IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» по математике

IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» по математике

9 класс, 2 тур

Ответы

1. , следовательно, .

2. 18 поворотов. Следует построить таблицу и пронумеровать перекрестки по номерам (первая цифра - строка, вторая - столбец). Отметим следующие перекрестки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой - (1,1), (2,2), (3,3), ..., (10,10) и (1,10) (2,9), ..., (10,1). Значит маршрут автобуса (ломаная, проходящая через все эти точки) содержит как минимум=19) отрезков или 18 поворотов. Маршрутный автобус, проходящий через все перекрестки, содержит все эти точки. Данное число поворотов можно также достичь двигаясь по маршруту "змейкой".

3. х=6, у=25. Число у по условию двузначное, тогда, если к целому однозначному числу х приписать справа через запятую десятичную запись числа у, то получится число . Трехзначное число, записанное цифрами чисел х и у не меняя порядка, равно . Составим уравнение из которого следует, что .

Т. к. х - однозначное число, а у - двузначное, то следует, что х=6, у=25.

4. Площадь трапеции равна 40.

1) В прямоугольном треугольнике ABD находим по тереме Пифагора AD=8.

2) Пусть т. О - центр окружности, точки F и E - точки касания сторон окружностью, а r - радиус окружности.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник OKC:

OK=FB=9-r, KC=8-r, OC=r, OC2=OK2+KC2 , r2=(9-r)2+(8-r)2, следовательно, r=5, r=29. Искомый радиус равен 5.

4) Рассмотрим равнобедренный треугольник GOC

GC=2LC=2OK=2(9-r)=8, следовательно, GD=1.

Тогда площадь трапеции ABGD равна

5. Пусть х - число учеников, у которых проверил решение задач Иван Иванович, у - число учеников, у которых он проверил теорию. Тогда 25-х - число учеников, у которых проверил решение задач Петр Петрович, 25 - у - число учеников, у которых Петр Петрович проверил теорию.

Пусть а - минимальное время, за которое они смогут принять зачет у класса.

Согласно условию задачи, составим систему неравенств Умножим первое неравенство на 3, второе на 5, получим

складываем эти неравенства, получаем или . Т. к. , то и , следовательно а - может быть только целым числом и большим либо равным 110.

Значит, принять зачет у 25 учащихся возможно за 110 минут, за меньшее время - нет.

6. Число удачных недель может быть любым натуральным числом, кроме 1, 2, 4, 5, 8 и 11.

Рассмотрим суммы оценок, полученных Сергеем за каждую неделю и рассмотрим, как изменялась сумма оценок на удачной неделе. Пусть оценки ухудшились по а предметам, тогда они улучшились хотя бы по а+2 предметам. По условию задачи получаем, что а≤2 (т. к. а+а+2≤7), следовательно, сумма оценок за те предметы, по которым оценки улучшились, возросла хотя бы на а + 2, а сумма оценок за те предметы, по которым оценки ухудшились, уменьшилась не более, чем на 2а. Поскольку а≤2, то 2а≤а + 2, то есть уменьшилась она не больше, чем увеличилась. Таким образом, сумма оценок Сергея не уменьшается, причём сохраниться она может только если по двум предметам оценки ухудшились на 2, а по четырём улучшились на 1.

Так как в итоге сумма оценок не увеличилась, а каждую неделю не уменьшалась, то она не изменялась всё время наблюдения за успеваемостью Сергея. Следовательно, понижение оценки происходит всякий раз на 2 балла, а повышение на 1 балл, то есть для каждого предмета повышений оценки произошло в два раза больше, чем понижений. Таким образом, количество изменений каждой оценки кратно трём.

Пусть Сергей наблюдал за своей успеваемостью n недель, не считая первой. Посмотрим, чему может быть равно число n.

1) Если n кратно трём. Ниже представлен пример изменений оценок Сергея при n = 3. Повторяя последние три недели k раз, получим пример для n = 3k.

первая неделя	5	5	3	3	4	4	5
1-я неделя наблюдений	3	3	4	4	5	5	5
2-я неделя наблюдений	4	4	5	5	3	3	5
3-я неделя наблюдений	5	5	3	3	4	4	5

2) Если n = 3k + 1. Посмотрим на предмет, про который мы знаем, что оценка по нему менялась. Так как количество изменений оценки по этому предмету кратно трём, а n = 3k + 1, то была хотя бы одна неделя, на которой эта оценка не изменилась. В эту неделю все остальные оценки изменялись. Поэтому по всем предметам оценки когда-либо менялись, и значит, есть неделя (для каждого предмета своя), когда оценка по этому предмету осталась без изменений. Поскольку предметов 7, число недель не может быть меньше семи. Ниже представлен пример изменений оценок Сергея при n = 7. Добавляя по три недели из предыдущего случая, получим любое n вида 3k + 1, большее семи.

первая неделя	5	5	3	3	4	4	5
1-я неделя наблюдений	3	3	4	4	5	5	5
2-я неделя наблюдений	4	4	5	5	5	3	3
3-я неделя наблюдений	5	5	5	3	3	4	4
4-я неделя наблюдений	5	3	3	4	4	5	5
5-я неделя наблюдений	3	4	4	5	5	5	3
6-я неделя наблюдений	4	5	5	5	3	3	4
7-я неделя наблюдений	5	5	3	3	4	4	5

3) Если n = 3k + 2. Посмотрим на предмет, про который мы знаем, что оценка по нему менялась. Так как количество изменений оценки по этому предмету кратно трём, а n = 3k + 2, то было хотя бы две недели, на которых оценка по этому предмету не изменилась, а по остальным предметам оценка менялась. Аналогично предыдущему случаю, для каждого предмета есть хотя бы две недели, на которых оценка по этим предметам не менялась, а по всем остальным менялась, поэтому число недель не может быть меньше, чем 14. Пример для n = 14 строится двукратным повторением примера для n = 7. Далее, очевидно, можно добавлять по три недели из примера первого случая.

Следовательно, число n может быть любым натуральным числом, кроме 1, 2, 4, 5, 8 и 11.

7. или 30.

1) Рассмотрим случай, когда прямая MP и отрезок O1O2 не имеют общих точек (см. рис.)

MP - касательная, по свойству касательной следует, что .Выполним доп. построение: , , следовательно, - прямоугольник, высота треугольника , значит, .

Введем обозначения , . По условию , значит, .

В прямоугольном треугольнике : ,

в прямоугольном треугольнике : .

Составляем систему из полученных уравнений и решаем ее, получаем , следовательно, .

2) Рассмотрим случай, когда прямая MP и отрезок O1O2 пересекаются (см. рис.)

Т. к. и , то из прямоугольного треугольника :

, .