Рабочая программа По дисциплине «Математика» (стр. 1 )

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет

и Николая Григорьевича Столетовых»

(ВлГУ)

Кафедра алгебры и геометрии

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор

« » г.

Рабочая программа

По дисциплине «Математика»

Направление подготовки: 200100 «Приборостроение»

Профиль подготовки «Приборостроение»

Квалификация (степень)выпускника: Бакалавр

Форма обучения: очная

Учебный план курса

Вид занятий	Количество часов
Всего	Распределение по семестрам
1	2	3
Трудоемкость(зач. ед./час)	14/504	5.3/191	5.3/191	3.4/122
Лекции	106	36	36	34
Пр. занятия	89	35	35	19
Лаб. работы	-	-	-	-
Ср с	309	120	120	69
Рейтинг-контроль (кол-во)		3	3	3
Зачет		-	-	-
Экзамен		+	+	+

Владимир 2011

1.  ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина "Математика" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейной алгебры и аналитической геометрии, матричного исчисления, векторного исчисления, дифференциального и интегрального исчислений функции одной переменной, а также функций многих переменных, дифференциальных уравнений, рядов, в том числе и степенных рядов и рядов Фурье, теории функций комплексного переменного.

Целями освоения дисциплины "Математика" являются:

1.  Формирование навыков логического мышления

2.  Формирование практических навыков использования математических методов и формул.

3.  Ознакомление с основами теоретических знаний по классическим разделам математики.

4.  Подготовка в области построения и использования различных математических моделей

2.МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО

Дисциплина "Математика" относится к дисциплинам математического и естественнонаучного цикла:

·  Код УЦ ООП учебного цикла основной образовательной программы (раздела) – Б2;

·  Математический и естественнонаучный цикл

·  Вариативная часть.

Взаимосвязь с другими дисциплинами

Курс "Математики" основывается на знании школьного курса математики.

Полученные знания могут быть использованы во всех без исключения общепрофессиональных дисциплинах, а также дисциплинах естественнонаучного цикла.

3.  КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ

В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):

В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

основы линейной алгебры и аналитической геометрии, матричного исчисления, векторного исчисления, дифференциального и интегрального исчислений функции одной переменной, а также функций многих переменных, дифференциальных уравнений, рядов, в том числе и степенных рядов и рядов Фурье, теории функций комплексного переменного

Уметь:

- применять теоретические знания при решении математических задач;

- проводить анализ и обработку экспериментальных данных;

Владеть:

- основными приемами решения математических задач

4.  СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

СЕМЕСТР 1

ГЛАВА «МНОЖЕСТВА. ЛОГИКА. ИНДУКЦИЯ»

4.1.1 Множества. Элемент и множество, принадлежность. Равенство множеств. Задание множеств. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество. Подмножество. Операции объединения, пересечения, разности. Пары, декартово произведение двух множеств.

Логика. Высказывания, импликации. Кванторы. Истинность и ложность высказываний.

4.1.2 Отображения, функции. Отображение множества в множество. Функции, способы задания функций: табличный, аналитический, графический. График функции. Взаимно-однозначные отображение и отображение множества на множество, биекции. Единичное отображение. Композиция отображений, ассоциативность композиции. Обратное отображение.

Принцип математической индукции. Рекурсия.

ГЛАВА «ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА»

4.1.3 Натуральные числа. Числовая ось. Изображение чисел на оси. Порядок на множестве натуральных чисел. Отношение делимости. Простые числа. Основная теорема арифметики.

Целые числа. Продолжение порядка на целые числа. Кольцо чисел. Евклидовость кольца целых чисел. НОД и НОК.

Рациональные числа. Арифметические операции над дробями, сравнение дробей. Поле рациональных чисел , понятие поля. Порядок на поле . Иррациональные числа, иррациональность корня из 2.

Предел последовательности точек на прямой. Точные верхние и точные нижние грани. Аксиома полноты. Принцип Архимеда. Предел монотонной последовательности точек.

4.1.4 Поле действительных чисел. Десятичные дроби (конечные и бесконечные). Определение поля действительных чисел как совокупности всех бесконечных десятичных дробей. Их изображение на числовой прямой. Линейная упорядоченность поля . Операции сложения и умножения. Аксиоматическое определение поля действительных чисел.

Следствия из аксиом порядка, максимум и минимум совокупности чисел. Модуль действительного числа, его свойства.

Знак числа (функция )

Следствия из аксиомы о верхней грани. Принцип Архимеда, его следствие. Существование арифметических корней. Плотность множества рациональных чисел на числовой прямой. /*/Теорема Кантора о вложенных отрезках.

