Сплошная среда (стр. 3 )

Рассмотрим две близкие макро частицы с разностью радиус-векторов, равной δr. Найдем скорость изменения произведения (vδr) со временем при движении макро частиц

d(v δr)/dt = dv/dt δr + v d(δr)/dt = dv/dt δr + v δ(dr/dt) =

= dv/dt δr + v δv = dv/dt δr + δ(v2/2).

Заменим ускорение dv/dt правой частью уравнения (5.1 изоэнтроп.).

d(v δr)/dt = grad(-w – gz ) δr + δ(v2/2) = δ(-w – gz +v2/2).

Здесь ось z направлена вертикально вверх, поэтому gz = -g .

Взяв от обеих частей интеграл по замкнутому контуру, состоящему из макро частиц, получим

.

Интеграл

называется циркуляцией поля скоростей по замкнутому контуру.

Т. о. доказано утверждение о том, что циркуляция поля скоростей Γ по жидкому контуру при изоэнтропическом течении идеальной жидкости остается неизменной. Это теорема Томсона (лорда Кельвина).

По известной из векторного анализа теореме Стокса интеграл по замкнутому контуру векторного поля равен интегралу по поверхности, опирающейся на этот контур, от ротора поля. Циркуляцию поля скорости т. о. можно записать в виде

.

Функцию rotv называют завихренностью поля скоростей. Она, как мы видели (1.9), равна удвоенной угловой скорости вращения макро частицы. Если граничные условия движения таковы, что частицы жидкости не вращаются (например, на бесконечности потока жидкости можно считать v = const), то значение rotv = 0 должно оставаться таким во всех точках изоэнтропического потока идеальной жидкости. Такое движение жидкости называется потенциальным.

Поле скоростей потенциального течения можно представить градиентом скалярной функции v = gradφ, φ – потенциал поля скоростей и уравнение Эйлера значительно упрощается. Запишем вначале равенство, являющееся следствием формул векторного анализа

.

Это левая часть уравнения Эйлера. При потенциальном течении последнее слагаемое в правой части равно нулю, второе является градиентом половины квадрата скорости, а первое градиентом функции ∂φ/∂t. В правой части уравнения (5.1 изоэнтроп.) также находится градиент. Перенося все слагаемые в левую часть, получаем уравнение Эйлера потенциального течения жидкости в виде

grad (∂φ/∂t + v2/2 + w + gz) =потенц)

Это уравнение тут же интегрируется, и первый интеграл (так называемый интеграл Лагранжа-Коши) принимает вид

∂φ/∂t + v2/2 + w + gz = f(t). (5.7)

Здесь f(t) – произвольная функция времени. Ее можно считать равной нулю. Ведь потенциал скорости φ определен с точностью до добавления к нему произвольной функции времени . Такое изменение потенциала не изменит саму скорость, так как , но изменит ∂φ/∂t. Следовательно, изменит функцию f(t). Если выбрать , правая часть интеграла (5.7) обратится в ноль.

При стационарном течении, когда поле скорости не зависит явно от времени, интеграл (5.7) принимает форму интеграла Бернулли (5.6)

v2/2 + w + gz = const.

Но теперь, в условиях стационарного, потенциального течения, этот интеграл имеет одно общее значение для всех макро частиц жидкости.

Для иллюстрации изучите пример на стационарное течение жидкости в горизонтально расположенной трубке в параграфе «Основные теоремы динамики идеальной жидкости» учебника

Уравнение Эйлера и уравнение непрерывности являются нелинейными уравнениями для поля скорости и поля плотности. Их решения должны быть дополнены указанием начальных и краевых условий. Получение общего решения этих уравнений в общем случае не представляется возможным. Однако, в частных случаях, при наличии достаточной симметрии, такие решения можно получить. Для иллюстрации следует изучить задачи 7 и 8 к §10 «Гидродинамики». Обратите внимание, что решение задачи 7 можно оценить из размерных соображений. Данные в задаче параметры – радиус пузырька a, плотность жидкости ρ и давление на бесконечности p0 формируют единственный масштаб времени . Приблизительно этому значению и равно время схлопывания пузырька в жидкости.

