Решения заданий по математике

Решения заданий по математике.

Очный тур.

10 класс

1)Решите уравнение:

Решение.

1)  Найдем ОДЗ уравнения:

;

Итак, x=1.

2)  Проверим, является ли x=1 корнем уравнения.

0+0=

0=0

Ответ: 1.

2)  Найдите все значения параметра k, при которых разность корней уравнения равна 1.

Решение.

;

;

;

;

;

;

.

Ответ:;.

3) Числа образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что числа так же образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство:

1)  Так как числа образуют арифметическую прогрессию, то (1)

2)  (2)

(3)

Из равенств (1), (2), (3) следует, что

, то есть числа образуют арифметическую прогрессию.

4) Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Известно, что AB=BC, CD=DE, AE=6, AC=8. CE=7. Найдите радиус окружности, вписанной в пятиугольник.

Решение.

1)  Пусть M, L, K, G, F – точки касания окружности, вписанной в пятиугольник ABCDE; O – центр, r – радиус этой окружности.

Обозначим AF=AM=x, MB=BL=y. Так как AB=BC, то CK=GE=FE=x. Так как CD=DE, то CK=GE=FE=x. Следовательно AX=2x=6 => x=3.

2)  В отрезок OF-высота и медиана => – равнобедренный, то есть AO=OE.

3)  - равнобедренный (AB=BC)

– биссектриса

BR – медиана, высота => – равнобедренный, то есть AO=OC.

Итак, AO=OE=OC => AO=R -радиус окружности, описанной около , где AE=6, AC=8, EC=7.

;

P=; S=

4)  – прямоугольный.

Ответ:

5) Найдите целые положительные решения уравнения

.

Решение:

	2x+1
		-x+1
	2x+112
	2x+1
		111

.

По условию

	2x+1=1
	2x+1=3
	2x+1=37
	2x+1=111

Непосредственная проверка показывает, что требованию задачи удовлетворяет x=1; y=37

Ответ: (1; 37)

6)  По дороге мимо наблюдателя проехали через равные промежутки времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками времени, но в другом порядке: автобус, автомобиль, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла – 30 км/ч.

Решение:

Рассмотрим систему координат (s; t), приняв за начало отсчета момент встречи автобуса с первым наблюдателем, S – расстояние между наблюдателями

.

По условию задачи OM=MA=. Ясно, что BC=CE=. Пусть х км/ч – скорость автобуса. Рассчитаем момент времени OE разными способами.

1)  OE=OB+BE=

2)  OE=OM+ME=

3)  OE=OA+AC+CE=

Имеем систему уравнений:

Решим полученную систему:

x=40

Ответ: 40 км/ч