4.1.5 Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила обращения с бесконечностью.

ГЛАВА "ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ"

4.1.6 Предел числовой последовательности. Понятие окрестности. Доказательство равенства . Предел монотонной последовательности. Арифметические свойства предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Предельный переход в неравенствах.

Число e, его определение, существование и оценка.

4.1.7 Предел функции. Предел функции в точке и на бесконечности, односторонние пределы. Связь предела функции и предела последовательности. Единственность предела. Арифметические свойства предела. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции. Предел сложной функции.

4.1.8 Бесконечно малые величины (б. м.). Свойства б. м.. Сравнение б. м., эквивалентность б. м. Принцип замены б. м. на эквивалентные. Порядок малости б. м. величин.

4.1.9 Замечательные пределы. Таблица эквивалентных б. м.

4.1.10 Непрерывность. Приращение аргумента и приращение функции, разные формы определения непрерывности в точке. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака.

Функции непрерывные на отрезке -- теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши (о нуле). Следствие : существование промежуточного значения между наименьшим и и наибольшим значениями. Непрерывность обратной функции.

ГЛАВА «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ»

4.1.11 Основные элементарные функции. Перечисление и основные свойства. Схема исследования функции. Понятие элементарной функции.

Принцип непрерывности.

ГЛАВА "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ"

4.1.12 Производная. Задача о мгновенной скорости, задача о касательной. Определение касательной. Определение производной, ее геометрический и механический смысл, уравнение касательной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Правила дифференцирования -- производная суммы, произведения, частного. Производная сложной функции и обратной функции. Таблица производных. Неявно заданные функции и их производные. Параметрически заданные функции и их производные. Логарифмическая производная и логарифмическое дифференцирование.

4.1.13 Основные теоремы дифференциального исчисления - теорема Ферма (необходимый признак экстремума), теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

4.1.14 Правило Лопиталя. Сравнение роста на бесконечности логарифмической функции, степенной и показательной функций.

4.1.15 Формула Тейлора -- локальная и с остаточным членом в форме Лагранжа. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Формула Маклорена.

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (экспонента, гармоники, бином Ньютона, логарифм).

Глава «Исследование функций»

4.1.16 Экстремумы. Исследование функции по первой производной – определение участков возрастания и убывания. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой функции на отрезке.

Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Асимптоты, их определение и способы отыскания.

ГЛАВА «СИСТЕМЫ. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

4Системы линейных уравнений малых порядков. Определитель 2х2, правило Крамара 2х2. Геометрическая интерпретация решения системы 2х2. Определители 3х3. Метод Крамара 3х3 решения систем линейных уравнений третьего порядка.

Метод Гаусса. Совместные, несовместные; определенные, неопределенные системы. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем. Ступенчатый вид. Теорема о приведении системы к ступенчатому виду. Исследование системы по ступенчатому виду. Случай однородной системы.

4.1.18 Матрицы. Понятие матрицы, квадратные матрицы; строки, столбцы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Транспонирование матриц. Свойства этих операций. Произведение матриц. Ассоциативность произведения. Единичная матрица. Дистрибутивность произведения. Транспонирование произведения двух матриц. Отсутствие коммутативности произведения.

4.1.19 Определители. Понятие определителя nxn. Определитель треугольной матрицы. Свойства определителей (полилинейность, кососимметричность, транспонирование). Минор и алгебраическое дополнение. Разложение по строке (столбцу).

Правило Крамара. Критерий существования ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений.

Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Определитель Вандермонда.

ГЛАВА «ВЕКТОРЫ»

4.1.20 Понятие вектора. Нулевой вектор. Равенство двух векторов. Операции сложения векторов и умножения вектора на число. Длина, направляющие косинусы вектора, орт. Стандартный базис . Координаты вектора. Запись в координатах длины вектора, операций сложения и умножения на число.

4.1.21 Скалярное произведение. Определение, физический смысл скалярного произведения. Разложение вектора по ортонормированному базису. Свойства и запись в координатах скалярного произведения.

4.1.22 Векторное произведение. Определение, физический смысл, свойства и запись в координатах. Геометрический смысл определителя .

Смешанное произведение. Определение, свойства и метод вычисления. Геометрический смысл смешанного произведения. Геометрический смысл определителя

ГЛАВА «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

4.1.23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Вектор, перпендикулярный прямой. Параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном отношении. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Полуплоскости, задаваемые прямой.

Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Запись уравнения плоскости по заданным элементам. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Общий случай расположения трех плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Полупространства, определяемые плоскостью.

4.1.24 Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнения. Общее уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

4.1.25 Эллипс, геометрическое определение. Приведение к каноническому виду. Полуоси, эксцентриситет. Свойства эллипса. Гипербола, парабола - их свойства и геометрические определения. Общее уравнение кривой второго порядка.

4.1.26 Поверхности второго порядка : эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболических параболоид. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка. Сечение поверхности второго порядка плоскостью.

ГЛАВА «ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ».

4.1.27 Пространство строк (столбцов). Линейная зависимость и независимость. Базис. Разложение вектора по базису, координаты вектора в данном базисе. Размерность пространства.

4.1.28 Линейные операторы. Примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора. Вычисление образа вектора с использованием матрицы оператора

Собственные числа и собственные вектора. Теорема о вычислении собственных чисел и векторов. Проблема диагонализации линейного оператора. Диагонализация линейного оператора, имеющего простой спектр

СЕМЕСТР 2

Глава «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

4.1. 29 Определение функции многих переменных; область определения, график, линии и поверхности уровня.

Предел и непрерывность ф. м.п.; их основные свойства. Область – открытое и связное множество. Ограниченные области. Замкнутые области. Теорема Вейерштрасса и теорема Коши о нуле.

4.1.30 Частные производные ф. м.п. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о смешанных производных.

4.1.31 Дифференциал ф. м.п. Достаточное условие дифференцируемости. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Производная сложной функции.

Неявные функции, их дифференцирование.

4.1.32 Градиент, его геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Скалярное поле и производная по направлению.

4.1.33 Экстремумы ф. м.п. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Глава "НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ".

4.1.34 Первообразная. Теорема о первообразных.

Неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

4.1.35 Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

4.1.36 Разложение и интегрирование дробно-рациональных функций.

4.1.37 Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений.

Глава «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

4.1.38 Разбиение отрезка. Параметр разбиения. Отмеченные точки. Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла – работа силы.

Первичные свойства определенного интеграла. Оценка определенного интеграла, теорема о среднем.

4.1.39 Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

4.1.40 Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле

4.1.41 Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Площадь криволинейного сектора. Вычисление объемов тел. Определение и вычисление длины дуги.

4.1.42 Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона.

4.1.43 Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций.

Признаки сходимости несобственных интегралов (теорема сравнения, следствие)

Глава «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

4.1.44 Общие понятия (определение дифф. уравнения, решения, порядка, нормальной формы записи). Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши, теорема существования и единственности.

Дифф. уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифф. уравнения первого порядка. Линейные дифф. уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах.

4.1.45 Приближенное решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

4.1.46 Линейные дифференциальные уравнения; однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение однородного и неоднородного линейного дифф. уравнения. Решение однородного линейного дифф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

4.1. 47 Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифф. уравнения. Метод подбора решения неоднородного линейного дифф. уравнения

4.1.48 Системы дифф. уравнений. Метод исключения. Линейные системы дифф. уравнений. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами.

СЕМЕСТР 3

ГЛАВА "КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ"

4.1.49 Определение двойного интеграла. Вычисление массы пластины, вычисление объема тела. Достаточное условие интегрируемости. Свойства двойного интеграла (линейность, адитивность, монотонность, оценка, теорема о среднем).

Правильные области. Кратный (повторный) интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.

4.1.50 Двойной интеграл в полярных координатах.

4.1.51 Тройной интеграл, определение и свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.

4.1.52 Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Глава «Криволинейные интегралы»

4.1.53 Работа переменной силы. Понятие дуги кривой. Определение криволинейного интеграла. Физический смысл. Циркуляция.

Свойства криволинейного интеграла (линейность, адитивность, изменение знака при изменении ориентации, случай поля, ортогонального траектории).

Вычисление криволинейного интеграла. Достаточное условие его существования.

4.1. 54 Понятие векторного поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

ГЛАВА «Числовые ряды»

4.1.55 Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак сходимости. Геометрическая прогрессия. Арифметические операции с рядами.

4.1.56 Теорема сравнения. Предельная теорема сравнения.

4.1.57 Интегральный признак сходимости. Ряды вида . Признак Даламбера сходимости ряда.

4.1.58 Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

4.1.59 Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.

Глава «Степенные ряды»

4.1.60 Функциональные ряды. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленная интегрируемость и дифференцируемость функциональных рядов.

4.1.61 Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

4.1.62 Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена
4.1.63 Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.

ГЛАВА «Ряды Фурье»

4.1.64 Ряды Фурье функций с периодом . Частный случай . Достаточное условие разложимости в ряд Фурье.

Ряды Фурье четных функций, нечетных функций, а также функций, заданных на отрезке.

Глава «Комплексные числа и многочлены»

4Комплексные числа. Вид комплексного числа. Действительная и мнимая часть. Равенство к. чисел. Операции сложения и умножения над комплексными числами. Обращение комплексных чисел. Поле . Вложение поля действительных чисел в поле . Геометрическое изображение к. чисел. Сопряжение комплексных чисел. Свойства сопряжения.

4.1.66 Модуль и аргумент к. числа, свойства модуля. Тригонометрическая форма записи к. чисел. Перемножение к. чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Комплексная экспонента. Свойства к. экспоненты. Извлечение корней в поле к. чисел. Решение квадратных уравнений

4.1.67 Многочлен. Степень многочлена, деление многочленов с остатком. Корни многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов над полями и .

Глава «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

4.1.68 Предел последовательности комплексных чисел. Ряд с комплексными слагаемыми. Сходимость абсолютно сходящегося ряда.

4.1. 69 Пополнение поля к. чисел бесконечно удаленной точкой. Сфера Римана. Стереографическая проекция.

4.1.70 Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Производная ф. к.п., аналитичность в точке и области. Свойства производных. Условия Коши-Римана, критерий аналитичности. Геометрический смысл производной, сохранение углов.

4.1.71 Степенные ряды (по степеням ). Теорема Абеля. Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитичность суммы степенного ряда.

4.1.72 Определение , их разложение в степенные ряды и производные. Гиперболические функции , основное гиперболическое тождество, формулы сложения, производные, разложения в степенные ряды, связь с тригонометрическими функциями.

4.1. 73 Понятие многозначной функции. Аргумент. Корень n-ой степени. Ветви многозначной функции. Многозначная функция Ln(z).

4.1.74 Кривые на комплексной плоскости, непрерывные, замкнутые, гладкие, кусочно-гладкие. Области на к. плоскости (ограниченные, открытые, замкнутые, связные, односвязные, многосвязные). Граница области. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства и сведение к криволинейному интегралу. Свойства интеграла (линейность, адитивность, оценка).

4.1.75 Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование производных любого порядка у аналитической функции.

4.1.76 Разложение функции, аналитической в круге в степенной ряд. Оценка коэффициентов степенного ряда. Формула Коши для n-ой производной аналитической функции.

4.1.77 Ряды Лорана. Теорема Лорана.

4.1.78 Изолированные особые точки. Их исследование с помощью ряда Лорана.

4.1. 79 Вычет. Вычисление вычета в полюсе.

4.1.80 Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

ГЛАВА «Операционное исчисление»

4.1. 81 Оригинал, ограничения на оригинал, показатель роста. Изображение Лапласа. Аналитичность изображения. Функция Хэвисайда, ее изображение.

4.1.82 Свойство линейности оператора Лапласа. Теорема подобия. Дифференцирование оригинала. Дифференцирование изображения. Интегрирование оригинала. Интегрирование изображения. Теорема запаздывания. Смещение изображения. Таблица изображений основных функций.

Свертка функций. Изображение свертки.

4.1.83 Обратная задача; вычисление оригинала по заданному изображению в случае когда изображение является дробно-рациональной функцией (теоремы разложения).

4.1.84 Предельные соотношения между оригиналом и изображением.

4.1.85 Приложения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений.

4.1.86 Приложение операционного исчисления к расчету электрических цепей.

4.3. ТРУДОЕМКОСТЬ И ФОРМИРУЕМЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ

Общая трудоемкость дисциплины составляет 14 зачетных единиц (504 часа) для специальности 200100 и 15 зачетных единиц (540 часов) для специальностей 201000 и 140400

Матрица соотнесения разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных компетенций представлена в табл.

Разделы дисциплины	Колич. часов (аудит.)	Компетенции
ОК-1	ОК-2	ОК-10	ПК-1	ПК-2	ПК-4					Σ ( общее количество компетенций )
4.1.1-4.1.5	20	+			+		+					3
4.1	22	+			+		+					3
4.1.12-4.1.16	20	+		+	+		+					4
4.1.17-4.1.22	20	+			+		+					3
4.1.23-4.1.28	20	+			+		+					3
4.1.29-4.1.33	20	+			+		+					3
4.1.34-4.1.43	40	+			+		+					3
4.1.44-4.1.48	42	+			+		+					3
4.1.49-4.1.54	10	+			+		+					3
4.1.55-4.1.64	18	+			+		+					3
4.1.65-4.1.67	10		+	+		+	+					4
4.1.68-4.1.79	10	+	+	+			+					4
4.1.80	6	+		+	+	+						4
4.1.81-4.1.85	10		+	+			+					3
4.1.86	4	+		+	+		+					4
Вес Компетенции (λ)		0,3	0,2	0,3	0,4	0,2	0,4

5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