Звуковые волны

Если отклонения скорости v, плотности ρ’ = ρ – ρ0 и давления p’ = p – p0 от равновесных значений v0 = 0, ρ0 = const, p0 = const невелики, то динамические уравнения можно линеаризовать. В этом, линейном приближении, движение макро частиц среды будет представлять собой малые колебания около их равновесных состояний. Возникнув в одном месте среды, эти малые колебания будут распространяться на всю среду, благодаря взаимодействию макро частиц. Такое движение называется звуком.

Основные уравнения динамики звуковых волн описаны в §64 «Гидродинамики».

Линеаризуем динамические уравнения (3.4), (5.1), (5.3) идеальной жидкости. Начнем с самого простого из них – условия адиабатичности s(p, ρ) = const. Запишем это уравнение в виде p = p(ρ, s = const), считая течение изоэнтропическим. Разложим функцию p(ρ) в ряд вблизи равновесного состояния ρ = ρ0. Получим

.

Здесь c – постоянная, имеющая размерность скорости со значением

,

зависящим от уравнения термодинамического состояния среды.

Итак, условие адиабатичности в линейном приближении принимает вид

p’ = c2ρ’ (5.3L)

Теперь линеаризуем уравнение Эйлера без учета поля тяжести

Левая часть уравнение Эйлера в линейном приближении по скорости принимает вид

Правую часть уравнения Эйлера при отсутствии внешнего поля и в том же приближении можно представить в виде

.

Таким образом, линеаризованное уравнение Эйлера имеет вид

(5.1L)

Линеаризуем так же уравнение непрерывности

Имеем

Так что линеаризованное уравнение непрерывности имеет вид

(3.4L).

Будем считать, что соблюдается условие потенциальности течения rotv = 0 (макро частицы не вращаются). Введем потенциал поля скоростей v = gradφ.

Подставив это выражение для скорости в левую часть линеаризованного уравнения Эйлера (5.1L), получим

Или, меняя порядок дифференцирования в правой части и учитывая постоянство равновесной плотности ρ0, перепишем это соотношение в виде

Отсюда следует, что выражения под знаком градиента отличаются лишь на произвольную функцию времени. Так как потенциал φ определен с точностью до аддитивной функции времени (v = grad [φ + f(t)] = grad φ), то можно приравнять функции под знаком градиента

Итак, изменение давления в линейном приближении можно записать в виде

(5.8.1)

Используя связь плотности с давлением p’ = c2ρ’, получим аналогичное выражение плотности через потенциал поля скоростей

(5.8.2)

Подставим это выражение в левую часть линеаризованного уравнения непрерывности (3.4L) и заменим в этом же уравнении v на gradφ

(5.9)

Уравнение (5.9) называется волновым. Волновому уравнению удовлетворяет также поле скоростей, поле давлений и поле плотности (покажите!).

Плоская волна

Наиболее просто решение волнового уравнения выглядит в том случае, если все поля зависят только от одной декартовой координаты. Пусть это будет координата x. Т. о., все поля в каждый момент времени имеют одинаковые значения во всех точках любой плоскости, перпендикулярной оси x. В разных плоскостях значения полей, вообще говоря, разные. Это условие приводит нас к волновому уравнению (5.9) плоской волны

. (5.9x)

Потенциал поля скоростей φ = φ(x,t) есть функция двух переменных x и t. Удобно сделать замену переменных ξ = x – ct, η = x + ct. Тогда

и вторые производные, соответственно

,

.

Подставив эти выражения в волновое уравнение (5.9x), получим после привидения подобных членов

.

Отсюда следует, что производная ∂φ/∂ξ зависит только от ξ (и, соответственно, производная ∂φ/∂η зависит только от η). Поэтому общий интеграл нашего уравнения имеет вид суммы двух функций φ = f1(ξ) + f2(η). Возвращаясь к прежним переменным, получаем

φ(x,t) = f1(x - ct) + f2(x + ct). (5.10)

Так же зависят от x, t скорость vx, плотность ρ’ и давление p’. Такая специфическая зависимость плоской волны от координат и времени говорит о том, что в плоскости x = ct + const функция f1(x – ct) имеет в момент времени t то же значение, что в плоскости x = const в момент t = 0. Это означает, что поля плотности, давления и x-компоненты скорости, отвечающие функции f1 перемещаются со скоростью c (скорость звука) в положительном направлении оси x. Для функции f2 поля перемещаются в отрицательном направлении оси x с той же скоростью. Такое поведение полей называется бегущей плоской волной.

Наличие в общем решении двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, связано с симметрией волнового уравнения по отражению, как времени, так и координаты. Если граничные и начальные условия не обладают такой симметрией, то в частном решении останется лишь одна из двух волн. Так как выбор направления оси x произволен, то всегда можно считать, что остается волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x, т. е. функция f1.

Важно понимать, что скорость c, характеризующая распространение полей в среде, никак не связана со скоростями движения макро частиц. Во-первых, макро частицы совершают колебания около равновесных состояний, поэтому их скорость отнюдь не постоянная, как скорость звука в однородной среде. Скорость каждой макро частицы меняется как по величине, так и по направлению. Именно, поле скорости v(x,t) определяет то, как движутся макро частицы в каждой точке и в каждый момент времени. Во-вторых, скорость макро частицы гораздо меньше скорости звука. Последняя характеризует скорость распространения взаимодействия в среде. Носителями взаимодействия в среде с близкодействием являются молекулы (атомы), поэтому скорость звука порядка среднеквадратичной скорости движения молекул. Скорость макро частицы определяется средней скоростью молекул (скоростью центра масс), из которых она состоит. Эта средняя скорость никак не связана с относительной скоростью молекул – макро частица может покоиться, в то время как молекулы, ее составляющие, будут перемещаться с огромными скоростями друг относительно друга.

Используя определение потенциала поля скоростей v = gradφ, а также выражения поля давлений и поля плотности (5.8) через потенциал φ, получим

Отсюда следует, что v = p’/(ρc). Из определения скорости звука c2 = p’/ρ’ получаем v = c(ρ’/ρ). Таким образом, малая величина скорости макро частицы по сравнению со скоростью звука является как раз необходимым условием линейного приближения, в котором записано волновое уравнение.

Монохроматические волны

Поля скорости, плотности и давления в нашем приближении ограничены |v| << c, |ρ’| << ρ0, |p’| << p0. Это означает, что в решении волнового уравнения должны чередоваться области разряжения и сжатия. В областях разряжения ρ’ < 0, p’ < 0 частицы имеют скорость, направленную против оси x. В областях сжатия ρ’ > 0, p’ > 0 частицы движутся в направлении оси x. В общем случае картина чередования таких областей не обязательно носит периодический характер. В то же время можно всегда представить полевые функции линейной задачи в виде линейной комбинации периодических функций времени, имеющих все возможные периоды. Такое представление решения линейной задачи называется разложением в ряд или интеграл Фурье. Это разложение представляет собой полную аналогию перехода к нормальным координатам в теории малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы. Каждое нормальное колебание поля в разложении является гармоническим колебанием с определенной частотой. Такое колебание называется монохроматическим.

Произведем спектральное разложение бегущей плоской волны. Из вида решения (5.10) ясно, что если поле периодическое во времени, то оно должно быть периодическим и в пространстве. Ведь зависимости от времени t и пространственной координаты x одинаковы с точностью до множителя c. Поэтому, если временная частота монохроматического колебания равна ω, то «пространственная частота», т. е. частота повторения в пространстве одинаковых значений поля на фотоснимке плоской монохроматической волны, должна равняться ω/c. Именно этот результат мы получим, если в волновое уравнение (5.9x) подставим монохроматическое решение для потенциала φ(x,t) = Re[φ0(x)e-iωt]

.

Это уравнение обычного осциллятора, «частота» которого равна ω/c. Таким образом, потенциал поля скорости бегущей плоской монохроматической волны имеет вид

.

Здесь a – амплитуда потенциала, выражение в скобках – фаза волны потенциала, α – начальная фаза.

Для записи этого решения в инвариантной форме вводят вектор k, направленный вдоль распространения плоской волны n (в данном случае – вдоль оси x, т. е. nx = 1, ny = nz = 0), равный по модулю «пространственной частоте» ω/c. Такой вектор k = nω/c называется волновым вектором. «Пространственной частоте» ω/c, как и обычной частоте ω, соответствует «пространственный период» λ = 2π/(ω/c) = 2π/k - длина волны.

Сверхзвуковое течение. Поверхности разрыва

Течение среды приобретает качественно иной характер, когда его скорость достигает скорости звука. Сверхзвуковой поток «сносит» распространяющееся возмущение таким образом, что оно охватывает лишь ограниченную область среды вниз по течению. Эту ситуацию можно изобразить в виде следующей диаграммы

дозвуковой и сверхзвуковой

потоки

На этой диаграмме изображена точка O, в которой возникает малое возмущение, порождающее звуковую волну. Волна распространяется со скоростью звука c во всех направлениях n. Поток переносит источник возмущения со скоростью v. В дозвуковом потоке возмущение рано или поздно охватывает всю среду. При v > c возмущение, сносимое потоком, будет охватывать лишь ту область среды, которое лежит внутри конуса с вершиной в точке O. Угол раствора конуса равен 2α, где sinα = c/v = 1/M. Это так называемый конус Маха. Отношение M = v/c называется в газодинамике числом Маха.

Критические условия, возникающие в среде при распространении сверхзвукового потока, могут приводить к появлению областей, где, сколь малыми не выбирались бы участки среды, их нельзя считать находящимися в состоянии установившегося теплового равновесия. Такие области не успевают перейти в состояние равновесия за те малые промежутки времени, которые характерны для быстрых процессов. Поведение среды в этих областях уже нельзя описать в рамках модели макро частиц, которые по определению есть равновесные участки вещества.

Часто неравновесные области можно описать как некоторые особые поверхности - поверхности разрыва в объеме среды. По обе стороны 1 и 2 такой поверхности среда описывается обычной динамикой. В то же время, при переходе через неравновесную поверхность динамические переменные такие, как скорость, давление, плотность и т. д. испытывают конечный скачок. Связь между состоянием среды p1, ρ1, v1,… по одну сторону разрыва и состоянием p2, ρ2, v2,… по другую его сторону может быть установлена путем сравнения потоков массы, импульса и энергии среды при пересечении поверхности разрыва.

В частности, при стационарном, установившемся течении среды через неподвижную поверхность разрыва вблизи каждой точки этой поверхности должны сохраняться потоки массы ρ1v1df = ρ2v2df, импульса (Πik)1 dfk = (Πik)2 dfk и энергии ρ1v1(v12/2 + w1)df = ρ2v2(v22/2 + w2)df. Здесь df = ndf – векторный элемент поверхности разрыва, ориентированный вдоль единичного вектора нормали n. Тензор плотности потока импульса Πik используем в виде Πik = ρvivk + pδik.

Для простоты выберем локальную систему координат с осью x, направленной вдоль вектора n, т. е. n1 = 1; n2 = n3 = 0. Тогда соотношения, записанные выше, примут форму пяти равенств:

ρ1vx1 = ρ2vx2 – баланс массы;

p1 + ρ1vx12 = p2 + ρ2vx22 – баланс нормальной компоненты импульса;

ρ1vx1vy1 = ρ2vx2vy2 – баланс касательной y-компоненты импульса;

ρ1vx1vz1 = ρ2vx2vz2 – баланс касательной z-компоненты импульса;

ρ1vx1(v12/2 + w1) = ρ2vx2(v22/2 + w2) – баланс энергии.

Различают два типа поверхностей разрыва.

·  Первый, так называемый тангенциальный разрыв, имеет место, когда поток массы вещества через поверхность отсутствует vx1 = vx2 = 0. Тогда, как это следует из баланса нормальной компоненты импульса, p1 = p2. Тангенциальные составляющие скорости и плотность на поверхности тангенциального разрыва претерпевают произвольный скачок.

·  При не нулевом потоке массы непрерывными являются тангенциальные составляющие скорости vy1 = vy2; vz1 = vz2. Это также следует из уравнений для потока импульса. Плотность, давление и нормальная составляющая скорости в этом случае терпят разрыв. Такая поверхность разрыва называется ударной волной.

Вопросы для самоконтроля.

1.  Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций идеальной жидкости?

2.  Как выглядят уравнения баланса импульса и энергии идеальной жидкости?

3.  Что такое интеграл Бернулли, и в каких условиях он имеет место?

4.  Что такое изоэнтропическое течение?

5.  Как выглядят уравнения Эйлера в условиях изоэнтропического течения?

6.  Что такое циркуляция скорости?

7.  Сформулируйте теорему Томсона о циркуляции скорости. В каких условиях она имеет место?

8.  Что такое потенциальное течение?

9.  Какой интеграл имеют уравнения Эйлера в условиях потенциального течения?

10.  Чем отличается интеграл уравнений Эйлера стационарного, потенциального течения от интеграла Бернулли?

11.  Как линеаризуются динамические уравнения идеальной жидкости вблизи равновесия, и к какому уравнению это приводит?

12.  Как выглядит решение волнового уравнения для плоской волны? Дайте пояснения.

13.  Как связаны между собой поля скорости, давления и плотности в бегущей плоской волне?

14.  Что представляет собой спектральное разложение и решение в виде плоской, монохроматической волны?

15.  Как выглядит диаграмма распространения малого возмущения при сверхзвуковом течении среды, и что такое число Маха и конус Маха?

16.  Какие поверхности разрыва могут существовать в сплошной среде при сильнонеравновесных процессах?

Вязкая жидкость

Учет вязкости требует добавки в уравнение Эйлера (5.1) к тензору тепловых напряжений в жидкости σik = -pδik тензора вязких напряжений σ’ik (3.15). Посчитаем производную

.

Мы предположили, что жидкость однородная, поэтому коэффициенты вязкости η, ξ не зависят от координат. Добавив это выражение в правую часть уравнения Эйлера (5.1), получим основное динамическое уравнение вязкой жидкости в векторном виде (без учета массовых сил)

(6.1).

Это уравнение называется уравнением Навье-Стокса.

В вязкой жидкости уравнение теплопроводности для однородной изотропной среды имеет вид уравнения (3.10), в правую часть которого следует добавить работу вязких напряжений σ’ikvik

Уравнение Навье-Стокса, уравнение теплопроводности вместе с уравнением непрерывности и уравнениями термодинамического состояния вещества образуют замкнутую систему динамических уравнений для вязкой жидкости.

Если жидкость несжимаемая, то divv = 0 и уравнение Навье-Стокса упрощается, принимая вид

. (6.2)

Здесь ν = η/ρ – так называемая кинематическая вязкость. Для определения полей давления и скорости несжимаемой жидкости достаточно двух уравнений – уравнения непрерывности и уравнения (6.2).

При решении задач на течение вязкой жидкости обычно используют граничные условия, накладываемые, например, на поле скорости. В частности, на поверхности соприкосновения вязкой жидкости с неподвижным твердым телом используется «условие налипания» - равенство нулю касательной составляющей скорости жидкости. Другой пример, на поверхности соприкосновения вязкой жидкости с вакуумом, или средой, в которой можно пренебречь наличием касательных напряжений, касательные вязкие напряжения должны обращаться в ноль.

Наличие вязкости приводит к диссипации кинетической энергии жидкости. В случае несжимаемой жидкости, занимающей объем V, кинетическая энергия равна . Работа диссипативных напряжений при б. м. смещении u макро частицы определяется интегралом .

Проведя вычисления, аналогичные вычислениям изменения энергии макро частицы (3.0), получим работу вязких сил, увеличивающих внутреннюю энергию макро частицы d(ΔE)dis = ΔVσ’ikduik. Поэтому работа вязких напряжений, производимых над единицей объема жидкости в единицу времени равна σ’ikvik. Следовательно, изменение кинетической энергии объема V вязкой жидкости за счет диссипации в единицу времени равно

.

Учитывая, что для несжимаемой жидкости σ’ik = 2ηvik, получаем

.

В качестве упражнения получите это выражение из уравнения (6.2) (см. также «Гидродинамика», §16).

Для усвоения материала рекомендуется познакомиться с решением некоторых простых задач на движение вязкой жидкости. Это течение вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями (неподвижными, и движущимися друг относительно друга) (§17 «Гидродинамики») и задача о течении вязкой жидкости по наклонной плоскости (река) (зад. 5 к §17).

Закон подобия. Ламинарное и турбулентное течения

Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость. Ее динамика описывается двумя уравнениями – уравнением непрерывности divv = 0 и уравнением (6.2). Неизвестными полями являются векторное поле скорости v и поле давлений p. Так как плотность жидкости считается заданной, то неизвестной функцией можно считать отношение поля давлений к плотности p/ρ.

Предположим, что течение жидкости является стационарным, т. е. ∂v/∂t = 0 и ∂p/∂t = 0. Стационарный поток имеет некоторую характерную скорость обтекания u, которую можно выбрать за единицу масштаба скорости. Другим характерным масштабом могут служить линейные размеры области, в которой расположен поток, либо размеры тела, который он обтекает. Пусть эта величина равна l. Выберем l за единицу масштаба длины, [D] = l. Тогда единица масштаба времени будет [T] = l/u. В уравнении (6.2) для стационарного течения имеется единственная постоянная ν – кинематическая вязкость. Размерность этой постоянной [ν] = [D]2/[T]. В новом масштабе безразмерная кинематическая вязкость будет равна ν/(ul). Величину, обратную обезразмеренной таким образом кинематической вязкости

R = ul/ν

называют числом Рейнольдса.

Итак, обезразмеренное уравнение стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости имеет вид

.

Это уравнение вместе с уравнением непрерывности divv = 0 зависят только от одного безразмерного параметра R. Если в условиях задачи меняется величина скорости потока u, и/или линейные размеры обтекаемого тела l при неизменности его формы, но число Рейнольдса остается неизменным (за счет, например, выбора среды с другой кинематической вязкостью), то остается неизменным и решение уравнений. Меняется лишь масштаб скорости или длины. Это так называемый закон подобия Рейнольдса.

Опыт показывает, что движение вязкой среды при малых числах Рейнольдса является вполне устойчивым. Такое движение называется ламинарным, или слоистым. Среда движется слоями, сохраняя устойчивость конфигурации слоев. Но, при больших числах Рейнольдса такая устойчивость теряется, и течение переходит в турбулентную фазу.

Вопросы для самоконтроля.

1.  Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций вязкой жидкости?

2.  Какие граничные условия используются при соприкосновении вязкой жидкости с твердым телом?

3.  Какова скорость диссипации энергии в вязкой жидкости?

4.  Что такое число Рейнольдса и в чем состоит закон подобия?

5.  Каковы отличия между турбулентным и ламинарным течениями вязкой жидкости?