и начальными данными
, 
, 
. (5)
Здесь 
– температура грунта, 
– его объемная влажность, t – время, z – глубина залегания почвы, 
– коэффициент объемной теплоемкости, 
– коэффициент теплопроводности грунта, 
– коэффициент влаго-термопроводности, 
– коэффициент термо-влагопроводности, 
– коэффициент диффузии влаги.
Функции 
, 
, 
, 
, 
и 
являются достаточно гладкими.
Для исследования системы рассматривается метод Роте. Для этого задачу (1)-(5) будем трактовать в виде:
, 
,
Дифференциальной задаче поставим разностную:
|
Здесь интервал 
разобьем на N частей точками 
, 
, 
,…, 
, 
, оператор А определен правой частью системы (1)-(2) и краевыми условиями (3)-(4).
Введем пространство 
для сеточных функций 
, 
с нормой
,
где 
.
Для решения задачи (6)-(7) справедливо неравенство коэрцитивности [2]:
,
которое позволяет оценить сходимость метода Роте с порядком τ.
Метод Роте реализуем следующим образом.
Для численного решения данной системы оператор А аппроксимируем следующими разностными соотношениями. Пусть 
,
, 
, 
, 
, 
.
Рассмотрим линеаризованную схему системы уравнений (1)-(2).
,
, где
, (8)
. (9)
Преобразуем полученные уравнения, сгруппировав слагаемые 
, 
, 
, 
, 
и 
:
, (10)
. (11)
Для решения системы уравнений (10)-(11) воспользуемся методом прогонки, в котором используется представление правой части (8)-(9), содержащей разностное отношение, на предыдущем слое по пространственной переменной.[3, 4, 5]
Пусть
, 
, 
, 
,
тогда уравнение (10) примет вид:
.
Для прямого прохода имеем формулы:
, 
, где 
, 
,
а для обратного хода:
, 
,…,
.
Рассматривая уравнение (11), вводим замены:
, 
, 
, 
и получаем уравнение вида:
.
Для прямого прохода имеем формулы:
, 
, где 
, 
,
а для обратного хода:
, 
,…,
.
Дальнейшее исследование посвящено подбору тестового примера и численному моделированию с использованием пакета прикладных математических программ Scilab.
На начальном этапе исследования полагаем, что коэффициенты 
, , 
, и 
– константы.
Программа состоит из четырех блоков:
1. Задание эмпирических констант, определяющих дифференциальное уравнение; описание функций, задающих граничные условия.
2. Инициализация массивов, в которых сохраняются решения системы.
3. Решение системы методом прогонки.
4. Визуализация результатов.
Библиографические ссылки
1. Применение теории позитивных операторов для исследования разностных параболических и эллиптических задач: монография / . – Хабаровск.: Изд-во ХГПУ, 2005.
2. Об одной оценке метода Роте системы тепловлагопереноса с постоянными коэффициентами: сборник статей аспирантов и студентов ДВГГУ / под ред. . – Хабаровск: Изд-во ДВГГУ, 2011.
3. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) / М.: Наука, 1975.
4. , , Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. / – М.: Наука, 1967.
УДК 517.968
© Л. В. Илларионова, 2013
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕCКИХ ВОЛН
– канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. ЧММФ (ВЦ ДВО РАН), e-mail: *****@***ru
Работа посвящена решению выпуклой задачи оптимального управления для уравнений дифракции акустических волн на трехмерном включении. Она заключается в минимизации отклонения поля давлений во включении от некоторого заданного, за счет изменения источников звука во внешней среде. Причем мощность источников, с помощью которых мы можем управлять акустическим полем, ограничена.
1. Постановка задачи
Пусть в пространстве 
, заполненном однородной изотропной средой, имеется однородное, ограниченное, изотропное включение 
со связной границей 
. Положим 
и обозначим 
, 
, 
– плотность, скорость распространения акустических колебаний и коэффициент поглощения в 
соответственно.
Предположим, что в области 
имеются источники звука. Звуковые волны распространяются в пространстве и, достигая включения, рассеиваются на нем. В результате, в области возникают отраженные волны, а в – проходящие волны.
