Элективный курс «Элементы теории операторов» (стр. 3 )

Произведением оператора на число называется новый оператор , область определения которого: . Обозначается и вычисляется по формуле: .

Пример.

1) пусть оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим:

.

2) пусть оператор , тогда если и, подействовав оператором на функцию , получим:

.

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)

Определить

где , , , и и .

Показать, что .

2)

Показать, что , где .

Занятие №12.

Тема занятия. Операторы. Произведение (композиция ) операторов.

Цель занятия. Познакомить учащихся с еще одной операцией над операторами.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пусть даны два оператора и . Подействуем на функцию сначала оператором , а затем на полученный результат подействуем оператором .

Можно ли найти такой оператор , чтобы, подействовав на функцию получить , минуя . Оператор называется произведением или композицией операторов и . Обозначается: . Так что или .

Пример. Пусть , и пусть . Найдем , где .

.

Пусть . Найдем .

.

Видно, что .

В общем случае , то есть от перестановки множителей произведение меняется.

Решим домашнюю задачу занятия №8.

Пусть оператор (умножение функции на х);

(возведение функции в квадрат);

(добавление к функции );

(вычитание из функции 1);

(добавление к функции );

(деление функции на );

(извлечение из функции квадратного корня).

Задумать функцию , подействовать оператором , результат подействовать оператором , и т. д. (каждым следующим оператором подействовать на предыдущую функцию). Изменилась ли исходная функция?

Решить задачу предлагалось путем последовательного применения каждого следующего оператора на ранее полученную функцию.

Решим данную задачу с помощью композиции операторов. Пусть . Подействуем оператором на функцию .

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  Определить , где , а операторы из домашнего задания занятия №8.

2)

Подействовать оператором на функцию , где .

c.  Даны операторы:

Показать, что .

Занятие №13.

Тема занятия. Функция и функционал как частный случай оператора. Ядро оператора.

Цель занятия. Показать учащимся переходы от операторов к функциям и функционалам.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пусть дан оператор . Пусть , а , тогда имеем отображение . То есть, если - правило, согласно которому некоторому числу ставится в соответствие некоторое число , то представляет собой нечто иное, как функцию.

Пример.

Пусть , если , где - некоторое число, то .

То есть - есть функция: .

Пусть , если , где - некоторое число, тогда . То есть - есть функция: .

Если же дан оператор и если , тогда имеем отображение . То есть, если - правило, согласно которому некоторой функции ставится в соответствие некоторое число , то представляет собой нечто иное, как функционал.

Пример.

Пусть , где , тогда , где функция непрерывна на отрезке . То есть - функционал: .

Пусть , где , тогда . То есть - функционал: .

Подобно тому, как мы ввели понятие ядра функционала, можно ввести понятие ядра оператора. Множество тех , для которых , называется ядром оператора .

Пример.

Множество всех функций вида: , где - некоторое число составляет ядро оператора дифференцирования.

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  Выбрать функцию и показать, что она является частным случаем некоторого оператора. Изобразить функцию в декартовой системе координат.

2)  Показать, что функционал является частным случаем некоторого оператора. Определить вид этого оператора. Изобразить значение этого функционала графически.

Занятие №14.

Тема занятия. Обратные операторы, нулевой и единичный операторы.

Цель занятия. Ввести понятие обратного оператора. Познакомить учащихся с нулевым и единичным операторами.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Рассмотрим оператор , переводящий некоторую функцию в функцию . Возможно ли подобрать такой оператор, который переводил бы функцию в функцию , или иначе: существует ли такой оператор , что ?

Оператор называется обратимым, если для любой функции уравнение имеет единственное решение (каждой функции соответствует единственная функция ).

Оператор называется обратным по отношению к оператору . Обозначается обратный оператор: , то есть .

Пример.

1)  Пусть, где. Каждому значению функции соответствует единственная функция . Оператор , обратный оператору , будет выглядеть следующим образом или . (Что нужно сделать с функцией , чтобы получить функцию ?) То есть под действием оператора убирается куб функции или одно и тоже, что из аргумента оператора извлекается кубический корень.

Тогда если , то .

; .

2)  Пусть , тогда или , где .

; .

Рассмотрим операторы:

a)  , переводящий каждую функцию в саму себя.

Тогда оператор обратный оператору будет сам оператор . То есть .

Оператор называется единичным оператором.

b)  , переводящий каждую функцию в 0. Оператора, обратного оператору , не существует, так как значению этого оператора 0 соответствует бесконечное множество функций. Оператор называется нулевым оператором.

Пусть , тогда .

Подействуем на функцию произведением операторов .

;

.

Вывод: .

Пример.

Пусть . Найдем оператор , используя равенство .

То есть .

Проверим это

Полученный нами оператор действительно является обратным к оператору .

Аналогично для оператора получим:

Проверим это:

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  Найти оператор обратный оператору , где . Проверить полученный оператор с помощью единичного оператора .

2)  Даны операторы:

Показать, что

Занятие №15.

Тема занятия. Линейные операторы.

Цель занятия. Ввести и закрепить понятие линейного оператора.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания.

3.  Объяснение нового материала.

