Теория автоматического управления (стр. 4 )

а) в первой строке выписываются все коэффициенты с четными индексами, начиная с а0, во второй - с нечетными, начиная с а1, отсутствующие коэффициенты заменяются нулями;

б) коэффициенты третьей строки вычисляются по следующему алгоритму:

С13=; С23=; С33= и т. д.

в) коэффициенты четвертой строки определяются по двум предыдущим строкам:

С14=; С24= и т. д.

Таблица Рауса имеет (n+1) строку и целое от число столбцов.

не обращаясь в нуль, т. е. согласно принципу аргумента

. (2)

Критерий Найквиста – частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы с единичной обратной связью по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Первая формулировка критерия: замкнутая система будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку с координатами , т. е. .

Вторая формулировка критерия: если передаточная функция W(s) разомкнутой системы имеет правых корней, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности охватывала точку с координатами (-1,) в положительном направлении (против часовой стрелки) раз, т. е..

Формулировка критерия для астатических систем: замкнутая система будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечного радиуса до положительной вещественной полуоси, если число правых полюсов l передаточной функции W(s) равно нулю или четное, и до отрицательной вещественной полуоси, если l - нечетное число, при изменении частоты w от нуля до бесконечности охватывает точку с координатами в положительном направлении раз.

2.2 Показатели качества работы САУ

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособности линейной САУ. Устойчивость означает, что переходные составляющие процессов затухают. Для практики этого недостаточно. Поэтому возникают определенные требования к времени затухания переходных составляющих, к характеру реакции системы на задающие и возмущающие воздействия, к точности отработки этих воздействий. Все эти стороны работоспособности системы обобщаются в понятии качества процесса управления. Качество процесса управления оценивается рядом показателей.

Существуют два вида установившихся (стационарных) режимов САУ: статический и динамический.

Статический стационарный режим характеризуется тем, что все внешние воздействия и параметры системы не меняются во времени (g(t)=x0=const, ).

Динамический стационарный режим – это режим, при котором приложенные к системе внешние воздействия (g(t), f(t)) изменяются по некоторому установившемуся закону, в результате чего в системе устанавливается режим вынужденного движения. Критерием качества работы в стационарном режиме служат ошибки e(t), вызываемые действием детерминированных задающих g(t) и возмущающих f(t) воздействий.

Ошибки статического и динамического стационарных режимов называют соответственно статическими и динамическими.

Медленно меняющиеся входные воздействия – это такие детерминированные сигналы, которые за время действия весовой функции практически не успевают изменяться.

Вычисление установившейся ошибки (статической и динамической) можно производить либо с использованием теоремы Лапласа о конечном значении оригинала, если входное воздействие g(t) задано явно и является аналитической функцией времени:

, (3)

либо используя коэффициенты ошибок, если входное воздействие задано неявно

, (4)

где – передаточная функция замкнутой системы по ошибке;

G(s) - изображение по Лапласу задающего воздействия g(t);

С0, С1, С2, - коэффициенты ошибок, являющиеся коэффициентами разложения функции Фe(s) в бесконечный степенной ряд

, (5)

где – максимальные значения скорости и ускорения задающего воздействия g(t).

Статическая ошибка при g(t)=1(t) согласно (1) равна

. (6)

Если на систему одновременно действуют и задающее g(t) и возмущающее f(t) воздействия, то статическая ошибка системы определяется как

, (7)

где согласно (6),

, (8)

– передаточная функция замкнутой системы по возмущению, равная . Здесь Wf(s) – передаточная функция участка цепи, заключенного между точкой приложения воздействия f(t) и выходной координатой x(t).

Все показатели качества можно разделить на прямые и косвенные. Прямые показатели качества определяются непосредственно по кривой переходного процесса h(t). Это:

·  ty - время переходного процесса, определяемое с заданной точностью d;

·  - величина перерегулирования, определяемая как

·  ;

·  t1max - время первого максимума;

·  eст – статическая ошибка системы, равная ;

·  характер переходного процесса.

Косвенные показатели качества подразделяются на частотные, корневые и интегральные.

Частотные показатели (критерии) качества позволяют оценивать качество процесса управления по отображению этого процесса из области времени t в область частоты w. Частотные методы оценки показателей качества систем автоматического регулирования получили широкое распространение в инженерной практике. Математической основой этих методов является обратное преобразование Лапласа (или Фурье), которое однозначно связывает выходной сигнал и вещественную частотную характеристику замкнутой системы :

      (9)

При этом на входе системы действует , а начальные условия являются нулевыми.