Рассмотрим следующую задачу: изменяя источники звука в минимизировать отклонение поля давлений в (либо на некотором подмножестве 
) от некоторого требуемого. При этом изменение источников звука не должно быть «большим». Математически ее можно сформулировать следующим образом.
Найти функции 
(управление) и 
удовлетворяющие следующим условиям
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь 
— единичный вектор нормали к поверхности (направленный в сторону ),
– круговая частота колебаний; 
, 
, 
— заданные на соответствующих множествах комлекснозначные функции, 
— некоторое выпуклое множество функций, заданных на (множество допустимых управлений).
2. Алгоритм решения задачи (1)-(5).
Пусть 
– линейно независимая система функций, заданных на . Положим
где 
— линейная оболочка функций .
Пусть 
– множество троек 
, удовлетворяющих (1)–(4), причем 
.
Рассмотрим следующую задачу. Найти функции 
такие, что
(6)
Вопрос о сходимости решения задачи (6) при 
к решению исходной задачи (1)–(5) рассмотрен в [1].
Функции 
ищем в виде:
где 
являются решением следующей задачи дифракции
(7)
а новые неизвестные 
и 
должны удовлетворять соотношениям
(8)
( (9)
(10)
( (11)
Здесь 
.
Пусть функции 
(
) являются решениями следующих задач:
(12)
Определим функцию
и множество
Тогда решение задачи (8)–(11) определяется формулами:
где
Ранее [2] описанный выше алгоритм был численно реализован для случая, когда множество допустимых управлений совпадает с пространством 
(т. е. ограничения на управление отсутствуют).
В настоящей работе рассмотрен следующий случай.
(13)
где 
– заданная положительная константа.
Условие 
накладывает ограничение на мощность источников, с помощью которых мы можем управлять акустическим полем.
3. Результаты тестовых расчетов
Численные эксперименты проводились при следующих условиях.
1. 
— шар единичного радиуса с центром в начале координат.
2. Множество допустимых управлений определяется по формуле (7), 
.
3. Для решения прямых задач дифракции использовался алгоритм, описанный в [3]. Через 
обозначаем число точек дискретизации, использованных при решении задач дифракции.
4. Пусть 
В качестве 
выбирались функции, половина которых в сферических координатах 
(
, 
– долгота, 
– широта) определяются формулами (функции «шапочки» в координатах 
):
при 
, 
, 
,
Вторая половина функций получена из определенных выше умножением на мнимую единицу.
5. Для нахождения неизвестных коэффициентов 
использовался метод покоординатного спуска [4].
Определим
Пример 1. Исходные данные
На рисунке 1 (а) приведены графики зависимости 
от числа 
(число функций ) при различных значениях (число точек дискретизации задачи дифракции).
Рис. 1. а) 
, б) 
Пример 2. В отличие от примера 1 
На рисунке 1 (б) приведены графики зависимости 
от числа при различных значениях 
Таким образом, проведенные тестовые расчеты показали, что предложенный алгоритм обладает достаточно высокой точностью, хорошей сходимостью, удобен для реализации на ЭВМ и не требуют больших затрат машинного времени.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проекты , -р_восток_а, -р_восток_а), ДВО РАН (проект 12-II-СО-01И-003) и Программы Президиума РАН 2.
Библиографические ссылки
1. В. Задача оптимального управления для стационарных уравнений дифракции акустических волн // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 2. С. 297-308.
2. В. Численное решение задачи оптимального управления стационарными акустическими полями // Вестник ТОГУ. 2011. № 4 (23). С. 75-84.
3. Е., , Численное решение трехмерной стационарной задачи дифракции акустических волн // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15, № 1. С. 60-76
4. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 19с.
[1] Модель абстрактного интерфейса содержит описание стандартных интерфейсных элементов: текстовое поле, кнопка управления, кнопка-иконка, поле ввода, переключатель-флажок, радио-кнопка, раскрывающийся список, ссылка и т. д. Множество интерфейсных элементов является расширяемым. Некоторые интерфейсные элементы могут генерировать события, вызванные действиями пользователя.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