Пусть дан оператор .

·  Оператор называется аддитивным если: .

·  Оператор называется однородным если: .

·  Оператор называется линейным если он и аддитивен, и однороден, то есть .

Примерами линейных операторов могут служить:

a.  единичный оператор и нулевой оператор .

В самом деле:

.

.

b.  Оператор дифференцирования :

.

c.  Оператор интегрирования :

Покажем, что оператор не является линейным.

Покажем линейность оператора :

.

Оператор уже не будет линейным:

Оператор будет линейным лишь тогда, когда на и накладывается условие: .

Если оператор линеен, то и обратный ему оператор так же линейный.

Достаточно проверить выполнение равенства:

.

1)  Пусть и , и если - линейный оператор, то:

.

2)  Так как и

.

Складывая левые и правые части полученных равенств:

И сравнивая с 1) получим:

.

Примером может служить то, что операторы дифференцирования и интегрирования оба линейные.

4.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

1)  Показать, что оператор не линеен.

2)  Показать линейность оператора и оператора .

3)  Показать, что оператор , где не линеен.

Занятие №16.

Тема занятия. Самостоятельная работа.

Цель занятия. Закрепить и проверить овладение учащимися решать задачи на тему операторы.

Вариант №1.

1.  Даны операторы:

Найти:

, где

2.  Даны операторы:

Определить:

где

(коэффициенты и подбираются учителем либо на вариант, либо на каждого ученика индивидуально)

3.  показать, что оператор не линейный.

Вариант №2.

1.  Даны операторы:

Найти:

, где

2.  Даны операторы:

Определить:

где

(коэффициенты и подбираются учителем либо на вариант, либо на каждого ученика индивидуально)

3.  Показать, что оператор не линейный.

Домашнее задание.

Повторить теоретический курс занятий №10 – 15.

Занятие №17.

Тема занятия. Повторение пройденного материала.

Цель занятия. Вспомнить весь пройденный материал, восполнить, если есть, пробелы в знаниях, подготовиться к зачетному занятию.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Работа с классом.

Работа с классом осуществляется в виде беседы учителя с учениками с целью проверки полученных теоретических знаний по темам:

ü  множества;

ü  отображение;

ü  функции;

ü  функционалы;

ü  операторы;

и умения применять полученные знания в решении задач.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя:

1)  Дать понятие множества.

2)  Что называется объединением (суммой) двух или нескольких множеств?

3)  Что называется пересечением двух или нескольких множеств?

4)  Что называется разностью двух или нескольких множеств?

5)  Что называют пустым множеством?

6)  Какие множества называют конечными и бесконечными?

7)  Дать понятие отображения.

8)  Что называется областью определения отображения?

9)  Что называется областью значений отображения?

10)  Что называется образом и прообразом отображения?

11)  Дать понятие функции.

12)  Какие способы задания функции вам известны?

13)  Что называется областью определения и значения функции?

14)  Что называется образом и прообразом функции?

15)  Почему функция является частным случаем отображения?

16)  Дать понятие функционала.

17)  Что называется областью определения и значения функционала?

18)  Что называется образом и прообразом функционала?

19)  Почему функционал является частным случаем отображения?

20)  Что называют ядром функционала?

21)  Дать понятие оператора.

22)  Что называется областью определения и значения оператора?

23)  Что называется образом и прообразом оператора?

24)  Почему оператор является частным случаем отображения?

25)  Верно, ли что функция и функционал являются частными случаями оператора?

26)  Пояснить данный факт.

27)  Какие операции над операторами вам известны?

28)  Что называют суммой операторов?

29)  Что называют разностью операторов?

30)  Что называют произведением оператора на число?

31)  Что называют произведением операторов?

32)  Дать понятие обратного оператора.

33)  Дать понятие единичного оператора.

34)  Дать понятие нулевого оператора.

35)  Дать понятие линейного оператора.

Каждый ответ учащихся учитель поясняет примером.

3.  Итоги занятия.

Домашнее задание.

Подготовка к зачету. Повторить изученный теоретический и практический материал.

Занятие №18.

Тема занятия. Зачет.

Цель занятия. Проконтролировать усвоение пройденного материала.

Ход занятия.

1.  Организационный момент.

2.  Зачет.

Каждый ученик получает по карточке с двумя теоретическими вопросами и одной задачей.

Примером таких карточек может быть:

Карточка №1.

1)  Почему функция является частным случаем отображения?

2)  Верно ли, что функция является частным случаем функционала? Почему?

3)  Определить вид оператора:

, если

Карточка №2.

1)  Что называется разностью двух множеств?

2)  Что является областью значения функционала?

3)  Показать нелинейность оператора:

, где

3. Итоги занятия и курса.

Список литературы

, Фомин теории функций и функционального анализа. – 7-е изд., – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. , Фомина матричных игр. Элективный курс: учебно-методическое пособие. – Липецк: ЛГПУ, 2008. , Куркина математика. – 2-е изд., – М.: Проспект, 2004. Натансон функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. Шилов анализ. – М.: Наука, 1969. Выгодский по высшей математике. – М.: Астрель, 2004.