти чему равно число x.	2x - =+ 2 2x=+2|:2 x=+ , где	sin x= - x= x=, sin x=,т. к. |sin x|1, >1, то уравнение не имеет решений.
4) Записать ответ.	Ответ: +	Ответ: x=,

3В. Тренировочная карточка:

Задание: Решить уравнение:

а). sin2x=; б). cos (x - )= - 1

в). 3 tg ()=; г). 8- 6sin x-5=0

д).2sin-

4В. Контролирующая карточка.

Задание: Решить уравнение:

а). 2cos (2x-)+=0

Ответ:1). +, - +; 2). +,

3). ; 4) ,

б).

Указание: примените формулу

Ответ: 1). ; 2). ; 3). ; 4).

в). 2

Указание: разложите на множители.

Ответ: 1). , ; 2). ; 3). , ; 4).

г). 2tg x – ctg x=1

Указание: примените формулу ctg x=

1Г. тригонометрические однородные уравнения вида :

I.  степени: asin x + b cos x = 0, a ¹ 0, b ¹ 0.

II.  степени: asin2x + b cos x sin x + c cos2x = 0, a¹0, b¹0, c¹0.

Способ решения. Все члены уравнения разделить на наибольшую степень cos x (или sin x), не опасаясь при этом потерять решения (объясните самостоятельно).

2Г. Инструктивная.

Задание : Решить уравнение.

sin x - cos x = 0

2sin2 x – 5sin x cos x + 3cos2 x = 0

План решения.
1)Разделить обе части уравнения на cos x (cos2 x) и применить формулу: sin x = tg cos x	sin x - cos x = 0 sin x _cos x = 0 cos x cos x cosx tg x - = 0	2sin2 x – 5sinx cos x + 3cos2 x =0 2sin2 x _ 5sinx cosx + 3cos2 x =0 cos2 x cos2 x cos2 x =0 2tg2 x – 5tg x + 3 = 0
2)Решить уравнение относительно tg x	tgx = x = arctg +pn, nÎZ x = + pn, nÎZ	Пусть tg x = t, тогда 2t2 – 5t + 3 = 0 имеет решение: t1 = 1; t2 = Обратная замена : tg x = 1 x = + pk, где kÎZ или tg x =; x = arctg+ pn, где nÎZ.
3)Записать ответ.	Ответ: + pn, nÎZ	Ответ: + pk, где kÎZ arctg+ pn, где nÎZ.

Тема: “Решение простейших тригонометрических неравенств”.

1Ж Информационная карточка.

Неравенства вида sin x < a, sin x > a, sin x ³ a, sin x £ a, cos x < a, cos x > a и

т. д. называются простейшими тригонометрическими неравенствами.

Графический способ решения тригонометрического неравенства.

1) Построить график тригонометрической функции содержащийся в неравенстве и функции y = a.

2) По графикам найти решения данного неравенства, принадлежащие промежутку, равному периоду тригонометрической функции.

3) Используя периодичность тригонометрической функции, записать множество всех решений неравенства.

2Ж. Инструктивная карточка.

Решите неравенство:

sin x < .

Решение:

1) Строим график функции y = sin x и прямую y = .

2) Неравенство sin x < выполняется при x Î [ - ], если

- < x < .

3) Используя периодичность функции y = sin x ( T = 2p), запишем неравенства :

- + 2pn<x< + 2pn, nÎZ.

Ответ: - + 2pn<x< + 2pn, nÎZ.

3Г. Тренировочная карточка.

Решите уравнения :

a)2sin x – 3cos x = 0

б)sin 2x + cos 2x = 0

Указание : сделать замену 2x = t

в)cos2 x + sin x cos x = 0.

г)4 sin2 x + 2cos x sin x = 3

3Г Контролирующая карточка.

Решить уравнение:

a)1 – 2sin2x = 6cos2 x

б)(cos x + sin x)2 = cos 2x

в)sin 2x - cos 2x = 0

г)sin2 x – 3cos x sin x = 0

д) sin (x - ) + 3cos (x - ) = 0

Тема: “Решение уравнения вида a sin x + b cos x = c”.

1е. Информационная карточка.

1. Введение вспомогательного угла.

a sin x + b cos x = c.

1) a Î R, b Î R, c Î R; a, b и с – одновременно не равны 0.

2) .

3) Разделим каждый член уравнения в левой и правой частях на .

sin x + cos x =

4) a) | c | > - решения нет.

б) | c | £ - есть решение.

5) cos = ,

sin = ; ( 2 ).

Подставим ( 2 ) в уравнение ( 1 ): cos sin x + sin cos x =.

Применим формулу: sin ( + ) = sin cos + cos sin .

sin( x + ) =.

x + = n arcsin + pn, nÎZ.

x = - + n arcsin + pn, nÎZ.

найдем из любого уравнения системы ( 2 ): sin = ;

= arcsin .

x = - arcsin + n arcsin + pn, nÎZ.

2. Сведение уравнения вида a sin x + b cos x = c к однородному.

sin x = 2 sin cos ,

cos x = cos2 - sin2 ,

cos2 + sin2 = 1.

Подставим в данное уравнение:

2a sin cos + b ( cos2 - sin2 ) = c ( cos2 + sin2 ),

( b – c ) cos2 + 2a sin cos - ( b+c ) sin2 = 0.

3е. Тренировочная карточка.

Вариант 4.

Решить уравнения.

1.  sin x + cos x = 4.

2.  sin x – cos x = .

3.  sin x + cos x = 7.

4е. Контролирующая карточка.

Вариант 1.

Решить уравнения.

1.  3sin 2x + 4 cos 2x = 2.

2.  sin 3x - cos 3x = .

3.  cos 5x + sin 5x = 1.

3ж. Тренировочная карточка.

Решите неравенства :

1.  sin x < .

2.  cos x > -.

3.  Tg x < .

4.  ctg x >.

5.  Sin x > .

4ж. Контролирующая карточка.

1.  tg (x - ) < .

2.  sin 2x < .

3.  2cos (2x - ) >

4.  > 1.

5.  cos2x + cos x > 0.

Тема: “Решение уравнения вида a sin x + b cos x = c”.

2е. Инструктивная карточка.

1. Введение вспомогательного угла.

Решим уравнение: 4 sin x – 5 cos x = 3.

1) a = 4, b = 5, c = 3 – действительные числа; a, b, c – одновременно не равны 0.

2) .

3) Разделим каждый член уравнения в левой и правой частях на :

sin x - cos x =

4) | 3 | < - есть решение.

5) cos = ,

sin = - ; ( 2 ).

Подставим ( 2 ) в уравнение ( 1 ): cos sin x + sin cos x =.

Применим формулу: sin ( + ) = sin cos + cos sin .

sin( x + ) =.

x+ = n arcsin + pn, nÎZ.

x = - + n arcsin + pn, nÎZ.

найдем из любого уравнения системы ( 2 ): sin = - ;

= - arcsin .

x = arcsin + n arcsin + pn, nÎZ.

Решим уравнение: cos x – sin x = 1,5.

1) a = - 1, b = 1, c = 1,5 – действительные числа;

a, b, c – одновременно не равны 0.

2) .

3) | 1,5 | > - нет решения.

2. Сведение уравнения вида a sin x + b cos x = c к однородному.

Решим уравнение: sin 2x + cos 2x = - 1.

2 sin x cos x + cos2 x - sin2 x = - ( cos2 x + sin2 x ),

2 cos2 x + 2 sin x cos x = 0,

2 cos x ( cos x + sin x ) = 0,

cos x = 0 или cos x + sin x = 0,

x = +pn, nÎZ, 1+ tg x = 0,

tg x = - 1,

x = - +pn, nÎZ.

Ответ: +pn, - +pn, nÎZ.