Вычислительная математика

КУЗНЕЦКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ И

УПРАВЛЕНЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ (ФИЛИАЛ ПГУ)

 

Вычислительная математика

Методические указания
к выполнению лабораторных работ

Кузнецк - 2005

Лабораторная работа № 1

Метод итерации

Решение нелинейного уравнения

(1)

обычно складывается из двух этапов:

1)  отделения корней, т. е. установления возможно тесных промежутков [a,b], в которых содержится один и только один корень уравнения (1);

2)  уточнения приближенных корней, т. е. доведения их до заданной степени точности.

В том случае, когда f(x) является непрерывной функцией в сегменте [a,b] и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри этого интервала содержится, по крайней мере, один корень уравнения (1). Если на этом интервале функция монотонная, то существует только один корень уравнения (1).

При методе итерации исходное уравнение f(x) = 0 заменяется равносильным х = j(х), а итерационный процесс уточнения корня описывается формулой

xn+1 = j(хn) (n = 0,1,2,… ..

Существует бесконечное множество способов выбора функции j(х). Нужно выбрать такую функцию j(х), чтобы процесс итерации являлся сходящимся. Достаточные условия сходимости задаются теоремой.

Теорема. Пусть функция j(х) определена и дифференцируема на отрезке [а, b], причем при хÎ[а, b] j(х)Î[а, b]. Тогда если существует такое число q, для которого |j’(х)½ £ q < 1 при х Π[а, b], то

1) процесс итерации сходится независимо от начального значения х0 Î [а, b];

2) предельное значение x = lim xn при n ® ¥ является единственным корнем уравнения на отрезке [a,b].

Для определения точности вычисления корня можно воспользоваться следующей оценкой:

Из оценки неравенства следует условие прекращения итераций

.

Пример. Пусть задано уравнение 2х + 4х – 3 = 0. Корень
x Î [0,1].

Решение. Запишем уравнение в виде . В таком случае . Эта функция является монотонно убывающей. Имеем j(0) = 0,5; j(1) = 0,25. Поэтому j(х)Î[0,1] при хÎ[0,1]. Производная j'(x) = - ln2. Тогда max j'(x) = -j'(1) » » 0,347 при xÎ[0,1].

В этом примере q » 0,347, условия теоремы о сходимости метода итераций выполняются, если будем их производить по формуле За начальное приближение х0 можно взять любое значение из сегмента [0,1], например х0 = 0,5.

Уравнение (2) можно также записать в виде В этом случае а тогда Для этой функции условия о сходимости метода не выполняются, а поэтому процесс итераций может не сойтись.

Задание. Для одного из уравнений приведённых ниже, с помощью компьютера методом итерации вычислить значение корня с точностью e = 0,0001:

Варианты заданий

1) cos x - 4x = 0 , 16) e –x - + 1,5 = 0,

2) x lnx - 14 = 0, 17) e –2x - + 1,8 = 0,

3) 10x - e-x = 0, 18) cos x - x 3 = 0,

4) lnx - = 0, 19) e –x - 2,6x + 4,3 = 0,

5) lnx - = 0, 20)

6) x 2x + x - 3,1 = 0, 21) ex - x 2 + 1,7 = 0,

7) ex + 3x - 4,2 = 0, 22) x lnx - 5,3 = 0,

8) ex +2,4x - 3,7 = 0, 23) x2 lnx - 4,9 = 0,

9) cosx –3,6x +1,2 = 0, 24) x3 - 3x2 + 7,5x + 1,7 = 0,

10) sinx - 2,3x - 2,8 = 0, 25) x3 - 2,5x2 + 9,3x - 4,3 = 0,

11) sin2x + 5,2x + 0,3 = 0, 26) x lgx – 7,2 = 0,

12) e 1,5x +3x - 4,5 = 0, 27) x2 lgx – 3,8 = 0,

13) xlnx – 3,2 = 0, 28) e x - x2 - 3,4 = 0,

14) x3 - 2x2 + 3x – 5 = 0 29) e-3x - +2,3 = 0,

15) sin3x - 2,5x + 6,2 = 0, 30) e –x - 3,4x + 5,7 = 0.

Контрольные вопросы

1.  Объяснить, каким образом был отделен корень данного уравнения.

2.  Докажите, что для выбранной Вами функции j(х) выполняются достаточные условия сходимости итерационного процесса.

3.  Запишите рекуррентную формулу для итерационного процесса уточнения корня.

4.  Запишите условие прекращения итераций.

Лабораторная работа № 2

Решение систем нелинейных уравнений
методом Ньютона

Пусть задана система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными

где F(x, y) и G (x, y) – непрерывно дифференцируемые функции. Предположим, что xn , yn – приближенные корни системы. Полагая

x = xn + hn ; y = yn + kn ,

получим:

Раскладывая функции F и G в ряд Тейлора и ограничиваясь ли­нейными членами, получим:

Если определитель этой системы отличен от нуля, то, решив ее, можно найти hn и kn, а затем определить новые приближения решения системы

xn+1 = xn + kn; yn+1 = yn + kn.

Начальные приближения выбираются грубо приближенно.

Если нужно найти решение системы с заданной точностью e, то условием прекращения итераций по методу Ньютона может быть выполнение следующих двух неравенств:

| xn+1 - xn| £ e ; |yn+1 - yn| £ e.

Задание. Методом Ньютона с точностью e = 0,001 решить следующую систему нелинейных уравнений:

x3 + ax2 + bx + c – y = 0,

ln y + dx = 0,

где a = 1+ 0,2k; b = 8 + 2k; c = -4 + 0,1k; d = 1 + 0,1k; k — номер фамилии студента в журнале преподавателя.

Лабораторная работа № 3

Метод Куммера

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд и требуется найти его сумму с заданной точностью e. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд с известной суммой такой, чтобы разность ck = ak - bk стремилась к нулю при k ® ¥ быстрее, чем члены исходного ряда. В этом случае величину s можно представить в виде суммы где ряд сходится быстрее, чем исходный ряд. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда.

В качестве ряда можно взять

или другой какой-либо сходящийся ряд с известной суммой.

Отметим, что преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого значения. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.

Задание. Требуется найти сумму одного из приведенных ниже рядов с точностью e =Для этого нужно оценить остаточный член исходного ряда и выяснить, сколько членов ряда нужно взять, составить программу вычисления n-й частичной суммы ряда и на печать выдать значение sn.

Методом Куммера улучшить сходимость исходного ряда. Оценить остаточный член преобразованного ряда и выяснить, сколько членов ряда нужно взять в этом случае, чтобы вычислить s с указанной точностью. Составить программу вычисления sn, и это значение вывести на печать.

Пример. Пусть исходный ряд имеет вид: .

Решение. В этом случае n-я частичная сумма и остаточный член соответственно определяются по формулам:

,

Нужно найти такое по возможности меньшее значение n, что­бы |Rn| £ e. Рассмотрим обобщенную степень с отрицательным показате­лем, которая определяется формулой

.

Известна формула: Запишем следующие соотношения:

.

Найдем минимальное значение n, для которого выполнялось бы неравенство n(n + 1) ³ 50000. Этим значением является
n = 224. В таком случае за сумму ряда с точностью e = 10-5 можно взять величину .

В исходном ряде . Подберем ряд таким образом,  чтобы. В качестве такого ряда возьмем

В таком случае, учитывая, что получим

.

Таким образом, В преобразованном ряде Этот ряд сходится быстрее исходного ряда. Для остаточного члена этого ряда запишем неравенства:

Найдем минимальное значение n, для которого выполня-
лось бы неравенство или . Учитывая, что n должно быть целым, имеем n = 19 . Таким образом, за сумму ряда можно взять величину . В преобразованном ряде достаточно взять 19 членов вместо 224 членов в исходном ряде, чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью.

Варианты заданий

1) 2) 3)

4) 5) ; 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) 29) 30)

Лабораторная работа № 4

Интерполирование функций

Пусть на плоскости заданы точки (х0, y0), (х1, у1), ...…, (хn, yn). Требуется построить полином степени n, график которого проходил бы через них. Эту задачу решает полином Лагранжа, который определяется формулой

Остаточный член полинома имеет вид

Для него справедливы соотношения Ln (xi) = yi (i = 0, 1, ...…, n).

Если xi = x0 + ih (i = 0, 1, ...…, n), то поставленную задачу также решает первая интерполяционная формула Ньютона, которая записывается в следующем виде:

где при

Для n = 2 интерполяционная формула Ньютона имеет вид

.

Конечные разности определяются таким образом:

Dyi = yi+1– yi, Dnyi = D(Dn-1 yi) при n > 1.

Для вычисления конечных разностей можно данные занести в горизонтальную таблицу конечных разностей (табл. 1).

Таблица 1

xi	yi	Dyi	D2yi	D3yi
x0 x1 x2 x3	y0 y1 y2 y3	Dy0 Dy1 Dy2	D2y0 D2y1	D3y0

Задание. В табл. 2 приведены значения функции, где k – номер фамилии студента в журнале преподавателя. По этим данным построить L2(x) и p2(x). Вычислить L2(1,5) и p2(1,5). Сравнить результаты.

