Информатика (базовый курс для подготовки студентов и преподавателей к Интернет-экзамену) (стр. 3 )

Пример: преобразовать двоичное число в восьмеричное и шестнадцатеричное, используя табличный метод. Преобразование в восьмеричное число – 001.001.0112 = 1138 ( = 1138); преобразование в шестнадцатеричное – 0100.10112 = 4В16 ( = 4В16).

Перевод десятичных чисел в системы счисления с основанием q (q = 2, 8, 16) проводится последовательным делением исходного числа на основание q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q – 1. Это деление в остатках дает запись цифр соответствующего двоичного числа, но в обратном порядке – от младшей цифры к старшей вместе с последним частным.

Пример: перевести число 75 из десятичной системы в:

двоичную – 75: 2 = 37 + 1; 37 : 2 = 18 + 1; 18 : 2 = 9 + 0; 9 : 2 = 4 + 1; 4 : 2 = 2 + 0; 2 : 2 = 1+ 0; результат – двоичное число (7510 = );

восьмеричную – 75 : 8 = 9 + 3; 9 : 8 = 1 + 1; результат – восьмеричное число 1138 (7510 = 1138);

шестнадцатеричную – 75 : 16 = 4 + 11 = 4 + B; результат – шестнадцатеричное число 4B16 (7510 = 4B 16).

Обратное преобразование двоичных, восьмеричных, шестнадцатеричных чисел в десятичные проводится подсчетом сумм степеней основания их системы счисления.

Пример: выполнить обратное преобразование вышеприведенных двоичного, восьмеричного и шестнадцатеричного чисел в десятичное число:

двоичного = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 7510, где 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 – степени основания, равного 2;

восьмеричного 1138 = 1*82 + 1*81 + 3*80 = 7510, где 2, 1, 0 – степени основания, равного 8;

шестнадцатеричного 4B 16= 4*161 + 11*160 = 7510, где 1, 0 – степени основания, равного 16.

Правила перевода правильных десятичных дробей в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему состоят в следующем:

1. Умножить исходное число на основание системы.

2. Выделить целую и дробную части произведения. Целая часть является старшим после запятой разрядом искомой двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной дроби. Считать дробную часть произведения исходным числом, перейти к п. 1.

3. Процесс перевода заканчивается в двух случаях:

а) дробная часть некоторого произведения равна 0;

б) достигнута заданная точность перевода.

Пример: 1) перевести число 0,12510 в двоичную систему счисления

0,125		0,25		0,5
´		´		´
2		2		2
0,25		0,5		1,0
0		0		1

результат – 0, 12510 = 0, 0012;

2) перевести число 0,210 в двоичную систему счисления

0,2		0,4		0,8		0,6		0,2
´		´		´		´		´
2		2		2		2		2
0,4		0,8		1,6		1,2		0,4
0		0		1		1		0

результат – 0, 210 = 0, 001102.

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ. К кодам выдвигаются следующие требования: 1) разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой; 2) для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд. Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено семь разрядов, а для записи кода знака один разряд.

Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1. Знаковым разрядом обычно является крайний левый разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано, то будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

Пример: в случае, когда для записи кода выделен один байт, для числа +1101 прямой код 0,0001101, для числа -1101 прямой код 1,0001101.

Обратный код. Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Пример: для числа +1101 прямой код 0,0001101, обратный код 0,0001101; для числа –1101 прямой код 1,0001101, обратный код 1,1110010.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Пример: Для числа +1101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
0,0001101	0,0001101	0,0001101

Для числа – 101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
1,0001101	1,1110010	1,1110011

1.4. Кодирование текстовых данных

Если каждому символу алфавита сопоставить определенное целое число, то с помощью двоичного кода можно кодировать и текстовую информацию. Институт стандартизации США ввел в действие систему кодирования ASCII для символов английского языка, в которой закреплены две таблицы кодирования – базовая и расширенная. Базовая таблица закрепляет значения кодов от 0 до 127, а расширенная относится к символам с номерами от 128 до 255.

