Олимпиада им. по математике

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ № 000 ИМ. А.А. ЛЕМАНСКОГО

олимпиада им. А.А. Леманского

по математике

Осенний тур (заочный)

18 – 28 октября 2013 года

3-4 классы

1. На парковке стоят легковые машины, мотоциклы и мотоциклы с колясками. Миша насчитал 13 колёс. Сколько может стоять легковых машин, мотоциклов и мотоциклов с колясками на парковке, при условии, что все перечисленные виды транспорта должны присутствовать? (Рассмотреть все случаи)

Мы знаем, что у легковой машины 4 колеса, мотоцикла – 2 колеса, мотоцикла с коляской - 3 колеса.

Количество колёс на стоянке нечётное. На стоянке только один вид транспорта с нечётным количеством колёс – это мотоцикл с коляской. Если предположить, что на стоянке стоит два мотоцикла с коляской, то получится:

13 – 6 = 7 (к.) - это невозможно, так как на машину приходится 4 колеса, а на мотоцикл – 2 колеса.

Если предположить, что на стоянке три мотоцикла с коляской – это слишком много, так как у них 9 колёс, останется 4 колеса:

13 – 9 = 4 (к.)

Необходимо, чтобы оставалось, как минимум 6 колёс (по условию на стоянке должны стоять еще машина и мотоцикл).

Делаем вывод, что мотоциклов с коляской – 1:

13 – 3 = 10 (к.)

Их можно распределить так: предположим, что легковая машина одна:

10 – 4 = 6 (к.)

6 колёс может приходиться на 3 мотоцикла:

6 : 2 = 3 (м.)

Делаем вывод: на стоянке стоят 3 мотоцикла, 1 легковая машина, 1 мотоцикл с коляской.

10 колёс можно распределить и по-другому: предположим, что легковых машин две:

10 – 8 = 2 (к.)

2 колеса может приходиться на 1 мотоцикл.

Ответ: на стоянке могут стоять:

1 вариант - 1 мотоцикл с коляской, 1 легковая машина, 3 мотоцикла

2 вариант - 1 мотоцикл с коляской, 2 легковые машины, 1 мотоцикл.

2. Каждое из чисел от 0 до 9 можно представить с помощью пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок. Напишите, как это сделать.

Некоторые варианты:

0 = (5 – 5) * 5 + 5 - 5	4 = 5 – (5 + 5) : (5 + 5)
0 = (5 – 5) * 5 * 5 * 5	5 = 5 5 – 5 5 + 5
0 = (5 – 5 + 5 – 5) * 5	5 = (5 + 5 – 5) * 5 – 5
1 = 5 : 5 + 5 * (5 – 5)	5 = 5 * 5 : 5 : 5 * 5
1 = 5 5 : 5 – 5 – 5	6 = (5 + 5 – 5) : 5 + 5
1 = ((5 – 5) * 5 + 5) : 5	6 = 5 5 : 5 5 + 5
2 = (5 + 5) * 5 : 5 : 5	6 = 5 – 5 + 5 : 5 + 5
2 = (5 – 5 + 5 + 5) : 5	7 = (5 + 5 + 5 * 5) : 5
2 = (5 + 5) : 5 + 5 – 5	7 = 5 + 5 : 5 + 5 : 5
3 = (5 * 5 – 5 – 5) : 5	8 = (5 + 5 + 5) : 5 + 5
3 = (5 + 5) : 5 + (5 : 5)	8 = 5 + 5 – (5 + 5) : 5
3 = (5 * 5 + 5) : (5 + 5)	9 = 5 + (5 * 5 – 5) : 5
4 = (5 + 5 + 5 + 5) : 5	9 = (5 * 5 – 5) : 5 + 5

3. Вера, Нина и Оля играли в куклы. Они надели на своих кукол на одну пальто, на другую – куртку, а на третью – платье. Когда мама спросила девочек, во что они своих кукол, то те решили пошутить, и одна из девочек сказала: «Вера надела на куклу платье, а Оля – пальто». Вторая ответила: «Вера надела на куклу пальто и Нина тоже пальто». Затем девочки добавили, что и в первом и во втором ответе одна часть ответа верна, а другая неверна. Мама подумала и сказала, чья кукла в платье, а чья в пальто. Попробуйте и вы найти правильные ответы.

	Вера	Нина	Оля
1	Платье		Пальто
2	Пальто	Пальто

Если предположить, что высказывание второй девочки о том, что Вера надела на куклу пальто, является верным, тогда высказывание первой девочки о том, что Вера надела на куклу платье, неверно. И верным должно быть высказывание о том, что Оля надела на куклу пальто. А этого быть не может по условию задачи, значит, верными являются высказывания девочек о том, что Вера надела на куклу платье, а Нина надела – пальто. Отсюда следует, что Оля надела на куклу куртку.

Ответ: Вера – платье, Нина – пальто, Оля – куртку.

4. В стране Алфавит 8 городов: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З и 8 непересекающихся дорог между городами А и Б, Е и Д, Б и Ж, З и А, В и Г, Г и Д, Ж и З, В и Е. Можно ли по этим дорогам проехать из А в Г?

Ответ обосновать.

Обозначим города:

Теперь обозначим непересекающиеся дороги:

А и Б Е и Д Б и Ж

З и А В и Г Г и Д

Ж и З В и Е

Делаем вывод: Дороги АБЖЗ и ВГДЕ являются замкнутыми и непересекающимися. Из А в Г попасть невозможно.

5. Мама испекла пирожки. Утром она съела 1 пирожок, а половину всех оставшихся пирожков положила в корзинку Красной Шапочке, чтобы она отнесла их бабушке. По дороге Красная Шапочка съела 2 пирожка и третью часть оставшихся пирожков отдала Волку. Бабушке Красная Шапочка принесла 8 пирожков. Сколько пирожков испекла мама?

Известно, что Красная Шапочка волку отдали третью часть оставшихся пирожков. Значит, бабушке она отнесла 2/3 оставшихся пирожков.

1) По условию задачи бабушке отнесла 8 пирожков, то 8 = 2/3, а 1/3 = 4.

P.S.для 4-го класса данное действие должно быть таким:

8 : 2 * 3 = 12 (п.)

2) 8 + 4 = 12 (п.) – до встречи с волком.

До того как Красная Шапочка съела 2 пирожка в корзине было 14 пирожков:

3) 12 + 2 = 14 (п.) – в корзине

По условию мама отдала половину всех пирожков:

4) 14 + 14 = 28 (п.) – для угощения

Или

14 * 2 = 28 (п.)

Мама съела один пирожок:

5) 28 + 1 = 29 (п.)

Ответ: 29 пирожков испекла мама.