Элективный курс «Элементы теории операторов» (стр. 1 )

ЛИПЕЦКИЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 48

Элективный курс «Элементы теории операторов»

Выпускная квалификационная работа

Работу выполнила

Липецк 2008

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………….….3

Тематическое планирование..……………………..………………………………...……….…..4

Организация учебного процесса

Занятие №1……………………………………..…………………………………………….…...4

Занятие №2……………………………………..…………………………………………….…...6

Занятие №3……………………………………..…………………………………………….…...8

Занятие №4……………………………………..…………………………………………….…...9

Занятие №5……………………………………..………………………………………….……..12

Занятие №6……………………………………..……………………………….………………..13

Занятие №7……………………………………..………………………………………….……..15

Занятие №8……………………………………..………………………………………….……..18

Занятие №9……………………………………..………………………………………….……...21

Занятие №10……………………………………..………………………………………………..22

Занятие №11……………………………………..………………………………………………..24

Занятие №12……………………………………..………………………………………………..27

Занятие №13……………………………………..………………………………………………..29

Занятие №14……………………………………..………………………………………………..31

Занятие №15……………………………………..………………………………………………..34

Занятие №16……………………………………..………………………………………………..36

Занятие №17……………………………………..………………………………………………..37

Занятие №18……………………………………..………………………………………………..39

Список литературы..……………………………..………………………………………………..40

Введение

Современная математика представляет собой объединение различных направлений. Теория операторов – это раздел математики, который занимается исследованием различного рода операций. В условиях профильного обучения представляется возможным знакомство учащихся с некоторыми понятиями теории операторов. И это можно сделать на занятиях курсов по выбору, которые играют важную роль в системе профильного обучения в старших классах школы.

Изучение математики в школе наряду с изложением конкретных сведений ставит своей задачей выработку навыков математического мышления. Именно это навыки окажутся наиболее важными для выпускников средней школы в их практической деятельности.

Курс «Элементы теории операторов» рассчитан на учеников 10-11 классов. Он опирается на базовый уровень владения математическими знаниями и не требует дополнительного введения какой-либо информации.

Данный курс имеет большую практическую значимость. Он рассчитан на учащихся, которые стремятся развивать не только свои навыки в применении математических преобразований, но и рассматривают математику как средство получения дополнительных знаний и профессиях.

В рамках профильного обучения учащихся 10-11 классов курс имеет целью в научно-популярной форме познакомить учеников с различными направлениями применения математических знаний, роли математики в жизни, культуре; ориентировать учеников в мире современных профессий, связанных с овладением и использованием математических умений и навыков; предоставить ученику расширить свой кругозор в различных областях применения математики, реализовать свой интерес к предмету, проверить свои профессиональные устремления, утвердиться в сделанном выборе.

Данный курс имеет образовательное значение, способствует развитью логического мышления учащихся.

Выделяются следующие задачи:

−  Обеспечить овладение учащимися знаниями по теме: «Элементы теории операторов»;

−  Раскрыть роль операторов в современной математике;

−  Научить учащихся оперировать понятьями теории операторов.

Тематическое планирование

В элективный курс вошли вопросы, связанные с основными понятиями теории операторов и решения задач на эту тему, которые хорошо согласуются с соответствующими разделами школьной математики.

№	Название	Количество часов
1	Понятие множества и операции над множествами	3
2	Понятие отображения, основные свойства отображений	2
3	Понятие функции, способы задания функции	1
4	Понятие функционала	3
5	Понятие оператора	3
6	Операции над операторами	2
7	Обратные операторы	1
8	Линейные операторы	1
9	Зачетные занятия	2
		18 часов

Организация учебного процесса

Занятие №1.

Тема занятия. Понятие множества. Объединение множеств.

Цель занятия. Привлечь внимание и развить интерес у учащихся к курсу и математике. Научить математическому мышлению.

Ход занятия.

Организационный момент. Объяснение нового материала.

В начале занятия учитель рассказывает о курсе, его целях и задачах; говорит о форме отчетности после прохождения курса.

Когда рассматривают несколько каких-нибудь объектов или элементов, употребляют такие слова, как «совокупность», «собрание», «множество». Например, можно говорить о множестве учеников класса, множестве ручек и тетрадок, деревьев, парт и т. д.

Учащимся предлагается назвать какое-либо множество. Большинство названных детьми множества будут состоять из определенного числа элементов, такие множества называются конечными. В математике часто приходится иметь дело с совокупностями, состоящими не из конечного числа объектов, а из бесконечного. Одним из примеров таких множеств может служить множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, … и множество всех точек отрезка. Они называются бесконечными, так как нельзя сосчитать общее число элементов содержащихся в данных множествах.

К числу множеств относится и пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается пустое множество символом:

Будем обозначать множества большими буквами А, В, С, …, а их элементы – малыми буквами a, b, c, …

Запись означает, что a есть элемент множества А; запись означает, что элемент a не есть элемент множества А.

Например: пусть А – множество яблок, В – множество груш, а – яблоко, b – груша.

Тогда:

Запись означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В.

Например: пусть А – множество всех ручек, а В – множество синих ручек.

Тогда: .

Если и , то .

Рассмотрим три простые операции над множествами: объединение, пересечение и разность.

Объединением множеств А и В называют множество С, содержащее как элементы множества А, так и элементы множества В.

Обозначение:

Например: пусть А – множество всех девочек в классе, а В – множество всех мальчиков в классе. Тогда множество – множество всех учеников в классе (мальчиков и девочек).

Пусть множество А={1, 2, 3, 4, 5}, а В={2, 4, 6, 8}. Тогда объединением множеств А и В будет множество С={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. То есть (в объединении повторяющиеся элементы записываются один раз).

Пусть А – множество чисел больших семи, В – множество чисел делящихся на 2, а С – множество чисел делящихся на 3. Тогда .

Если , то .

Например: В={3, 5, 7, 11}, A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Тогда:

Для объединения множеств используются так же знаки и , так что, например, запись или обозначает объединение множеств .

Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  объединить множества:

.

2)  Объединить множества:

– множество чисел меньших двух

– множество четных положительных чисел

– множество нечетных отрицательных чисел.

Занятие №2.

Тема занятия. Пересечение и разность множеств.

Цель занятия. Научить учащихся производить операции над множествами.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пересечением множеств А и В называется множество С, содержащее элементы, входящие в каждое из указанных множеств (повторяющиеся элементы).

Обозначение:

Например: А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В={0, 2, 4, 6, 8, 10}, D={1, 3, 5, 7}

Тогда:

, то есть

Для пересечения множеств используются знаки и , так что, например, запись или означает пересечение множеств .

Разностью множеств А и В называется множество С содержащее элементы множества А без элементов множества В.

Обозначается: или .

Например: А={2,4,6,8,10,12,14,16}, В={0,4,8,12,16,20}

Тогда:

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  найти пересечение и разность множеств ( и ):

А={9, 8, 7, 6, 5, -5, -6, -7, -8, -9}

B={-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}

Показать, что

2)  найти пересечение множеств:

А – множество чисел, делящихся на 2

В – множество чисел, делящихся на 3

3)  А={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}

B={2,3,5,7,11,13,17,19}

C={1,4,7,10,13,16,19}

Найти:

а)

б)

в)

г)

Занятие №3.

Тема занятия. Самостоятельная работа.

Цель занятия. Закрепить и проверить овладение учащимися решать задачи на пройденные темы.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Самостоятельная работа.

Вариант №1. 1.Даны множества: Определить: 2.Найти множества и , если: 3.Даны множества: - целые числа большие 10; - действительные числа не меньшие 17; - все целые числа, делящиеся без остатка на Подобрать операции над множествами , так чтобы в результате проведения подобранных операций над множествами получилось множество .

Вариант №2. 1.Даны множества: Определить: 2.Найти множества и , если: 4.  Даны множества: - множество простых чисел; - множество натуральных чисел не больших 10; - множество четных чисел. Подобрать операции над множествами , так чтобы в результате проведения подобранных операций над множествами получилось множество .

Домашняя работа.

Повторить теоретический курс занятий №1 – 2.

Занятие №4.

Тема занятия. Понятие отображения.

Цель занятия. Сформировать у учащихся понятие отображения.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пусть даны два множества M и N. Отображением называется некоторое соответствие между элементами множества M и N.

При этом множество M называется областью определения отображения, а множество N областью значений.

Для обозначения отображения из М в N пользуются записью .

Если - элемент из М, то отвечающий ему элемент из N называется образом (при отображении ). Совокупность всех тех элементов из М, образом которых является данный элемент , называется прообразом (или, точнее, полным прообразом) элемента и обозначается .

Например: пусть дано отображение , где , а .

И пусть каждому элементу ставится в соответствие некоторый элемент по закону: . Тогда множество всех называется образом некоторого элемента , так как

А множество будет называться прообразом некоторых , так как:

Пусть А – некоторое множество из М; совокупность всех элементов вида , где , называется образом А и обозначается . В свою очередь для каждого множества В из N определяется его прообраз , а именно: есть совокупность всех тех элементов из М, образы которых принадлежат В.

Пример: пусть дано отображение ; , а задается формулой .

Тогда множество будет образом множества , так как , а множество будет прообразом множества , так как .

4. Итоги занятия.

Домашнее задание.

1) Дано отображение , задаваемое формулой , где ; .

Найти образы элементов 0; 1; 2; 4; 8; 9; 16; 18.

Найти прообразы элементов 0; 1; ; 2; 4; 6.

2) Дано отображение , задаваемое формулой , где .

Найти образы множеств .

Определить прообразы множеств .

3) Дано отображение , задаваемое формулой , где .

Найти ошибку:

.

Занятие №5.

Тема занятия. Основные свойства отображений.

Цель занятия. На основе примеров познакомить учащихся с некоторыми свойствами отображений.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Так как образы и прообразы отображений являются множествами, то для них справедливы операции, которые выполняются над множествами.

Свойство 1. прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:

.

Пусть дано отображение , задаваемое формулой , где .

И пусть а) .

Тогда и ;

; ; .

Теперь пусть б) .

Тогда и ;

; ; .

Свойство 2. прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

.

Пусть дано отображение , задаваемое формулой , где .

И пусть а) .

;

; ; .

Теперь пусть б) .

;

; ; .

Свойство 3. образ суммы двух множеств равен сумме их образов:

.

Пусть дано отображение , задаваемое формулой , где .

И пусть а) .

;

.

Теперь пусть б) .

;

.

Замечание. Образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов, но для некоторых функций это справедливо. Показать это на примере отображения .

4. Итоги занятия.

Домашнее задание.

Проверить изученные свойства отображений на примере отображения .

Занятие №6.

Тема занятия. Понятие функции. Области определения и значения функции.

Цель занятия. Обобщить знакомое ученикам понятие функции как частного случая отображения.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пример. Тело брошено вверх; s – высота его подъема над землей, t – время, прошедшее с момента бросания.

Рассмотрим два множества: S – множество всех принимаемых телом значений высот, и T – множество значений времени. Так как в каждый момент полета t тело имеет определенную высоту s, то имеем отображение множества времени Т на множество высот S. Каждому значению времени (элементу из Т) соответствует (ставится в соответствие) определенная высота (элемент из множества S). .