Рисунок 2 – АФЧХ вещественной части

К основным частотным критериям относятся:

а) вид амплитудно-фазовой характеристики W(jw) или ЛАХ L(w) и ЛФХ j(w) разомкнутой системы и характерные частоты (частота среза и т. п.);

б) вид и характерные частоты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы Ф(w);

в) вид и характерные частоты вещественной частотной характеристики Р(w).

Так, если известна зависимость (рис. 2), то можно определить установившееся значение :

    .    (10)

Зависимость и пик вещественной частотной характеристики замкнутой системы связаны следующим соотношение: 

.    (11)

Время переходного процесса зависит от длин интервала положительности :

,

т. е. если на интервале , то заведомо больше, чем .

Для большинства систем, у которых зависимость имеет вид, показанный на рисунке 2 (), показатели качества оценивают по номограммам (рис. 3):

;

.

Рисунок 3 – Номограммы

Вычисления в частотной области w обычно проще вычислений во временной области t, поэтому частотные критерия являются весьма эффективным и простым средством оценки качества процессов управления. С другой стороны, можно в некоторых случаях ограничиться только частотными оценками, такими как запасы устойчивости по модулю m и по фазе g, показатель колебательности М и полоса пропускания wп, не уточняя вопроса в области времени t. Так как во многих случаях частотные характеристики замкнутой системы близки к частотным характеристикам колебательного звена с коэффициентом затухания 0,5<x<1, то это позволяет связать показатели переходной функции h(t) системы с ее частотными характеристиками.

Рекомендуемые нормы запасов устойчивости по модулю и фазе для систем с заданными показателями качества. Известно, что ВЧХ замкнутой системы и логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы однозначно связаны. Следовательно, для каждой ЛАХ и ЛФХ существуют вполне определённые показатели качества переходного процесса.

Рисунок 4 – ЛАХ и ЛФХ системы

Интервал частот от до (рис. 4), определяющий показатели качества системы, называется существенным. Он разделяет ЛАХ на три зоны: низкочастотную , среднечастотную и высокочастотную . Значения граничных частот и приближённо определяются выражениями:

Частоты и соответствуют запасу устойчивости по модулю и . В таблице 5 представлены нормы запасов устойчивости по модулю и фазе, гарантирующие показатели качества для длительно работающих систем автоматического регулирования.

При проектировании систем автоматического регулирования необходимо учитывать, что чем выше частота среза в системе, тем больше вероятность того, что не будут учтены малые постоянные времени объектов регулирования. Чтобы этого не случилось, необходимо увеличивать запасы устойчивости по фазе и модулю с ростом частоты среза. Сказанное отражено в таблице 5.

Таблица 5 - Нормы запасов устойчивости

Тип системы	Показатели устойчивости для диапазонов частот
От 0,01 до 100	От 100 до 1000	От 1000 до 10000	От 10000 и более
Для систем с высокими показателями качества
	45	50	55	60
HМ, дБ	16	18	20	22
-HМ, дБ	14	16	18	20
Для систем с невысокими показателями качества
	30	35	40	45
HМ, дБ	12	14	16	18
-HМ, дБ	10	12	14	16

Приведённые нормы запасов устойчивости справедливы как для внутренних контуров, так и для собственно систем автоматического регулирования.

2.3 Синтез САУ при регулярных воздействиях

Сущность задачи синтеза заключается в таком выборе структурной схемы системы и её параметров, а также таком конструктивном решении, при котором обеспечиваются требуемые показатели качества и точности процессов регулирования, а сама система состоит из наиболее простых устройств управления. Всю систему автоматического регулирования можно разделить на две части: объект регулирования, исполнительное устройство, усилитель мощности и измерительное устройство – неизменяемая часть системы, и корректирующее устройство с согласующим усилителем – изменяемая часть системы. В значительной степени определяющими при выборе устройств неизменяемой части системы являются стоимость, надёжность, масса и габаритные размеры. Поэтому задачу синтеза системы автоматического регулирования обычно сводят к выбору лишь легко изменяемых устройств, а именно: усилительных и корректирующих устройств.

Пусть известны тип и параметры устройств, входящих в неизменяемую часть системы. Тогда синтез системы осуществляется в следующем порядке:

1. Составляют упрощённую структурную схему системы и выбирают схему и место включения корректирующих и усилительных устройств.

2. По критерию качества или требованиям на показатели качества и точности регулирования находят желаемую логарифмическую частотную характеристику разомкнутой системы.

3. Определяют тип и параметры корректирующих и усилительных устройств системы.

4. Находят конструктивное решение корректирующих и усилительных устройств системы и составляют окончательную структурную схему системы автоматического регулирования.

5. Определяют динамические характеристики системы и сравнивают их с соответствующими данными технических условий. Очевидно, принятый порядок синтеза может привести к неоднозначному решению задачи.

В САУ применяются корректирующие устройства последовательного или параллельного действия. САУ с последовательной коррекцией имеют большую частоту среза, что предъявляет высокие требования к динамическим характеристикам устройств неизменяемой части и к отсутствию в системе сигналов шумов и помех. Корректирующие устройства последовательного действия являются наиболее простыми, однако при выходе из строя конденсаторов или резисторов этого устройства вся система регулирования становится неработоспособной.

Параллельные корректирующие устройства снижают частоту среза системы и делают систему малочувствительной к помехам и шумам. Совместным включением последовательного и параллельного корректирующих устройств можно получить высококачественную систему автоматического регулирования.

2.4 Построение желаемой амплитудной характеристики САУ

Желаемая ЛАХ определяется показателями качества и точности процессов регулирования.

Низкочастотная её часть обусловливает точность воспроизведения медленно изменяющихся воздействий, по ней можно определить добротности по скорости и ускорению и статическую ошибку системы.

Частота среза системы определяется номограмм (рис. 3):

По определяем , а по находим значение . Затем при заданном определяем .

Для наиболее простой реализации последовательного корректирующего устройства изломы наклонов высокочастотного участка желаемой ЛАХ и ЛАХ неизменяемой части системы должны совпадать. Рассмотрим следующий пример.

Пример. Требуется построить желаемую ЛАХ следящей системы с астатизмом первого порядка по следующим данным:

Ошибка системы при заданных скорости и ускорении - , не должна превышать , т. е. ; при ступенчатом единичном входном воздействии на систему и c; неизменяемая часть системы имеет передаточную функцию вида:

(12)

где .

Определим добротности системы по скорости и ускорению и . Запишем ошибку следящей системы:

(13)

Первое слагаемое, называемое скоростной (кинематической) ошибкой, примем равным 3, второе, называемое динамической ошибкой – 15. Далее не составит труда определить добротности: .

Если принять, что в области малых частот желаемая ЛАХ состоит из двух участков с наклоном и , то и определяются по:

.

Таким образом, получим низкочастотную часть желаемой ЛАХ (рис. 5). Для построения её среднечастотной части определим по номограммам (рис. 3) значение для заданного , а затем значение частоты среза при заданном ; отложим значение на оси частот и проведём через эту точку среднюю часть желаемой ЛАХ, прямую с наклоном . Для построения высокочастотной части желаемой ЛАХ поступим следующим образом.

На рисунке 5 нанесём ЛАХ неизменяемой части при .

Рисунок 5 - Построение желаемой ЛАХ

Ломаная , полученная по (12) при подстановке . Для более простой реализации последовательного корректирующего устройства наклоны высокочастотной части желаемой ЛАХ примем равными наклонам ЛАХ неизменяемой части системы с теми же точками излома по частотам ,,

Вычитанием из получим ЛАХ корректирующего устройства .

Проверку правильности построения выполним по фазовой частотной характеристике , вычисленной в среднечастотной части:

. (14)

Как видно, синтезированная по требованиям качества и точности процессов регулирования система имеет запас устойчивости по модулю . Полученные запасы устойчивости полностью обеспечивают заданное качество системы (табл. 4).

В ряде случаев в синтезируемых САР приходится уменьшать частоту среза ,например, по условиям качества при случайных воздействиях на систему. Тогда целесообразно строить желаемую ЛАХ с низкочастотной частью, имеющей .

В случаях, когда требуется повысит точность системы регулирования, целесообразно строить желаемую ЛАХ с наклонами т. е. увеличивать порядок астатизма, а далее - соответственно с наклонами неизменяемой части.

2.6 Синтез последовательных корректирующих устройств

Передаточную функцию разомкнутой САР с последовательным корректирующим устройством можно записать:

Wж(s) = Wк(s)KуWн(s), (15)

где Wк(s) – передаточная функция последовательного корректирующего устройства.

При подстановке в (4.11) s = jω получим:

или (16)

(17)

Если добротность САР превышает коэффициент усиления неизменяемой части , то для определения корректирующего устройства необходимо поднять ЛАХ неизменяемой части до уровня желаемой характеристики, а затем графически найти , как это показано на рисунке 5. Коэффициент Ку определяется как:

. (18)

По точкам излома ЛАХ определяют постоянные времени.

В синтезируемой системе , следовательно нужно воспользоваться выражениями (15) и (16). 

После определения ЛАХ (рис. 5) запишем его передаточную функцию: