Электрическая цепь (стр. 2 )

(4.43)

В соответствии с уравнениями (4.43) можно принять, что каждый из токов I1, I2 и I3 замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 4.21, а и б), и назвать такие токи контурными: I1К=I1; I2К=I2; I3К=I3. Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r1 r5 и r4 разность ЭДС Е1—Е4 равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока I1К на всех сопротивлениях этого контура и от токов I2К и I3К соответственно на сопротивлениях r5 и r4. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

I4=I1К-I3К, I5=I1К-I2К, I6=I2К-I3К. (4.44)

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 4.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I2К, I3К и I4К замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам

I1=I3К+I4К, I5=I3К+I4К-I2К, I6=I2К-I3К.

Выражение для тока I5 получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S5, след которого показан на рис. 4.21, в штриховой линией.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Схема рис. 4.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей в на число узлов схемы без одного (у—1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 4.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: I4—I5—I6=0, или для контурных токов (I1К-I3К)-(I1К-I2К)-(I2К-I3К)=0.

Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 4.17. На основании второго закона Кирхгофа

. (4.45)

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I4, I5 и I6; в результате после группировки слагаемых получим

. (4.46)

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r5 и r4, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 4.21, а три ячейки с контурными токами I1К, I2К и I3К), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.

Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.

Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (4.43), запишутся в виде

(4.48)

В этих уравнениях сопротивление вида rll (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида rlk=rkl (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и k. Правые части уравнений (4.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е, равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (4.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде

(4.48а)

где обозначает собственное сопротивление контура l; rlj — общее сопротивление двух контуров: l и j; Jlj — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением rlj; — контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у—1<к, а методом контурных токов — при у-1>к.

7.

Для линейных схем справедлив принцип наложения, который состоит в следующем: ток любой ветви схемы может быть представлен как алгебраическая сумма составляющих, обусловленных действием каждого источника в отдельности. Это утверждение следует из линейности системы алгебраических уравнений, связывающей токи ветвей с величинами источников энергии. В самом деле, запишем систему линейных алгебраических уравнений метода контурных токов в матричном виде:

(5.1)

где: - квадратная матрица контурных сопротивлений, - вектор-столбец контурных токов, - вектор-столбец контурных э. д.с.

Решение системы (5.1) можно представить в виде:

(5.2)

где: - квадратная матрица, обратная к .

Пусть , тогда:

(5.3)

где: , - вектор-столбцы контурных токов, обусловленные вектор-столбцами контурных э. д.с.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая все остальные ЭДС источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления; т. е. отключение идеального источника э. д.с. закорачивание между точками ее соединения (E=0); отключение идеального источника тока - разрыв ветви, в которой он стоит (J=0). Ток ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой ЭДС. Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то следует найти составляющие токов ветвей, вызываемые каждым источником ЭДС и каждым источником тока, после чего определить токи ветвей путем алгебраического суммирования этих составляющих.

Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определять не только токи при заданных сопротивлениях, ЭДС и токах источников, но и напряжения при заданных токах и известных сопротивлениях. Однако этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощностей, так как мощность — квадратичная функция тока или напряжения. Например, мощность в сопротивлении r1 определяется по формуле

r1I12=r1(I1’+I1’’)2

Если мощность того же элемента с сопротивлением r1 можно было бы считать равной сумме мощностей, обусловленных частичными токами I1’ и I1’’, то получилось бы совсем другое значение:

r1I12=r1[(I1’)2+(I1’’)2]

8.

Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными, а двухполюсники, не содержащие источников электрической энергии, —пассивными.

В дальнейшем все активные двухполюсники (рис. 5.10, а) будем обозначать прямоугольниками с буквой А (активный), а пассивные (рис. 5.10, 6) — прямоугольниками с буквой П (пассивный).

Принцип эквивалентного генератора. Очень важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике, или теорема Гельмгольца — Тевенена). Он формулируется следующим образом: любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника. Применимость этого принципа к любой линейной электрической цепи доказывается на основании принципов компенсации и наложения.

Пусть в электрической цепи выделен активный двухполюсник и ветвь с сопротивлением r (рис. 5.14, а), которое может быть и изменяющимся. Применив принцип компенсации, получим эквивалентную схему (рис. 5.14,6), для которой

Е=U=rI. (5.19)

Теперь применим принцип наложения и составим две схемы с двумя частными режимами: в первой из них (рис. 5.14, в) действуют только источники внутри активного двухполюсника, а ЭДС, полученная по принципу компенсации, полагается равной нулю, а во второй (рис. 5.14, г) действует только ЭДС компенсации (5.19), а двухполюсник считается пассивным. Его входное сопротивление rВХ.

Ток в ветви с сопротивлением r по принципу наложения равен сумме частичных токов I=I'+I"=IК-U/rВХ, т. е. U=rВХ(IК-I).

В частности, в режиме холостого хода I=0 и U=UХ=rВХIК. Следовательно,

U=UХ-rВХI. (5.20)

Последнее уравнение соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д с ЭДС ЕЭК=UХ, выражающей сформулированный выше принцип. Согласно (5.20) ток

I=ЕЭК/(rВХ+r)=UХ/(rВХ+r). (5.21)

Если источник ЭДС преобразовать в источник тока, то схема эквивалентного генератора получится такой, как на рис. 5.14, е. Вольт-амперная или внешняя характеристика эквивалентного генератора по рис. 5.14, д или е показана на рис. 5.14, ж.

Следует заметить, что обе схемы эквивалентного генератора применимы только для расчета токов и напряжений в участке цепи, подключенном к рассматриваемому активному двухполюснику. Для мощностей, развиваемых источниками, и мощностей потерь внутри активного двухполюсника схемы замещения, полученные на основании принципа эквивалентного генератора, неадекватны.

Применение принципа эквивалентного генератора позволяет упростить решение многих задач, и поэтому его применение иногда относят к методам расчета, хотя он и носит более общий характер.

Применение принципа эквивалентного генератора весьма удобно при рассмотрении пассивного четырехполюсника, к одной паре выводов которого подключен источник ЭДС Е1, а к другой паре выводов — приемник с сопротивлением r (рис. 5.15, а). Такую схему со стороны выводов 1-1¢ можно рассматривать как пассивный двухполюсник с сопротивлением r1ВХ (рис. 5.15,6), а со стороны выводов 2-2' - как активный двухполюсник с входным сопротивлением r2ВХ и э. д.с. ЕЭК (рис. 5.15, в).

Если, например, пассивный четырехполюсник имеет схему, показанную на рис. 5.15, г, то параметры эквивалентной схемы

r1ВХ=r1+r3(r+r2)/(r3+r2+r); r2ВХ=r2+r1r3/(r1+r3); ЕЭК=Е1r3/(r1+r3)

Представление четырехполюсника в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 5.15, в, применяется при рассмотрении электронных схем. Для приемника с сопротивлениями r схемы рис. 5.15, а и в полностью эквивалентны. Однако если рассчитать мощность пассивного четырехполюсника (в сопротивлениях r1 r2 и r3) и мощность потерь в эквивалентной схеме (сопротивление r2ВХ), то эти мощности могут оказаться равными только в редких частных случаях.

Интересно сопоставить принцип эквивалентного генератора с принципом компенсации. И тот и другой дают возможность представить двухполюсник в виде эквивалентного источника, однако принцип компенсации приводит к идеальному источнику ЭДС (без внутреннего сопротивления), а принцип эквивалентного генератора — к реальному источнику (с внутренним сопротивлением rВХ). ЭДС источника, полученного на основании принципа компенсации, зависит от тока, а параметры источника, полученного на основании принципа эквивалентного генератора, не зависят от режима работы подключенного к активному двухполюснику участка цепи. Принцип компенсации применим как к линейным, так и к нелинейным цепям. Принцип эквивалентного генератора применим только к линейным цепям.

9.

Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д, и будем считать, что rВХ — входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и ЕЭК=UХ — эквивалентная ЭДС остаются постоянными, а r — входное сопротивление пассивного двухполюсника может принимать любое значение.

Прежде всего установим соотношение между сопротивлениями rВХ и r, при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна.

Мощность пассивного двухполюсника определяется выражениями

Р=ЕЭКI-rВХI2=UХI-rВХI2 (5.22)

Р=rI2, (5.23)

где ЕЭКI=UХI — мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником; rВХI2 — мощность потерь в этом двухполюснике (в сопротивлении rВХ).

Для определения тока I, при котором мощность Р максимальна, найдем производную от Р по I из уравнения (5.22) и приравняем ее нулю:

dР/dI=UХ-2rВХI=0,

откуда искомый ток I=UХ/(2rВХ) [уравнением (5.23) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные: r и I].

В общем случае (рис. 5.14, д) ток I=UХ/(rВХ+r). Значит, мощность максимальна при

r=rВХ, (2.24)

т. е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников.

По (5.23) при r=rВХ мощность

PМАКС=UХ2/(4rВХ).

Отношение мощности Р пассивного двухполюсника к мощности РА=UХI, развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется КПД эквивалентного активного двухполюсника:

. (5.25)

Из (5.25) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника КПД равен 0,5. Более высокие значения КПД будут при r>rВХ.

КПД реального активного двухполюсника равен КПД эквивалентного только при выполнении определенного условия. Если при отключении пассивного двухполюсника от реального активного в ветвях последнего не будет токов и потерь, так же как и в эквивалентной схеме на рис. 5.14, д, то КПД реального и эквивалентного активных двухполюсников равны. При невыполнении этого условия КПД реального активного двухполюсника меньше КПД эквивалентного двухполюсника.

Полученные результаты применим, например, для характеристики режима линии передачи электрической энергии небольшой длины, у которой утечкой тока (между проводами) можно пренебречь.

Если в начале линии передачи напряжение U1 поддерживается неизменным (рис. 5.17, а), то линию можно представить в виде последовательного соединения активного двухполюсника с источником ЭДС ЕЭК=UХ=U1 (без внутреннего сопротивления), резистивного элемента, учитывающего сопротивление проводов rЛ, и пассивного двухполюсника — приемника с сопротивлением r (рис. 5.17, а). По (5.22) и (5.25) найдем мощность Р2 приемника и КПД линии передачи:

(2.26)

Мощность, развиваемая источником,

P1=U1I;

напряжение на выводах приемника

U2=U1-rЛI.

По полученным уравнениям на рис. 5.17,6 построены зависимости U2, P1 Р2 и h от тока I, полностью характеризующие режим линии.

При r=¥ (холостой ход линии) ток I=0 (на рис. 5.17, б — точка в начале координат), при r=rЛ ток определяется отрезком 0а и при r=0 (короткое замыкание линии) значение тока максимально и равно IК. Кроме того, при r=rЛ мощность Р1 определяемая отрезком ас, равна удвоенной мощности приемника (ас=2аb=2bc), и КПД h=0,5.

Рис. 5.17

По эквивалентной схеме (рис. 5.17, а) установим еще связь между потерями в проводах линии (в сопротивлении rЛ) и мощностью приемника Р2:

, (2.27)

где l — длина линии; S — сечение каждого провода.

Из (2.27), в частности, следует, что при Р2 =const с повышением напряжения U2 требуется меньшее значение тока I и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что в свою очередь позволяет уменьшить сечение проводов. Конечно, при этом надо усилить изоляцию проводов линии.

В случае передачи по линии электрической энергии при большой мощности стремятся получить возможно больший КПД, для чего необходимо, как непосредственно следует из (5.26), иметь rЛ<<r. При передаче сигналов по линии связи стремятся получить максимальную мощность в приемнике, что приводит к низкому значению КПД.

10.

Пользуясь методом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей — свойство взаимности, или, как его еще называют, принцип взаимности.

Сущность этого свойства заключается в следующем. Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник ЭДС Еq действует в ветви с сопротивлением rq в направлении от точки b к точке a (рис. 5.3, а) и создает в ветви с сопротивлением rl ток Il направленный от точки d к точке с. Такой же единственный источник ЭДС Еl=Еq, включенный в ветвь с сопротивлением rl и действующий в направлении от d к с (рис. 5.3,б), создаст в ветви с сопротивлением rq ток Iq, направленный от b к a и равный току Il.

На рис. 5.3 изображены ветви ab и cd с сопротивлениями rq и rl, а остальная часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная).

Для доказательства свойства взаимности запишем систему линейных алгебраических уравнений метода контурных токов:

(5.4)

Здесь ветвь cd является частью контура l, а ветвь ab входит в состав другого контура q (рис. 5.3, а), и, как указано, других источников, кроме источника ЭДС Еq, эта цепь не содержит. Контуры выбраны так, чтобы ветви ab и cd вошли каждая в один контур, соответственно q и l.

Ток в контуре l, равный току ветви dc,

, (5.5)

где: D(K) - определитель системы уравнений (5.4), Dlq - его алгебраическое дополнение, которое получается вычеркиванием из D(K) l-го столбца и q-й строки и умножением полученного определителя на (-1)l+q.

Если источник ЭДС Еq переставить в ветвь cd контура l (рис. 5.3, б) то в правой части системы (5.4) в q-й строке будет 0, а в l-й строке будет Еq. Тогда ток Iq в контуре q, т. е. ток в ветви ab,

, (5.6)

В отличии от Dlq, алгебраическое дополнение вида Dql получается из определителя D(K) вычеркиванием столбца q и строки l и умножением получаемого определителя на (-1)l+q. Так как в контурных уравнениях общие сопротивления rlq, и rql равны друг другу, то и Dlq=Dql (отличаются только тем, что строки Dlq являются столбцами Dql, и наоборот). Следовательно, при равенстве ЭДС Еl=Еq токи в ветвях cd (рис. 5.3,а) и ab (рис. 5.3,б) равны друг другу.

Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов.

Принцип компенсации. В уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, напряжение на любом сопротивлении Ui=riIi можно всегда из левой стороны перенести в правую со знаком минус и рассматривать как эквивалентную ЭДС Еi=Ui, направленную противоположно току в ветви i. Это положение носит название принципа компенсации. Его иллюстрируют рис. 5.4, а и б, на которых прямоугольником с буквой А (активный) обозначены все участки цепи, кроме элемента с сопротивлением ri. Очевидно, что обе схемы эквивалентны, если Еi=riIi, при этом следует иметь в виду, что эквивалентная ЭДС Еi прямо пропорциональна току Ii в ветви (закон Ома), т. е. зависит от тока. Таким образом, источник ЭДС, которым можно заменить любой резистивный элемент цепи, соответствует простейшему идеальному зависимому источнику, ЭДС которого зависит от тока по известному закону. Понятие о зависимом источнике широко применяется при анализе как линейных, так и нелинейных цепей. Сопротивление ri может быть и входным сопротивлением любого пассивного двухполюсника (см. ниже).

Любую ветвь с известным током Ii можно заменить источником тока Ji=Ii, при этом режим цепи не изменится.

11.

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени.

Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают строчной (малой) буквой i. Для одного из двух возможных направлений тока через поперечное сечение проводника мгновенное значение тока i считают положительным, а для противоположного направления — отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называют положительным направлением тока. Ток определен, если известна его зависимость от времени i=F(t) и указано положительное направление тока.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока

i=F(t)=F(t+Т).

Величина, обратная периоду, называется частотой f=1/Т. Частота измеряется в герцах. Частота равна 1 Гц, если период равен 1 с, т. е. 1 Гц=1 с-1.

Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т. е. частота равна нулю.

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

, (6.1)

где Im — максимальное значение или амплитуда тока. Аргумент синуса называется фазой. Угол y равен фазе в начальный момент времени (t=0) и поэтому называется начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2p весь цикл изменения тока повторяется. Поэтому, когда говорят о фазе для какого-либо момента времени, обычно отбрасывают целое число 2p так, чтобы значение фазы находилось в пределах ±p или в пределах от 0 до 2p. В течение периода Т фаза увеличивается на 2p. Величина 2p/Т показывает скорость изменения фазы и обозначается буквой w. Принимая во внимание, что f=1/T, можно написать

w=2p/Т=2pf. (6.2)

Это выражение, связывающее w и f, послужило основанием называть w угловой частотой. Измеряется w числом радианов, на которое увеличивается фаза в секунду. Так, например, при f=50 Гц имеем w»314 рад/с. Введя в (6.1) обозначение со для угловой частоты, получим

i=Imsin(wt+y).

Для суждения о периодическом токе вводится понятие о среднем квадратичном значении тока за период, которое называется действующим значением тока, или, короче, действующим током:

(6.3)

За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением r выделяется тепловая энергия:

Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, как и при переменном.

Установим связь между действующим значением и амплитудой Im синусоидального тока:

Следовательно,

. (6.4)

12.

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.

Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:

v=Vmsin(wt+y).

Возьмем прямоугольную систему осей МОN (рис. 6.4). Расположим под углом y относительно горизонтальной оси ОМ вектор Vm, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm (положительные углы y откладываются против, а отрицательные — по часовой стрелке). Представим себе, что вектор Vm с момента t=0 начинает вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте w. В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол wt+y. Его проекция на ось N¢N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v.

Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N¢N можно получить и другим путем, оставляя вектор Vm неподвижным и вращая, начиная с момента t=0, ось N¢N по часовой стрелке с угловой скоростью w. В этом случае вращающуюся ось N¢N называют линией времени.

Таким образом, между мгновенным значением v и вектором Vm можно установить однозначную связь. На этом основании вектор Vm называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени, или, кратко, вектором величины v. Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

Если считать оси ММ' и NN¢ осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор Vm соответствует комплексному числу, модуль которого равен Vm и аргумент — углу y. Это комплексное число Vm называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.

Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

, (6.5)

где .

Если вектор Vm, начиная с момента времени t=0, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью w, то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:

.

Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.

Таким образом, величина v и ее изображение — комплексная амплитуда — однозначно связаны следующим равенством:

, (6.6)

где символ Im обозначает, мнимую часть комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.

Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером .

13.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения, или, короче, просто схемой (математической моделью), составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений.

К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся резистивный элемент с сопротивлением г, или, короче, сопротивление r, индуктивный элемент с индуктивностью L, или, короче, индуктивность L, и емкостный элемент с емкостью С, или, короче, емкость С. Их условные обозначения на схемах показаны на рис. 6.6, а — в.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между индуктивными элементами (рис. 6.6, г). Т. о., взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

Здесь рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности, емкости и взаимные индуктивности которых не зависят от токов и напряжений.

В резистивном элементе с сопротивлением г электромагнитная энергия преобразуется в тепло при мощности преобразования ri2. Резистивные элементы вводят в схему также и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии. Напряжение между выводами резистивного элемента и ток в элементе (рис. 6.6, а) связаны законом Ома:

ur=ri. (6.8)

Индуктивный элемент схемы с индуктивностью L (рис. 6.6, б) учитывает энергию Li2/2 магнитного поля и явление самоиндукции. При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции eL. По закону Ленца она препятствует изменению тока:

uL=‑eL=Ldi/dt, (6.9)

Емкостный элемент схемы с емкостью С (рис. 6.6, в) учитывает энергию СuC2/2 электрического поля. Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах:

i=dq/dt=CduC/dt, (6.10а)

или

. (6.10б)

Схема зависит от частоты переменного тока. Так, при достаточно низкой частоте резистор может быть представлен сопротивлением, индуктивная катушка — последовательным соединением индуктивности и сопротивления, а конденсатор при хорошей изоляции между электродами — емкостью. С ростом частоты, как будет показано в следующих параграфах, увеличиваются ЭДС, обусловленные индуктивностями, и токи, обусловленные емкостями. Поэтому при высоких частотах приходится учитывать индуктивность проволочных резисторов и межвитковую емкость катушек. Кроме того, с увеличением частоты растут потери в изоляции конденсаторов. Для учета всех этих явлений приходится резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы заменять более сложными схемами. При высоких частотах приходится также учитывать емкости между проводами, соединяющими различные элементы реальной электрической цепи, и вводить их в схему.

Если схема получается с ограниченным (конечным) числом элементов, то говорят, что реальная цепь рассматривается как цепь с сосредоточенными параметрами. Если же приходится пользоваться схемой, содержащей неограниченно большое (бесконечное) число элементов, говорят, что цепь рассматривается как цепь с распределенными параметрами.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам цепей переменного тока законов Кирхгофа. На проводах и в узлах схемы не могут накапливаться заряды (единственными накопителями зарядов являются емкостные элементы). Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:

. (6.11а)

Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками А и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 6.7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения. Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути АтВ, от второго вольтметра — по пути АпВ.