Механика (стр. 4 )

Высота головки зуба делается несколько меньше высоты ножки зуба, для того чтобы вершина зуба одного колеса не упиралась в основание впадины другого колеса.

Высота зуба .

Определим диаметры окружностей выступов зубчатых колес

Диаметры окружностей впадин зубчатых колес равны:

Вычислим диаметры основных окружностей зубчатых колес

Определим шаг зацепления по дуге начальной окружности

Толщина зуба и ширина впадины по дуге начальной окружности равны между собой, т. е. ;

II. Построение нормального эвольвентного зубчатого зацепления

Построение зубчатого зацепления ведется в следующем порядке (рис. 13):

1. Согласно рекомендациям, данным в задании, масштабная высота зуба должна быть не менее 30 мм, тогда

где , — действительная высота зуба;

— масштабное значение высоты зуба на чертеже.

2. Проводим линию центров, отмечаем на ней центры и на расстоянии , (центры колеси могут выходить за пределы чертежа).

3. В выбранном нами масштабе вычерчиваем окружности зубчатых колес: основные, начальные, окружности выступов и окружности впадин.

Рис. 13

Масштабные значение расчетных параметров

; ;

;;

4. Через полюс зацепления проводим общую касательную к начальным окружностям (перпендикулярно к линии центров) и линию зацепления , касательную к основным окружностям, при этом угол между этими касательными должен быть равен .

5. Проведем перпендикуляры и из центров к линии зацепления (длины этих перпендикуляров есть радиусы основных окружностей).

Участок линии зацепления называется теоретическим участком линии зацепления.

6. Каждый зуб зубчатого колеса находится в зацеплении не на всем своем пути, а только на каком-то участке, т. е. в какой-то точке он входит в зацепление, а в какой-то выходит из него. Этот участок, лежащий на линии зацепления и образованный пересечением этой линии с окружностями выступов, называется практическим или рабочим участком линии зацепления. На рис, 14 практический участок линии зацепления обозначен точками и .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

7. Строим эвольвентные профили только центральной пары сопряженных зубьев так, чтобы они касались в полюсе зацепления (рис. 13).

Эвольвентной окружности называется кривая, описываемая точкой прямой линии, перекатываемой по этой окружности без скольжения. Окружность, по которой перекатывается прямая при образовании эвольвенты, называется основной окружностью. Следовательно, эвольвентные участки зубьев будут находиться в пределах между основными окружностями и окружностями выступов колес.

Построение эвольвенты производим общепринятым методом. Для этого отрезок линии зацепления (второго колеса) разбиваем на равное число частей (допустим, на четыре), обозначим точки деления 1, 2, 3, 4 и т. д, продолжив деление по другую сторону точки .

Отрезок линии зацепления играет роль производящей прямой, при обкатывании которой без скольжения по основной окружности точка опишет эвольвенту.

Полученные отрезки , 1-2, , начиная от точки , отложим по хорде на основной окружности при этом разностью между длинами дуги и хорды пренебрегаем. Полученные точки обозначим , ...

Соединим эти точки с центром колеса и проведем через них касательные к основной окружности, которые будут перпендикулярны радиусам.

Отложим на касательных отрезки, равные расстоянию до полюса от соответствующей точки деления, т. е. вдоль первой касательной откладываем отрезок, вдоль второй касательной — отрезок и т. д. Полученные точки обозначим 1", 2", З", . . ., и затем последовательно соединим их плавной кривой. Данная кривая и будет представлять эвольвентный участок профиля зуба. Для сопряженного колеса эвольвентный профиль зуба строится аналогично.

Неэвольвентный участок профилей зубьев, т. е. участок в пределах от основной окружности до окружности впадин, для случая очерчивается радиальными прямыми, после чего у основания зуба производят их сопряжение с окружностями впадин радиусом те.

Если , то сначала получают точку пересечения окружности впадин в эвольевентной, а затем у основания делают закругления радиусом.

Для построения симметричного профиля зуба отложим толщину зуба в масштабе ,проведем ось симметрии и затем методом зеркальной симметрии и шаблонов строим профиль зуба (рис. 14).

Аналогично производится построение профилей соседних зубьев.

Обозначим рабочие участки профилей зубьев. Учитывая, что в точке начинается зацепление, т. е. в ней контактируются крайняя точка головки зуба второго (большого) колеса и наинизшая точка ножки зуба первого (малою) колеса, радиусом сделаем засечку на профиле зуба малого колеса, которая определит нам положение наинизшей точки первого колеса. Делая засечку на профиле зуба второго (большего) колеса радиусом , определим наинизшую точку, участвующую в зацеплении, для этого колеса. Рабочие участки профилей зубьев на чертеже отмечены утолщенной линией.

Определим длину дуги зацепления по любой из окружностей, в пределах которой происходит зацепление зубьев, предварительно проведя пунктиром через точки и сопряженные профили в положении начала и конца зацепления. Дуги и между положениями соответствующих профилей зубьев в начале и конце зацепления для каждого из колес есть пути, проходимые зубьями за время зацепления одной пары зубьев, измеренные по начальной окружности. Эти дуги и называются дугами зацепления.

В общем геометрическая картина нормального эвольвентного зубчатого зацепления двух колес с учетом построения эвольвентного профиля зубьев представлена на рис. 15.

При работе зубчатых колес необходимо, чтобы в любой момент времени зубья находились в зацеплении. Для этого

Рис. 14

требуется, чтобы дуга зацепления была больше шага. В противном случае первая пара зубьев выйдет из зацепления раньше, чем войдет в зацепление следующая пара зубьев.

Отношение дуги зацепления к шагу характеризуется коэффициентом перекрытия .

Определим коэффициент перекрытия графическим и аналитическим методами.

Рис. 15. Построение зубчатого зацепления

На основании данного выше определения запишем

(величина находится при измерении на чертеже).

Для определения коэффициента перекрытия аналитическим методом имеем:

Вычислим процент расхождения

Полученный процент расхождения не превышает допускаемой величины.

Для решения задачи 3, 4, надлежит усвоить понятия о внутренних силах и напряжениях.

Внутренние силы (силы упругости) в соответствии с допущением о непрерывности материала возникают в телах как силы непрерывно распределенные. Для их определения используют метод сечений, суть которого заключается в следующем. Тело, находящееся под действием внешней нагрузки в равновесии, должно оставаться в этом состоянии и после его расчленения на части, если к этим его частям приложены соответствующие внешние и внутренние силы.

Интенсивность распределения внутренних сил характеризуется напряжением, под которым понимают предел отношения равнодействующей внутренних сил, действующей на бесконечно малый элемент сечения, к площади этого элемента. Составляющую такого полного напряжения, перпендикулярную к сечению, называют нормальным напряжением— , лежащую в плоскости сечения называют касательным напряжением —.

При растяжении (сжатии) в любом поперечном сечении стержня можно определить равнодействующую внутренних сил . Отношение этой равнодействующей к площади поперечного сечения определяет нормальное напряжение

Деформация, сопровождающаяся изменением кривизны оси стержня, называется изгибом. Такая деформация может быть результатом приложения нагрузок различных направлений. Момент пары, равный алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону сечения, относительно его центра тяжести, называют изгибающим моментом . В рассматриваемом сечении он вызывает нормальные напряжения .

Перед решением задачи на растяжение бруса студенты должны уяснить основное содержание дисциплины «Сопротивление материалов», относящееся к расчету брусьев на растяжение и сжатие с учетом собственного веса, определению нормальных сил и нормальных напряжений по участкам, пользуясь методом сечений, определению перемещений под действием внешних сил и собственного веса.

Рассмотрим трехступенчатый стальной брус, закрепленный вверху и находящийся под действием силы и собственного веса. Вес единицы объема . Модуль упругости стали.Площади сечений бруса ,, . Основные размеры бруса указаны на чертеже (рис. 16,а).

Требуется:

1. Выполнить чертеж бруса по указанным размерам в масштабе.

2. Составить для каждого участка бруса аналитическое выражение растягивающей нормальной силыи напряжения с текущей координатой (при отсчете от низа стержня).

3. Построить эпюры нормальных усилий и напряжений .

4. Определить перемещение нижнего конца бруса и сечения .

Решение

1. Определение расчетных участков бруса

Нормальные силы и напряжения зависят от длины участков бруса, их поперечного сечения, объемного веса материала и точек приложения внешних сил. Поэтому границами участков будут места изменения сечений бруса и точки приложения внешних сил. Следовательно, брус будет иметь три расчетных участка:

I участок — от до ;

II участок — от до ;

III участок — от до .

2. Составление аналитических выражений для и и вычисление их значений по участкам

Пользуясь методом сечений, сделаем на каждом участке сечение (см. рис. 15,а) и рассмотрим равновесие отсеченных

Рис.16

частей. Из уравнений равновесия получим:

I участок —

; .

При

и .

При

;

II участок — ;

;

При

;

При

;

III участок —

;

При

;

При

;

3. Построение эпюр нормальных усилий и напряжений

По полученным значениям и для каждого участка бруса строим эпюры и в принятом масштабе (рис. 16,б, в). Штриховку эпюр производим перпендикулярно оси бруса.

4. Определение перемещений нижнего конца бруса и точки

Вычисляем перемещение нижнего конца бруса как сумму перемещений, полученных каждым участком. Перемещение на участках определяется по формуле

Таким образом

Удлинение участка АВ будет только от собственного веса, т. е.

Для упрощения вычислений перемещений на II и III участках определим собственный вес I и II участков:

;

Удлинение участка будет равно сумме удлинений: от собственного веса участка

;

от веса участка

;

от силы

;

Полное удлинение участка

Аналогично удлинение участка будет равно сумме удлинений:

от собственного веса участка

;

от веса участков и

;

от силы

Полное удлинение участка

Перемещение нижнего конца бруса в соответствии с (а)

Перемещение точки равно полному удлинению участка . т. е.

Для решения следующей задачи (задачи на изгиб) необходимо усвоить методику определения изгибающих моментов и поперечных сил Q.

Для составления аналитических выражений и Q следует определить количество расчетных участков балки. В нашем случае балка имеет два участка: I участок — и II участок — . Границами участков при этом считаются точки приложения внешних сил (нагрузок), в том числе и опорных реакций.

Аналитические выражения и Q составляем по участкам, используя метод сечений. Далее, после определения числовых значений ординат и Q в характерных сечениях участков, строим по ним эпюры и Q. При этом следует иметь в виду, что выражения для моментов составляются как сумма моментов всех сил, лежащих слева или справа от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести сечения, а выражения для поперечных сил — как сумма проекций всех сил на плоскость сечения, лежащих по одну сторону этого сечения.

Правила знаков рекомендуется принимать следующие:

1) момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон балки (рис. 17, а);

Рис.17

2) поперечная сила будет положительной, если она вращает отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 17,б).

Рассмотрим изгиб балки, установленной на двух шарнирных опорах.

Для двухопорной балки (схема на рис. 18):

1. Определить опорные реакции и произвести их проверку.

2. Написать аналитические выражения изгибающего момента и поперечной силы Qy для каждого участка.

3. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил Qy и определить . На эпюрах и Qy указать ординаты характерных сечений числовыми значениями.

4. По максимальному изгибающему моменту подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом напряжении .

5. Определить главные напряжения в опасном сечении балки. Размеры балки и значения нагрузок, показаны на рис. 18.

Решение

1. Определение опорных реакций (рис. 18, б)

Реакции опор определяем из условий равновесия статики, т. е.

; ;.

Из первого условия получим:

Рис.18

Из второго условия:

;

определим:

Из третьего условия:

;

определим:

Опорные реакции получились положительными, что свидетельствует о правильности выбранного направления их. В случае отрицательного ответа направление реакций следует изменить на обратное.

Правильность определения значений реакций проверим по уравнению

;

откуда

После подстановки значений получим:

;

Таким образом, установлено, что опорные реакции определены, верно.

2. Определение изгибающих моментов и поперечных сил

Балка имеет три участка:

I участок — ,

II участок — ,

III участок — .

Участок

(уравнение прямой линии);

Q1 .

При

; Q1 .

При

;

Участок II

;

При

;

При

;

Знак минус соответствует отрицательной поперечной силе

Участок III

Для упрощения расчета на третьем участке координату будем исчислять справа налево, т. е.

;

3. Построение эпюры и Q

По полученным числовым значениям и Q строим эпюру изгибающих моментов и поперечных сил Q (рис. 18, в, г).

Нормальных сил в нашей балке не возникает, так как на всех участках сумма проекций действующих сил на ось балки равна нулю.

Проверку правильности построения эпюр и Q полезно выполнить по теореме Журавского, из которой следует, что ординаты эпюры поперечных сил

Q геометрически можно представить как тангенс угла наклона касательной к эпюре в соответствующей точке.

Так, например, на участке I тангенс угла наклона касательной к эпюре равен (см. рис. 18, в)

Такое же геометрическое отношение существует между эпюрами Q и нагрузкой ,

т. е. .

Или иначе тангенс угла наклона касательной к эпюре Q (рис. 18, г) будет равен . В нашей задаче

Далее, на участке, где поперечная сила Q (см. III участок). В местах приложения сосредоточенных сил , и поперечная сила имеет скачок, равный величине этой силы (см. рис. 18, г). Аналогично в точках приложения сосредоточенных моментов на эпюре будет скачок, равный величине сосредоточенного момента.

Если же поперечная сила на эпюре Q будет переходить через нуль, то в этом сечении изгибающий момент будет иметь экстремальное значение.

При построении эпюры следует также помнить:

1) эпюра на участках между силами иизменяется по прямолинейному закону;

2) на участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра изменяется по закону квадратной параболы и имеет выпуклость в сторону действия нагрузки;

3) на шарнирных опорах балок изгибающий момент будет только тогда, когда на этой опоре приложен сосредоточенный момент или на консоли, расположенной за этой опорой, приложена нагрузка.

4. Подбор поперечного сечения балки

Расчетным (опасным) сечением в балке будет сечение, где возникает максимальный изгибающий момент. В нашей задаче .

Сечение балки подбираем по условию прочности

;

откуда

По сортаменту (ГОСТ—8239—72) принимаем I № 16,. имеющем ,.

Максимальное нормальное напряжение в балке

Определим перенапряжение в балке:

Полученное перенапряжение по СНиП допустимо.

Задачи 5, 6 касаются расчетов на прочность болтовых и шпоночных соединений.

В задаче 5 [2, стр.292-302] внутренний диаметр болта можно определить из условия отсутствия относительного сдвига соединяемых деталей. Это условие будет выполнено, если сила трения , возникающая между поверхностями соединяемых деталей

Сила трения по закону Кулона

где - коэффициент трения;

- нормальная сила, равная по величине силе затяжки болта

Таким образом,

Диаметр болта можно определить из условия прочности тела болта

где - площадь поперечного сечения болта;

- внутренний диаметр резьбы болта;

- допускаемые напряжения.

По внутреннему диаметру резьбы подбирают стандартный болт

по ГОСТ 9150-81.

При установке болта без зазора (рис. 6,б) наружный диаметр резьбы определяется исходя из условия выполнения прочности по напряжениям среза

По ГОСТ 9150-81 подбирают ближайший стандартный болт и устанавливают окончательные значения наружного диаметра резьбы.

Также выполняется проверка деталей по напряжениям смятия

К задаче 6.

Размеры призматической шпонки подбирают го ГОСТ и проверяют выполнение условия прочности на срез и смятие [2, стр.310-314]:

где - усилие, действующее на боковую грань шпонки;

, -площади смятия и среза;

, -допускаемые напряжения смятия и среза.

Задача 7 решается в соответствии с указаниями, изложенными в [2, с. ].

Расчет прочности стыкового соединения выполняется по размерам сечения деталей в зоне сварного шва. Для полосы, сваренной встык и нагруженной осевой силой F , нормальные напряжения определяются по зависимости

Вычисленные напряжения не должны превышать допускаемых значений . При этом необходимо учитывать снижение прочности деталей, связанное со сваркой. Кроме того, допускаемые напряжения зависят от характера нагрузки, действующей на конструкцию, что оценивается коэффициентом R асимметрии цикла: