Сплошная среда (стр. 2 )

Таким образом, изменение внутренней энергии макро частицы работой внешних сил равно

d(ΔEint) = σijεijΔV = ΔVσijduij.

Деформации меняют расстояния между частицами внутри макро частицы и тем самым меняют их энергию взаимодействия.

Суммируя сказанное, изменение внутренней энергии макро частицы можно записать в виде

d(ΔEint) = Td(ΔS) + σijduijΔV (3.1’)

Деля обе части равенства на Δm - массу макро частицы и обозначая массовую плотность внутренней энергии как e ≡ ΔEint/Δm, запишем

de = Tds + σikduik/ρ (3.1’’)

Как, зная внутреннюю энергию, получить уравнения термодинамического состояния?

Из (3.1’’) следует, что

(3.2)

Итак, если известна функция e = e(s,uik), то могут быть найдены соотношения (3.2), которые и являются уравнениями термодинамического состояния вещества (см. также , , «Статистическая физика», часть 1, §§ 12-15).

Например, если в изотропном веществе отсутствуют касательные напряже­ния и тем самым σik = -pδik, то

σikduikΔV = - pδikεikΔV = - pεiiΔV = - pd(ΔV)

В этом случае d(ΔE) = Td(ΔS) – pd(ΔV), а для единицы массы среды имеем

de = Tds – pd(1/ρ) (3.1’’’)

Соответствующие уравнения термодинамического состояния принимают вид

Другие термодинамические потенциалы

Кроме внутренней энергии в термодинамике есть другие термодинамические потенциалы.

Выражение (3.1’) для дифференциала внутренней энергии макро частицы можно переписать в виде

d(ΔEint – TΔS) = -ΔSd(T) + σijduijΔV

Для этого, как видно, достаточно вычесть из обеих частей полный дифференциал произведения температуры на энтропию. В правой части полученного выражения стоит дифференциал функции, где независимыми переменными является температура T и тензор деформации uij. Эта функция ΔF(T, uij), которую называют свободной энергией Гельмгольца (или, кратко, свободной энергией), связана с внутренней энергией простым соотношением

ΔF(T, uij) = ΔEint – TΔS

Разделив обе части выражения для дифференциала свободной энергии на массу макро частицы Δm и обозначив f = ΔF/Δm , получим

df = -sdT + σij/ρ duij

Отсюда следует, что если в качестве термодинамического потенциала задана свободная энергия как функция температуры и деформаций, то уравнения термодинамического состояния вещества могут быть получены из соотношений

В частности, для изотропной среды, в которой отсутствуют касательные напряжения и где, следовательно, тензор напряжений имеет вид шарового тензора σij = - p δij

df = -sdT - p d(1/ρ)

Еще один термодинамический потенциал ΔW, так называемая энтальпия, или тепловая функция, зависит от энтропии и напряжений в среде. В случае изотропной среды и при отсутствии касательных напряжений дифференциал массовой плотности энтальпии w получается из дифференциала внутренней энергии (3.1’’’) добавлением полного дифференциала отношения давления к плотности

dw = d(e + p/ρ) = Tds + 1/ρ dp

Отсюда также можно записать уравнения термодинамического состояния в форме

Зная любой термодинамический потенциал, можно получить уравнение термодинамического состояния.

Например, статистическая физика в случае идеального газа при­водит к следующему выражению для свободной энергии макро частицы

ΔF(T,ΔV) = - k ΔN T ln(ΔVf(T)/ΔN),

где f(T) - некоторая функция температуры.

Отсюда уравнения термодинамического состояния имеют вид

ΔS = -∂(∆F)/∂T = kΔN [ln(ΔVf(T)/ΔN) +Tf’(T)/f(T)];

p = -∂(∆F)/∂(∆V) = kΔNT/ΔV.

Последнее соотношение есть упомянутое выше уравнение Клайперона.

Итак, уравнения термодинамического состояния, которые в механике сплошной среды предполагаются заданными, связывают между собой термодинамические параметры вещества в каждой точке вещества и в каждый момент времени независимо.

Уравнение непрерывности массы

Термодинамические параметры в общем случае могут зави­сеть от того, где находится макро частица, и момента времени (нестационарный процесс). Эти зависимости обусловлены вза­имодействием макро частиц между собой и их перемещением. Взаимодействие макро частиц приводит к изменению их внутренних энергий и аргументов внутренней энергии - термодинамических параметров ΔV (или, в общем случае, uik) и ΔS.

Согласно резуль­татам первого раздела имеет место соотношение

Деля числитель и знаменатель левой части на Δm и учитывая, что масса макро частицы постоянна, получим

(3.3)

Уравнение (3.3) называется уравнением непрерывности. Оно содержит две полевые функции ρ(r,t) и v(r,t) и является уравнением в частных производных.

Уравнение непрерывности можно записать в другой форме, если выразить полную производную dρ/dt через частные производные .

Учитывая, что , получим уравнение непрерывности в виде:

(3.4)

Если вещество можно считать несжимаемым, то есть d(ΔV) = 0, то уравнение непрерывности имеет вид:

div v = 0 (3.5)

Наконец, если выделить некоторый конечный объем пространства V, заполненный веществом, и проинтегрировать (3.4) по этому объему, то получим

,

или

(3.6)

Соотношение (3.6) означает, что изменение массы вещества, заключенной в объеме V, в единицу времени равно потоку массы внутрь этого объема через окружающую его поверхность. Знак минус указывает на то, что поток направлен внутрь, то есть против внешней нормали. Величина ρv есть плотность потока массы, то есть масса, протекающая в единицу времени через единицу поверхности; ρvdf - поток массы через элементарную площадку df.

Соотношение (3.6) есть уравнение непрерывности, записанное в интегральной форме.

Уравнение теплопроводности

Теперь рассмотрим уравнение, описывающее динамику изменения энтропии частицы.

Изменение энтропии в единицу времени, умноженное на температуру есть изменение внутренней энергии макро частицы за счет теплового потока внутрь частицы. Поэтому, если q - плотность теплового потока, то .

По теореме Гаусса: .

Учитывая малые размеры макро частицы, имеем

.

Подставляя этот результат в выражение для теплового потока, получим

Td(ΔS)/dt = -divqΔV.

Деля обе части на ΔV, получим

. (3.7)

Плотность потока тепловой энергии q зависит от разности температур между макро частицей и окружением, то есть от градиента температурного поля ∂T/∂xi. Если этот градиент не очень велик, то функцию q = q(∂T/∂xi) можно разложить в ряд Тейлора вблизи точки ∂T/∂xi = 0, ограничившись первыми неисчезающими членами разложения.

Имеем

.

При отсутствии градиента температуры тепловой поток не возникнет, поэтому 1-ые неисчезающие члены линейны по ∂T/∂xi. Обозначая коэффициенты при первых производных

, (3.8)

получим - так называемый закон Фурье, установленный экспериментально. Знак минус в этом соотношении подчеркивает тот факт, что вектор плотности теплового потока направлен против градиента температуры.

Подставляя выражение для qi в правую часть (3.7), получим для однородной среды

(3.9)

Тензор , определенный (3.8), называется тензором теплопроводности. В физической кинетике доказывается, что тензор теплопроводности образует положительно определенную симметрическую матрицу. В случае изотропной среды, то есть среды, в которой все направления равноправны, тензор является шаровым и имеет вид , где - коэффициент теплопроводности. В этом случае уравнение (3.9), называемое уравнением теплопроводности, принимает вид , или

(3.10)

Если воспользоваться одним из уравнений термодинамического состояния (3.2) и выразить энтропию s через тензор деформаций uik и температуру T, то уравнение теплопроводности будет содержать три полевых функции - плотность ρ(r,t), температуру T(r,t) и тензор деформаций uik(r,t).

Замкнутая система динамических уравнений

Полученные уравнения - уравнение изменения импульса макро частицы (2.3), уравнение непрерывности (3.3), уравнение теплопроводности (3.9) и уравнения термодинамического (3.2) состояния представляют собой замкнутую систему уравнений для полевых функций ρ, T, v, s, σik, uik, характеризующих динамическое состояние вещества в каждой его точке. Посчитайте число уравнений и неизвестных функций.

Вязкость

Теперь учтем взаимодействие «внешних» степеней свободы макро частицы с «внутренними». Такое взаимодействие переносит энергию с небольшого числа «внешних» степеней свободы на бесконечное число «внутренних», распыляя ее практически безвозвратно. Это явление носит название вязкости, или трения.

В процессе трения внутренняя энергия макро частицы растет за счет относительного движения макро частиц. Другими словами этот рост имеет место лишь в том случае, если отлична от нуля разность скоростей макро частицы и окружающего вещества, а, следовательно, отличен от нуля градиент скорости ∂vi/∂xk в точке, где находится частица. Важен, правда, не весь градиент, а лишь его симметрическая часть. Ведь кососимметрическая часть градиента скорости равна , где χik - тензор бесконечно малых поворотов. Этот тензор определяет вращение макро частицы как абсолютно твердого тела, а не ее движение относительно окружения. Симметрическая часть тензора ∂vi/∂xk есть тензор скоростей деформаций

.

Таким образом, рост внутренней энергии макро частицы в процессе трения должен определяться некоторой функцией тензора скоростей деформаций . Функция называется диссипативной функцией единицы объема вещества. Она определяет диссипацию, то есть необратимое рассеяние энергии «внешних» степеней свободы макро частицы на «внутренних».

Разделив обе части записанного соотношения на массу частицы Δm, получим:

(3.11)

где e - внутренняя энергия массы вещества.

Диссипация энергии «внешних» степеней свободы ощущается как проявление некоторых напряжений, действующих на макро частицу при ее движении в среде, то есть некоторых сил трения. Из (3.11) можно определить тензор напряжений, соответствующий этим силам, - тензор вязких напряжений σ’ik. Для этого надо воспользоваться соотношением (3.1), учтя, что изменение энергии (3.11) определяется работой сил трения и поэтому ds в (3.1) необходимо положить равным нулю, а σik, равным σ’ik. Тогда получим

(3.12)

Соотношение (3.12) и определяет тензор вязких напряжений через диссипативную функцию.

Обычно градиенты скорости частиц сравнительно малы и диссипативную функцию раскладывают в ряд вблизи точки vik = 0, оставляя первые неисчезающие члены разложения. Производя такое разложение, получим:

Нулевой член разложения равен нулю, так как при отсутствии относительного движения частиц диссипация не возникает. Первый член разложения тоже равен нулю, но по иной причине. Дело в том, что поскольку диссипация необратима, то внутренняя энергия может в этом процессе только возрастать. Поэтому согласно (3.11) диссипативная функция может быть только положительна. Но в приближении, линейном по vik, ее знак зависел бы от знака vik.

Следовательно, коэффициенты первого приближения должны равняться нулю. Остается принять, что первым неисчезающим приближением, является 2-ое приближение, имеющее вид квадратичной формы (положительно определенной) тензора скоростей деформации:

(3.13)

Здесь - тензор вязкости.

Тензор вязкости симметричен по перестановкам i ↔ k, l ↔ m ik ↔ lm. Эта симметрия приводит к тому, что в самом общем случае у тензора ηiklm 21 независимая компонента (покажите самостоятельно.)

В простейшем случае изотропной среды компоненты тензора вязкости могут быть выражены всего через две независимые постоянные. Этот факт объясняется тем, что имеется всего два независимых тензора 4-ого ранга, скомбинированных из единичных тензоров и обладающих свойствами симметрии, такими же, как ηiklm. Это δikδlm и δ(ilδkm) = (δilδkm + δimδkl)/2. Поэтому в изотропном случае можно записать тензор вязкости в виде ηiklm = Aδikδlm + Bδ(ilδkm), где A и B – некоторые коэффициенты, характеризующие вязкость в изотропном случае.

Согласно (3.12) и (3.13) тензор вязких напряжений принимает вид

σ’ik = ηiklmvlm (3.14)

В изотропном случае σ’ik = Aδikvll + Bvik.

Раскладывая в правой части vik на шаровой и девиатор, получим

σ’ik = B(vik –δikvll/3) + (A + B/3)δikvll

Обозначим η ≡ B/2, ξ ≡ A + B/3. Тогда

σ’ik = 2η(vik – δikvll/3) + ξ δikvll (3.15)

Коэффициенты η и ξ называются соответственно 1-ой и 2-ой вязкостями. Так как девиатор vik – δikvll/3 характеризует скорость деформации сдвига, то 1-ая вязкость η влияет на вязкие напряжения σ’ik при сдвиге, а 2-ая, соответственно, при всестороннем сжатии/растяжении. Обычно ξ << η.

Учет вязких напряжений вносит определенные коррективы в выписанные выше уравнения динамики макро частицы. Во-первых, тензор σ’ik должен быть добавлен к тензору обычных напряжений σik в уравнении изменения импульса макро частицы (2.3). Во-вторых, работа сил трения σ’ikduik изменяет внутреннюю энергию макро частицы, приводя к росту энтропии. Поэтому к правой части уравнения теплопроводности (3.7), (3.9), (3.10) должно быть добавлено слагаемое, определяющее мощность вязких сил трения σ’ik vik = σ’ik ∂vi/∂xk.

Вопросы для самоконтроля

1.  Что представляют собой термодинамические параметры вещества?

2.  Что такое уравнения термодинамического состояния вещества?

3.  Как получить уравнения термодинамического состояния вещества, зная внутреннюю энергию или свободную энергию (изотропная среда при отсутствии касательных напряжений)?

4.  Как выглядит уравнение непрерывности в дифференциальной форме?

5.  Как выглядит уравнение непрерывности в интегральной форме и каков его физический смысл?

6.  Как выглядит уравнение теплопроводности однородной и изотропной среды и откуда оно следует?

7.  Что представляет собой процесс диссипации энергии макро частицы, и от чего он зависит?

8.  Как выражается тензор вязких напряжений через тензор скоростей деформации? Физический смысл этого соотношения.

9.  Какие изменения вносит учет вязкости в динамические уравнения среды? Физический смысл этих поправок.

Явления переноса и континуальные уравнения сохранения

Динамические уравнения изменения импульса (2.3) и теплопроводности (3.10) могут быть представлены в форме уравнений баланса, или переноса импульса и энергии вещества. Другими словами, эти уравнения могут быть представлены в форме уравнений непрерывности.

Уравнение баланса импульса

(4.1).

Уравнение баланса энергии

(4.2).

Здесь тензор плотности потока импульса Πik = ρvivk – σik – σ’ik. Выражения (vσ) и (vσ’) имеют смысл векторов, которые являются свертками вектора скорости с тензором тепловых и вязких напряжений, т. е. (vσ)i = vkσik и (vσ’)i = vkσ’ik.. Это мощности поверхностных сил на единицу поверхности, вызванных тепловыми и вязкими напряжениями. В случае изотропной среды, где σij = -pδij, имеем vkσik = -pvi. Стоящие в левой части уравнений (4.1), (4.2) частные производные по времени описывают изменения в единицу времени объемной плотности импульса и, соответственно, энергии среды в каждой данной точке пространства.

Интегрируя уравнение баланса импульса (4.1) по некоторому замкнутому объему V и преобразуя интеграл от дивергенции к поверхностному интегралу, получаем

.

Отсюда видно, что изменение в единицу времени импульса вещества внутри заданного объема

определяется потоком частиц, переносящих импульс через границу объема , и поверхностными силами тепловых и вязких напряжений. Если границей среды является вакуум, то скорость и напряжения на границе равны нулю. Тогда интеграл в правой части уравнения баланса импульса равен нулю, откуда следует закон сохранения импульса среды в целом, как замкнутой системы.

Интегрируя уравнение баланса энергии (4.2) по некоторому замкнутому объему V и преобразуя интеграл от дивергенции к поверхностному интегралу, получаем

.

Т. о. изменение в единицу времени энергии внутри заданного объема

определяется потоком частиц, переносящих энергию через границу объема

,

мощностью поверхностных сил тепловых (см. в связи с этим формулу (3.0)) и вязких напряжений на границе объема и тепловым потоком через эту границу. По той же причине, что и в уравнении баланса импульса, на границе среды с вакуумом поток энергии отсутствует, поэтому полная энергия сохраняется.

Приведем формальное доказательство формул (4.1), (4.2) (см. также «Гидродинамика» §§6, 7, 49).

Запишем уравнение изменения импульса макро частицы (2.3) при отсутствии внешнего поля, но при наличии вязких напряжений

Раскроем полную производную в левой части

.

,

и соберем производные по координатам

Приравняв правые части двух выражений для полной производной импульса макро частицы по времени, перенеся все производные по координатам в правую часть и разделив обе части на объем ΔV, получим уравнение (4.1).

Проделаем аналогичные выкладки для расчета энергетического баланса. Для этого

1.  Выразим полную производную по времени от полной энергии макро частицы через частные производные

После группировки частных производных по координатам получим

(4.3).

2.  Ту же производную по времени выразим через правые части уравнений изменения импульса (2.3) и теплопроводности (3.7) при отсутствии внешнего поля, но при наличии вязких напряжений, применяя при этом выражение для полного дифференциала внутренней энергии (3.1)

Так как то, собирая члены с частными производными по координатам, получим

(4.4)

Остается приравнять правые части полученных соотношений (4.3) и (4.4), разделить их на ΔV и перенести производные по координатам в правую часть, чтобы получить уравнение баланса энергии (4.2).

Заметим, что если среда находится во внешнем потенциальном поле с потенциалом U, то массовая сила, действующая на макро частицу равна –Δm∂U/∂xi, а потенциальная энергия макро частицы равна ΔmU. В этом случае уравнение энергетического баланса (4.2) принимает вид

.

Вопросы для самоконтроля.

1.  Как выглядит уравнение баланса импульса среды? Физический смысл входящих в уравнение слагаемых.

2.  Как выглядит уравнение баланса энергии среды? Физический смысл входящих в уравнение слагаемых.

Течения в идеальной жидкости

Модель сплошной изотропной среды, в которой в состоянии покоя отсутствуют касательные напряжения, называется жидкостью. В жидкости тензор тепловых напряжений является шаровым тензором, имеющим вид σik = -pδik, где p – давление (см. в связи с этим раздел 2 предыдущей темы).

В идеальной жидкости пренебрегают вязкостью и теплопроводностью.

Полная система динамических уравнений идеальной жидкости состоит из тех же уравнений, которые были рассмотрены в разделах 2, 3. Однако выглядят эти уравнения проще.

1.  Уравнение непрерывности массы (3, описывающее сохранение вещества, остается в том же виде.

2.  Уравнение изменения импульса (2.3) становится проще из-за отсутствия касательных напряжений. Теперь оно называется уравнением Эйлера

. (5.1)

3.  Уравнение теплопроводности (3.7) имеет совсем простой вид

(5.2)

4.  Уравнение термодинамического состояния вещества жидкости должно определять зависимость энтропии от давления и плотности

s = s(ρ, p) (5.3).

Форма (4.1) уравнения баланса импульса остается прежней, однако тензор плотности потока импульса идеальной жидкости равен Πik = ρvivk + pδik.

В уравнении баланса энергии (4.2) в случае идеальной жидкости отсутствуют в правой части слагаемые, учитывающие вязкость и теплопроводность, а поверхностная плотность мощности тепловых напряжений имеет вид

σikvk = -p δik vk = -pvi.

Считая жидкость тяжелой, получим уравнение баланса энергии в идеальной жидкости

(5.4).

Энтальпия единицы массы w(s, p) идеальной жидкости связаны с внутренней энергией простым соотношением w = e + p/ρ и ее полный дифференциал имеет вид

dw = Tds + 1/ρ dp (5.5)

Гидростатика

Условием механического равновесия макро частицы является равенство нулю суммарной силы. Если это равенство соблюдается для всех макро частиц, то вся среда пребывает в состоянии механического равновесия. В этом случае поля давления, плотности и массовых сил, согласно уравнению Эйлера (5.1) должны удовлетворять соотношению gradp = ρg. Это уравнение гидростатики.

Ряд простых задач на механическое равновесие идеальной жидкости и газа представлен в курсе , в параграфе «Уравнения движения идеальной жидкости». Там же описаны примеры «Закон Архимеда» и «Равномерно вращающаяся несжимаемая жидкость», которые необходимо изучить. Так же необходимо изучить §3 «Гидродинамики».

Интеграл Бернулли

В стационарных условиях течения идеальной жидкости левая часть уравнения баланса энергии (5.4) равна нулю. Правую часть можно записать в виде

.

Уравнение непрерывности в форме (3.4) показывает, что при стационарной плотности ∂ρ/∂t = 0 первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю. Следовательно, уравнение баланса энергии сводится к условию равенства нулю скалярного произведения (v grad(v2/2 + gz + w)) = 0.

В стационарных условиях траектория макро частицы идеальной жидкости совпадает с линией тока. В каждой точке линии тока вектор скорости направлен по касательной к ней. В условиях стационарного течения идеальной жидкости, как мы видим, градиент функции v2/2 + gz + w везде нормален к вектору скорости. Следовательно, сумма

v2/2 + gz + w = const (5.6)

остается неизменной вдоль линии тока.

Соотношение (5.6) называется законом Бернулли и является интегралом динамических уравнений стационарного течения идеальной жидкости. На самом деле уравнение Бернулли представляет бесконечное число независимых интегралов движения, так как постоянные, стоящие в правой части (5.6), для каждой макро частицы свои и определяются начальными условиями движения этой макро частицы.

Изоэнтропическое течение

Уравнение теплопроводности в виде (5.2) называется условием адиабатичности течения идеальной жидкости. Это условие эквивалентно бесконечному числу интегралов движения. Ведь решение s(p,ρ) = const уравнения (5.2) имеет место независимо для каждой траектории макро частицы.

Уравнение (5.2), как и в случае баланса массы, можно записать в форме уравнения непрерывности. Действительно, энтропия макро частицы ΔS = sΔm = ρsΔV. Из (5.2) следует, что dΔS/dt = 0. Это означает, что энтропия макро частицы идеальной жидкости не изменяется со временем, то есть остается постоянной вдоль траектории каждой макро частицы. С другой стороны

Отсюда имеем «уравнение непрерывности» для энтропии

В интегральной форме

это уравнение означает, что изменение энтропии любого объема V идеальной жидкости в единицу времени (левая часть уравнения) обеспечивается потоком вещества, несущем на себе энтропию, через окружающую объем поверхность f (правая часть уравнения).

Пусть, к примеру, все макро частицы жидкости имеют одинаковую энтропию в некоторый начальный момент времени. Т. к. энтропия каждой макро частицы идеальной жидкости не меняется со временем, то энтропия будет оставаться неизменной для всей жидкости в целом s = const. При этом постоянная одинакова везде в жидкости, для всех траекторий. Такое течение называется изоэнтропическим.

Уравнение Эйлера (5.1) в условиях изоэнтропического течения может быть записано в несколько иной форме. Неизменность энтропии упрощает выражение (5.5) для дифференциала тепловой функции. Теперь для всей жидкости dw = 1/ρ dp. Это означает, что стоящее в правой части уравнения Эйлера слагаемое 1/ρ gradp является градиентом энтальпии

dv/dt = -gradw + g (5.1 изоэнтроп.).

Мы знаем, что в стационарных условиях уравнение Эйлера имеет интеграл Бернулли (5.6). В условиях изоэнтропического течения несжимаемой жидкости этот интеграл выглядит особенно просто

v2/2 + p/ρ + gz = const

Для иллюстрации применения этого уравнения изучите пример на получение формулы Торричелли в параграфе «Основные теоремы динамики идеальной жидкости» учебника

Потенциальное течение

При отсутствии внешнего поля (или его потенциальности g = -gradU) векторное поле, стоящее в правой части уравнения Эйлера изоэнтропического течения идеальной жидкости, является потенциальным. Оно выражается градиентом скалярной функции. Используем это в следующих расчетах.