Таблица 2

xi	1	2	3
yi	1 + 0,1k	2,5 + 0,12k	3 + 0,15k

Лабораторная работа № 5

Квадратурная формула Симпсона

Формула Симпсона имеет вид:

Остаточный член этой формулы определяется соотношением

Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью e по формуле Симпсона, нужно выбрать m таким, чтобы выполнялось неравенство

где

Часто подынтегральная функция такая, что у нее не существует необходимой для оценки точности производной или производные очень громоздкие и трудно найти их максимальные по абсолютной величине значения. В этом случае трудно воспользоваться соответствующими неравенствами для оценки точности вычисления интеграла. На практике часто применяется метод вычисления интеграла с половинным шагом.

При этом методе вычисляют по какой-либо квадратурной формуле значение интеграла с шагом h, затем — с шагом Если эти два значения отличаются друг от друга на величину, мень­шую e, то вторая величина берется за приближенное зна­чение интеграла. В противном случае шаг берут вдвое меньше и снова вычисляют интеграл.

Вычисления заканчиваются в том случае, когда два прибли­женных значения интеграла, полученные для шагов h1 и будут совпадать с точностью e.

Задание. С помощью квадратурной формулы Симпсона с точностью e = 0,0001 вычислить один из интегралов.

Варианты заданий

;   ;

; ; ;

;

; ; ;

; ;

     

;

Лабораторная работа № 6

Метод Эйлера и его модификации

Рассмотрим некоторые численные методы решения дифференциального уравнения первого порядка

(24)

при заданном начальном условии

Решение ищут в сегменте [а, b], который разбивается на n равных частей. Численно решить уравнение (24) — значит найти значения функции y(x) в точках xi = a + ih (i = 1,2,…...,n), где

В методе Эйлера формула для вычисления значения функции в последующей узловой точке имеет вид

Метод Эйлера является простейшим численным методом решения дифференциальных уравнений. Ему присущи недостатки:

— малая точность;

— систематическое накопление ошибки.

При численном интегрировании дифференциальных уравне­ний важным является вопрос определения точности полученных результатов. Для большинства численных методов нет простых и надежных оценок точности решения. Поэтому на практике для определения точности полученных результатов широко используется двойной пересчет задачи с шагом h и h/2. Количество совпа­дающих десятичных знаков определяет точность решения задачи.

Более точным по сравнению с методом Эйлера является усовер-шенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

а затем определяют по формуле

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера – Коши, при котором сначала определяется " грубое приближение " решения

а затем приближенно полагают

.

Задание. Методом Эйлера, усовершенствованным методом ло­маных и усовершенствованным методом Эйлера – Коши с шагом h решить одну из следующих задач Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Варианты заданий

y(0)=1; а=0; b=1; h=0,1.

y(1)=2; a=1; b=2 ; h=0,1.

y(1)=0; a=1; b=2 ; h=0,1.

y(0)=0,3; a=0; b=1,5; h=0,15.

y(1)=0,7; a=1; b=1,5; h=0,05.

y(0)=0,7; a=0; b=0,5; h=0,05.

y(1)=1,4; a=1; b=2; h=0,1.

y(0)=0,8; a=0; b=1; h=0,1.

y(1,5)= - 3,4; a=1,5; b=3; h=0,15.

y(1,2)=1,6; a=1,2; b=3; h=0,18.

y(-1)=2,3; a=-1; b=0; h=0,1.

y(2)=4; a=2; b=3; h=0,1.

y(0)=0; a=0; b=1,5; h=0,15.

y(0)=0,4; a=0; b=1; h=0,1.

y(1)=-3,2; a=1; b=2,2; h=0,12.

y(-1)=3,7; a=-1 b=0,5; h=0,15.

y(1)=4,3; a=1; b=2,6; h=0,16.

y(1)=0,4; a=1; b=2,5; h=1,5.

y(0)=-4,5; a=0; b=1,5; h=0,15.

y(1)=1; a=1; b=2; h=0,1.

y(2)=-1; a=2; b=3,7; h=0,17.

y(0)=2,4; a=0; b=2; h=0,2.

y(1)=3,2; a=1; b=2; h=0,1.

y(0)=0; a=0; b=1; h=0,1.

y(1)=-1 a=1; b=2,5; h=0,15.

y(0)=1; a=0; b=2; h=0,2.

y(-1)=2; a=-1; b=0,5; h=0,15.

y(0)=-1; a=0; b=1; h=0,1.

y(1)=0; a=1; b=2; h=0,1.

y(0)=-1; a=0; b=2; h=0,2.