В России имеются три действующих стандарта кодировки. Так, например кодировка символов русского языка, известная как кодировка Windows-1251(Windows Cyrillic), была введена «извне» – компанией Microsoft, но учитывая широкое распространение операционных систем и других продуктов этой компании в России, она глубоко закрепилась и нашла должное применение. Эта кодировка используется на большинстве локальных компьютеров, работающих на платформе Windows.

Другая распространенная кодировка носит название КОИ-8 (код обмена информацией, восьмизначный) – ее происхождение относится ко временам действия СЭВ государств Восточной Европы. Сегодня кодировка КОИ-8 имеет широкое распространение в компьютерных сетях на территории России и в российском секторе Интернета.

Международный стандарт, в котором предусмотрена кодировка символов русского алфавита, носит название кодировки ISO. На практике данная кодировка используется редко.

1.5 Логические основы ЭВМ

1.5.1. Элементы математической логики

Математическая логика лежит в основе исследований по созданию современных интеллектуальных систем. Использование данных в конкретном функциональном процессе или приложении для формирования контекстно-зависимого представления, которое может послужить основой для дальнейших действий, – это один из примеров применения логических построений или умозаключений.

В математической логике 0 идентифицируется с ложным суждением, а 1 – с истинным. Если х – некоторое суждение, то посредством – обозначают его отрицание. Отрицанием или инверсией высказывания х называется высказывание истинное тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание х обозначают также через х и читают как «не х». Формула х1 х2, читаемая «х1и х2», выражает логическое умножение, которое будет являться истинным тогда и только тогда, когда истинно каждое из высказываний х1 и х2. Логическое умножение называют конъюнкцией. Конъюнкция высказываний х1 и х2 обозначается как х1 & х2 (или х1 х2). Через х1 х2 обозначают логическое сложение, называемое дизъюнкцией и читаемое как «х1 или х2». Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из составляющих ее суждений х1или х2.

Выражение «из х1 следует х2», обозначаемое х1→ х2 (или х1 х2), называется импликацией. Условились считать, что импликация ложна лишь в том случае, когда суждение х1 истинно, а х2 ложно. Нетрудно убедиться, что импликация эквивалентна х2. Говорят, суждения х1 и х2 эквивалентны (название высказывания – эквиваленция и обозначают ее х1 ≡ х2 или х1 ~ х2), если оба суждения х1 и х2 одновременно истины или ложны. Истинность или ложность перечисленных выше элементарных операций над высказываниями (суждениями) отражены в таблице истинности (табл. 4):

Таблица 4

х1	х2	х1 х2	х1 х2	х1→ х2	х1~ х2	х1 х2
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 1 1 1	1 1 0 1	1 0 0 1	1 1 0 1

Из простых суждений с помощью введенных операций «и», «или», «не», а также импликации и эквиваленции можно составлять сложные суждения. Правила подобных построений составляют раздел алгебры логики.

Пример: из заданных логических функций эквивалентной х1 является …

А) х1 и не х2 и не х1; В) х1 и не х1 или х1; С) х1 и не х2 или х1; D) х1 и не х1 или х2.

По заданному условию задачи проверяем все четыре логические функции на эквиваленцию высказывания х1, используя таблицу истинности:

А) х1 и не х2 и не х1		В) х1 и не х1 или х1
х1	х2	Расчет	Результат		х1	х2	Расчет	Результат
0	0	0 × 1 × 1 = 0	0	0	0	0 × 1 + 0 = 0	0
0	1	0 × 0 × 1 = 0	0	0	1	0 × 1 + 0 = 0	0
1	0	1× 1 × 0 = 0	0	1	0	1× 0 + 1 = 1	1
1	1	1× 0 × 0 = 0	0	1	1	1× 0 + 1 = 1	1
С) х1 и не х2 или х1		D) х1 и не х1 или х2
х1	х2	Расчет	Результат		х1	х2	Расчет	Результат
0	0	0 × 1 + 0 = 0	0	0	0	0 × 1 + 0 = 0	0
0	1	0 × 0 + 0 = 0	0	0	1	0 × 1 + 1 = 1	1
1	0	1 × 1 + 1 = 1	1	1	0	1× 0 + 0 = 0	0
1	1	1 × 0 + 1 = 1	1	1	1	1× 0 + 1 = 1	1

Ответ: из заданных логических функций эквивалентными х1 являются функции В и С.