Расчетное задание по математической статистике (задание 14, α= 1, =0,7, ε=0,14)

Шелепов Алексей, гр 8206

 

Выборка из

 

1,945

1,326

1,971

-0,083

0,621

0,482

0,249

1,755

1,763

1,743

 

1,357

0,989

1,386

1,485

-0,141

1,239

0,578

1,158

2,276

1,059

 

0,063

2,21

1,726

0,446

1,29

1,02

0,745

1,213

0,636

1,209

-0,306

1,549

-0,45

1,691

0,748

0,366

-1,242

1,741

-0,442

1,288

1,519

1,723

1,198

-0,758

0,587

0,185

0,956

1,112

1,761

-0,334

Выборка из

0,836

0,16

0,663

0,831

0,366

0,003

0,544

0,107

0,86

0,769

0,59

0,063

0,412

0,097

0,547

0,878

0,916

0,168

0,684

0,507

0,949

0,607

0,52

0,247

0,268

0,366

0,412

0,63

0,001

0,126

Задание 1. Построить точные доверительные интервалы доверительного уровня 1-ε

Для дальнейших рассуждений нам понадобятся свойства:

Свойства: Если , то

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Посчитаем значения некоторых величин, необходимых для подсчетов.

Выборочное среднее: .

Несмещённая выборочная дисперсия .

а) Построить доверительный интервал для α при известном .

По вышеупомянутым свойствам статистика .

Найдем такое , что

Отсюда находим .

Далее из получаем доверительный интервал для α: .

Доверительный уровень :

ε = 0.14 Ф(q) = 1 – ε/2 = 1– 0.07 = 0.93.

Следовательно, квантиль q= 1,475

Доверительный интервал для :

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

б) Построить доверительный интервал для α при неизвестном σ.

Для оценки при неизвестной дисперсии воспользуемся статистикой . Она имеет распределение Стьюдента с () степенями свободы.

Найдем такое q, что

Из получаем доверительный интервал для α: .

Доверительный уровень :

. Следовательно, квантиль .

Доверительный интервал для :

в) Построить доверительный интервал для при известном α= 1:

и все Xi независимы .

Найдем q1 и q2 такие, что

, .

Тогда

И доверительным интервалом для будет:

Доверительный уровень :

Получаем: q1 =36,105, q2 = 65,4629

Доверительный интервал для :

г)Построить доверительный интервал для при неизвестном .

Воспользуемся статистикой: .

Найдём такие q1 и q2 что

,

Тогда

Таким образом, получаем доверительный интервал для :

Доверительный уровень :

Получаем квантили:

Доверительный интервал для :

Задание 2. По данным числовым наблюдениям (выборка объема 30) проверить основную гипотезу о равномерности распределения.

0,836

0,16

0,663

0,831

0,366

0,003

0,544

0,107

0,86

0,769

0,59

0,063

0,412

0,097

0,547

0,878

0,916

0,168

0,684

0,507

0,949

0,607

0,52

0,247

0,268

0,366

0,412

0,63

0,001

0,126

Пусть . Проверим гипотезы , с помощью:

1.  Критерия Колмогорова.

Проверяется гипотеза против альтернативы . Пусть задана функция , которая строится по эмпирической функции и обладает следующим свойством: или . Тогда мы принимаем гипотезу , если и отвергаем в противном случае.

Критерий Колмогорова:

Пусть - статистика Колмогорова. Если - непрерывная функция распределения, то имеет место сходимость:

.

Решение:

Предположим, что верна гипотеза H1.

Рассмотрим статистику Колмогорова

По Критерию Колмогорова

, где - функция Колмогорова.

Соответственно, .

Таким образом, гипотеза отвергается, если и принимается, если .

Уровень значимости .

Найдём такое q, что

Таким образом, получили, что принимаем гипотезу .

2.  Критерий Хи-квадрат.

Для начала сформулируем Критерий Пирсона хи-квадрат:

Пусть вещественная ось разбита на непересекающихся интервалов , и пусть , - число элементов выборки , которые попали в интервал , . Воспользуемся статистикой (статистика Пирсона хи-квадрат). Тогда имеет место сходимость к распределению хи-квадрат с степенью свободы.

Решение:

Предположим, что H1 верна.

Разбиваем отрезок [0,1] на 5 частей: , поэтому .

;

Следовательно,

По критерию Пирсона хи-квадрат отвергается, если , и принимается, если , где квантиль уровня для распределения ,

Уровень значимости .

Найдем квантиль q:

, .

Таким образом, .

Получили, что . Значит, принимаем гипотезу по критерию Пирсона.

Задание 3: По данным двум выборкам из нормальных совокупностей проверить с помощью критериев размера e гипотезу о совпадении:

а) дисперсий при неизвестных средних

Решение:

Рассмотрим F-распределение Фишера: если имеет распределение и имеет распределение , то имеет распределение Фишера , тогда

имеет распределение

Пусть , тогда принимается, если , и не принимается иначе, т. е. критерий выглядит так:

По справочным таблицам находим: , следовательно,

Ответ: гипотеза принимается на основании критерия размера .

б) средних, если известно, что неизвестные дисперсии совпадают

Решение:

,

Статистика имеет распределение , где

,

;

статистика имеет распределение , где

,

,

поэтому имеет распределение ,

статистика имеет распределение

имеет распределение , где

Пусть , тогда принимается, если , и не принимается иначе, т. е. критерий выглядит так:

По справочным таблицам находим: , следовательно,

Ответ: гипотеза принимается на основании критерия размера .