Элективный курс «Элементы теории операторов» (стр. 2 )

Определение. Функцией называется отображение, ставящее в соответствие значению переменной величины x (независимая переменная), одно или несколько определенных значений y (зависимой переменной).

Говорят также: величина y зависит от величины x.

Из примера видно, что функция – это отображение, но не любое отображение будет являться функцией, так как отображение может оперировать объектами различной природы в отличие от функции. Так что понятие отображения более широкое, чем понятие функции.

Обозначается функция . Эта запись означает, что величина y равна какой-то функции от x, или величина y зависит от x. При этом x называется аргументом функции.

Функции могут быть однозначными и многозначными, в зависимости от того, сколько значений функции соответствует каждому значению x.

Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент x функции , называется областью определения этой функции (обозначается ), а множество всех y, которым соответствуют все x из области значений, называется областью значений функции (обозначается ).

Пример. Пусть дана функция .

, так как знаменатель не должен быть равен 0, т. е.

, так как какие бы значения не принимала переменная x, y никогда не будет равен 0.

Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных), можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее употребительны три способа задания функции:

1.  аналитический

2.  графический

3.  табличный

Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами.

Пример.

Графический способ состоит в построении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции.

Пример.

Преимущества: легкость обозрения в целом и непрерывность изменения аргумента.

Недостатки: ограниченная степень точности и утомительность прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.

Табличный способ сразу дает числовое значение функции, но трудно обозрима и часто не содержит всех нужных значений аргумента.

Пример. Таблица квадратов:

x	13	14	15	16
y	169	196	225	256

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

Найти области определения и значения функции заданной аналитически: . Задать функцию графически и составить таблицу для значений: .

Занятие №7.

Тема занятия. Понятие функционала.

Цель занятия. Ввести понятие функционала как частного случая отображения.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пример. Рассмотрим отображение: . Оно представляет собой длину отрезка АВ, концы которого лежат на функции и имеют координаты: , так что отображение нечто иное, как длина гипотенузы прямоугольного треугольника (рис 1).

Как видно отображение уже зависит не от переменной , которая может принимать какие-либо значения (как в случае функции ), а от самой функции . При этом будет аргументом отображения . Изменяя , т. е. изменяя вид функции, будет меняться и длина отрезка АВ. Так как выражает эту длину отрезка АВ, то понятно, что принимает числовые значения (скаляр).

Рассмотрим множество F – всех функций на отрезке и R – множество всех действительных чисел. Рассмотрим какой-либо элемент множества F т. е. какую-либо функцию. По отображению ей будет соответствовать действительное число . Взяв другой элемент множества F (изменив вид функции), ей будет соответствовать другое действительное число. Таким образом - есть отображение, ставящее в соответствие каждой функции некоторое действительное число. Отображение называется функционалом.

Пример. Пусть дан функционал , где , то есть . Он означает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с единичной длиной одного из катетов. Рассмотрим несколько вариантов функции : 1), в этом случае

2),

3), .

Функционал, так же как и функция является частным случаем отображения, но сама функция – частный случай функционала.

Существуют различного рода функционалы. Для того чтобы из функционала получить функцию достаточно в качестве аргумента функционала (функции ) взять функцию-константу т. е. .

Примером могут служить:

а) , выражающий числовое значение площади фигуры ограниченной линиями: (рис 2)

в) , выражающий числовое значение длины части кривой, ограниченной линиями: . (рис 3)

4.  Подведение итогов.

Домашнее задание.

С помощью функционала определить длину отрезка, ограниченного прямыми и концы которого лежат на функции .

В качестве функции взять:

(В зависимости от класса можно предложить ученикам работу с функционалами .)

Занятие №8.

Тема занятия. Области определения и значения функционала. Ядро функционала.

Цель занятия. Ввести понятие ядра функционала и научить вычислять область его значений при различных областях определения.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Как уже говорилось, функционал – это отображение, ставящее в соответствие какой-либо функции действительное число. Поэтому областью определения функционала является множество всех функций, определенных на промежутке, интервале или даже всей числовой прямой, а областью значений служит множество действительных чисел.

Пример.

Пусть дан функционал .

Множеством его определения будет множество всех функций определенных на отрезке .

А множеством его значений будет множество всех действительных чисел или его подмножество (отрезок, интервал) .

Пример.

Ограничим область определения функционала , т. е. пусть функция принимает лишь следующий вид: на отрезке , где .

Тогда область определения функционала:

.

Определим область значений данного функционала:

.

При возрастании (убывании) будет увеличиваться и выражение .

Наименьшее значение этого выражения достигается при .

Тогда область значений данного функционала .

Можно указать такую область определения функционала :

, что область значений будет содержать лишь одну единственную точку . (проверить это)

Пусть - отличный от тождественного нуля функционал. Совокупность тех функций , для которых называется ядром функционала .

Пример. Пусть дан функционал . Его ядром будет множество функций центрально-симметричных относительно точки .

Примером таких функций может служить множество функций , симметричных относительно начала координат, а промежуток интегрирования , - может принимать любые значения.

А так же функции вида: , где т. к. так же симметрична относительно начала координат, а промежуток интегрирования , - может принимать любые значения.

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  Определить область значений функционала , если известна область его определения .

2)  Показать, что если , то ядро функционала представляет собой пустое множество.

Занятие №9.

Тема занятия. Самостоятельная работа.

Цель занятия. Закрепить и проверить овладение учащимися решать задачи на темы отображения, функции и функционалы.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Самостоятельная работа.

Вариант №1.

1.  Дано отображение , задаваемое формулой . (коэффициенты и выбираются либо на вариант, либо каждому ученику индивидуально )

a.  Найти образ множества и множества ;

b.  Прообраз множества и множества ;

c.  Показать, что выполняется свойство: , где и .

2.  Дана функция: .

Определить области ее значения и определения, а так же нули функции.

3.  Дан функционал: .

Определить:

a.  Ядро функционала ;

b.  Область значений функционала , если

Вариант №2.

1.  Дано отображение , задаваемое формулой .

(коэффициенты и выбираются либо на вариант, либо каждому ученику индивидуально )

a.  Найти образ множества и множества ;

b.  Прообраз множества и множества ;

c.  Показать, что выполняется свойство: , где и .

2.  Дана функция: .

Определить области ее значения и определения, а так же нули функции.

3.  Дан функционал: .

Определить:

a.  Ядро функционала ;

b.  Область значений функционала , если

Домашнее задание.

Повторить теоретический курс занятий №4 – 8.

Занятие №10.

Тема занятия. Понятие оператора.

Цель занятия. Ввести понятие оператора как частного случая отображения.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Рассмотрим такое отображение, которое одной функции ставит в соответствие другую. Такое отображение носит название оператора. Записывается это в виде: , где - обозначение оператора. Схематически это можно изобразить так:

То есть - некоторое правило, закон по которому будет изменяться функция для получения функции . Тогда мы имеем дело с отображением функции на функцию. Снова, как и для функции, и для функционала заключаем, что оператор – частный случай отображения.

Пример.

1) Пусть - оператор сложения с числом , тогда .

В результате из функции получается другая функция .

2) Пусть - оператор умножения на число , тогда .

В результате из функции получается другая функция .

3) Пусть - оператор возведения какой-либо функции в степень , тогда

В результате из функции получается другая функция .

4) - оператор дифференцирования, тогда .

В результате из функции получается функция, которая является ее производной .

Будем записывать правило, по которому действует тот или иной оператор следующим образом: .

В примерах:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Подействуем последовательно на функцию выше приведенными операторами .

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

Пусть оператор (умножение функции на х);

(возведение функции в квадрат);

(добавление к функции );

(вычитание из функции 1);

(добавление к функции );

(деление функции на );

(извлечение из функции квадратного корня).

Задумать функцию , подействовать оператором , результат подействовать оператором , и т. д. (каждым следующим оператором подействовать на предыдущую функцию). Изменилась ли исходная функция?

Занятие №11.

Тема занятия. Области определения и значения операторов. Операции над операторами (сумма, разность, произведение оператора на число).

Цель занятия. Ввести понятия области определения и значения операторов. Научить выполнять некоторые операции над операторами.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Как уже говорилось, так как оператор является одним из частных случаев отображения, то, как и для отображения справедливо ввести понятия области определения и значения оператора.

Областью определения оператора является множество всех функций, а так как в результате действия оператора получается снова функция, то и областью значений оператора является снова множество .

Можно ввести 3 основные операции над операторами:

·  Сумма;

·  Умножение оператора на число;

·  Произведение (композиция).

Суммой операторов и называется новый оператор , область определения которого: . Обозначается: и вычисляется по формуле:

.

Пример.

1.  Пусть оператор , а оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим .

2.  Пусть оператор , а оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим .

3.  Если оператор , а оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим .

Аналогично вводится понятие разности операторов.

Разностью операторов и называется новый оператор , область определения которого: . Обозначается: и вычисляется по формуле:

.

Пример.

1.  если оператор , а оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим

2.  если оператор , а оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим .