Электрическая цепь (стр. 1 )

1. 2

2. 6

3. 9

4. 11

5. 14

6. 20

7. 23

8. 24

9. 27

10. 29

11. 31

12. 32

14. 33

15. 37

16. 39

17. 41

18. 45

19. 47

20. 50

21. 53

1.

Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, предназначенных для распределения, взаимного преобразования и передачи электрической и других видов энергии и (или) информации. Свое назначение цепь выполняет при наличии в ней электрического тока.

Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи.

Различают активные и пассивные элементы цепи. К пассивным относят элементы, в которых рассеивается и (или) накапливается энергия (резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы, трансформаторы).

Различают двухполюсные и многополюсные (трехполюсные, четырехполюсные и т. д.) элементы цепи. Двухполюсные элементы имеют два зажима; к ним относятся источники энергии (за исключением многофазных и управляемых источников), резисторы, конденсаторы, индуктивные катушки.

Основными двухполюсными пассивными элементами схемы являются резистивный (сопротивление или проводимость), индуктивный и ёмкостный элементы.

Резистивный элемент. Двухполюсный элемент, характеризуемый зависимостью и=и(i) или i(u), называют резистивным элементом — сопротивлением или проводимостью

Если зависимость u=u(i) представляет собой прямую линию, то сопротивление (проводимость) называют линейным. Линейное сопротивление описывается соотношением (закон Ома):

и=ri,

или

i=gu,

где r — сопротивление; g=1/r — проводимость,

Сопротивление r>0 — пассивный элемент. Энергия, поступающая в данный элемент,

.

Эта энергия преобразуется в тепловую энергию (необратимо рассеивается). При этом мощность p=i2r (закон Джоуля — Ленца).

Сопротивление r как элемент схемы соответствует элементу цепи — резистору, если последний идеализируется.

Резистор представляет собой, например, проводящий однородный цилиндр длиной l и поперечным сечением S (рис. 1.9). Проводящие свойства материала цилиндра характеризуют удельной проводимостью s. Сопротивление и проводимость цилиндра равны, соответственно:

r=l/(sS), g=sS/l

Индуктивный элемент. Индуктивная катушка часто представляет собой кольцевой сердечник, на который равномерно нанесена обмотка с числом витков w (рис. 1.12); материал сердечника характеризуется магнитной проницаемостью m. Ток i в обмотке создает магнитный поток Ф, замыкающийся в сердечнике (потоком вне сердечника можно пренебречь). Направления тока i и потока Ф связаны правилом правого винта.

Потокосцепление катушки Y=wФ, так как поток, сцепленный с каждым витком обмотки, в этом случае можно считать одинаковым. Магнитный поток

где — вектор магнитной индукции; S — сечение сердечника. В однородной линейной среде вектор

,

где — вектор напряженности магнитного поля; m0=4л×10-7 Гн/м — магнитная постоянная.

По закону полного тока,

,

где l — замкнутый путь интегрирования.

Если внутренний и внешний диаметры сердечника превышают размеры поперечного сечения S, то поток Ф можно считать равномерно распределенным по сечению. В этом случае потокосцепление равно

где l определяется по среднему диаметру (по средней силовой линии).

Величина L=Y/i называется индуктивностью, она измеряется в генри (Гн). В нашем случае:

L=m0mw2S/l

Напряжение на зажимах индуктивности равно:

Если индуктивность постоянна, то:

Ток в линейной индуктивности равен:

.

Как видно из формулы, напряжение ul на зажимах индуктивности отлично от нуля только при i¹const (Y¹const). Изменяющийся ток i создает изменяющийся магнитный поток. По закону электромагнитной индукции, изменение магнитного потока вызывает э. д. с. (называемую э. д. с. самоиндукции), противодействующую, согласно правилу Ленца, изменению потока:

или в случае линейной индуктивности

(положительные направления eL и i совпадают).

Если потокосцепление (ток) возрастает, то eL<0; если потокосцепление (ток) убывает, eL>0. Напряжение на зажимах катушки (положительные направления uL и i совпадают) uL=‑eL, так как оно должно уравновешивать э. д. с. eL.

Линейная индуктивность при L=const>0 - пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент, равна:

,

при условии i(0)=0.

Индуктивный элемент не рассеивает энергию, а запасает в своем магнитном поле.

Емкостной элемент. Рассмотрим конденсатор, представляющий собой два проводящих параллельно расположенных электрода площадью S, разделенных диэлектрическим слоем толщиной d, свойства которого характеризуются диэлектрической проницаемостью e (рис. 1.15).

При напряжении u=j1-j2>0 между электродами на одном из них будет положительный заряд q+=q, на другом — отрицательный заряд q-=-q. Заряд

,

где — вектор электрического смещения, связанный в однородной линейной среде с вектором напряженности равенством

(e0=1/(4p×9×109) Ф/м — электрическая постоянная).

Если поле в конденсаторе считают равномерным, то

Величина С=q/uC называется емкостью. Емкость измеряется в фарадах (Ф). В нашем случае:

У линейного емкостного элемента заряд q пропорционален напряжению:

q=CuC

Ток через емкость

Если С=const, то

(1.9)

Напряжение на зажимах емкости

Обозначение линейной емкости приведено на рис. 1.14.

Как видно из равенства, ток через емкость отличен от нуля только при иС³const. Изменение напряжения на электродах вызывает изменение величины заряда каждого из них. Если напряжение возрастает, ток i>0, т. е. конденсатор заряжается; заряд q=q+=-q - увеличивается. Если напряжение убывает, ток i<0, т. е. конденсатор разряжается; заряд q=q+=-q- уменьшается.

Формула записана для совпадающих положительных направлений иС и i (рис. 1.14 и 1.15); при этом знаки иС и q+=-q- всегда одинаковы. Ток i между электродами конденсатора является током смещения.

Линейная емкость при С=const>0 представляет собой пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент,

[при иС(0)=0].

В данном случае энергия запасается в электрическом поле, связанном с емкостью.

Процесс запасания энергии как в магнитном, так и в электрическом полях является обратимым. Запасенная энергия может быть отдана другим элементам цепи. Например, энергия заряженного конденсатора при разряде его на сопротивление рассеивается в этом сопротивлении; разряжающийся конденсатор можно рассматривать в указанном смысле как активный элемент — источник энергии.

2.

Активный двухполюсник генерирует энергию. Для такого двухполюсника W(t)<0.

Интеграл

будет определять генерируемую энергию. В этом случае W(t)>0 соответствует источнику (активному двухполюснику), a W(t)£0 — потребителю энергии (пассивному двухполюснику).

Реальным источникам энергии можно поставить в соответствие двухполюсные схемные элементы: источник э. д. с. (напряжения) и источник тока.

Источник э. д. с. Источник э. д. с. (напряжения) характеризуется величиной э. д. с. е(t), равной напряжению, т. е. разности потенциалов на зажимах при отсутствии тока через источник. Э. д. с. определяют как работу сторонних сил, присущих источнику, на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.

Напряжение и(t) на зажимах реального источника э. д. с. зависит от тока через источник. Если этой зависимостью можно пренебречь, т. е. если напряжение на зажимах источника равно э. д. с. при любом токе через источник и(t)=е(t), то источник э. д. с. называют идеальным.

Источник, у которого э. д. с.

е(t)=E=const,

называют источником постоянной э. д. с. В противном случае источник называют источником переменной э. д. с.

Зависимость напряжения и на зажимах реального источника от тока i через источник может быть различной, В простейшем случае у источника постоянной э. д. с. эта зависимость выражается уравнением

и=E-rВi.

Уравнению соответствует схема замещения источника на рис. 1.3. В этой схеме элемент rВ последовательно соединенный с идеальным источником э. д. с. E, называют внутренним сопротивлением источника и характеризуют соотношением иВ=rВi.

Таким образом, в уравнении учитывается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника: напряжение и на зажимах реального источника меньше э. д. с. на величину падения напряжения во внутреннем сопротивлении. Идеальный источник э. д. с. имеет rВ=0.

График зависимости показан на рис. 1.4, а. Ток

iКЗ=E/rВ

— это ток короткого замыкания источника, т. е. ток при напряжении на зажимах и=0.

Зависимости и(i) для реальных источников, называемые внешними характеристиками, отличаются от линейной зависимости на рис. 1.4, а. Пример внешней характеристики реального источника постоянной э. д. с. дан на рис. 1.4, б; в определенном диапазоне изменения тока эта характеристика близка к линейной и описывается уравнением.

У источников переменной э. д. с. с напряжением и(t) напряжение во внутреннем сопротивлении в некоторых случаях определяют как иВ=rВi. Тогда схема замещения источника аналогична схеме на рис. 1.3.

Источник тока. В отличие от источника э. д. с. источник тока характеризуется током i(t) при короткозамкнутых зажимах, (при отсутствии напряжения на зажимах источника). Если ток источника не зависит от напряжения, т. е. i(t)=J(t) для любых напряжений на зажимах, то источник тока называют идеальным. Обозначение идеального источника тока приведено на рис. 1.5.

Двойная стрелка с разрывом в кружке показывает положительное направление тока источника тока.

Если J(t)=const, то источник называют источником постоянного ток а; в противном случае — источником переменного тока.

Ток i реального источника энергии зависит от напряжения и на его зажимах. Так, из уравнения:

i=(E/rВ)-(и/rВ)=J-gВи

где J=E/rВ, gB=1/rВ — внутренняя проводимость.

Уравнению (1.2) соответствует схема замещения на рис. 1.6. В этой схеме элемент gB, параллельно соединенный с идеальным источником J, называют внутренней проводимостью и характеризуют соотношением iB=gBu.

Идеальный источник тока имеет gB=0.

Схема замещения реальных источников переменного тока в ряде случаев может быть представлена схемой, аналогичной схеме на рис. 1.6.

Зависимость и(i) или i(и) называют вольт-амперной характеристикой элемента (Все характеристики, рассматриваемые в данном параграфе, представляют собой статические характеристики, т. е. характеристики, полученные при достаточно медленном изменении во времени соответствующих величин.).

В общем случае вольт-амперная характеристика нелинейна. Например, на рис. 1.7, а, б показаны две нелинейные характеристики, которые могут иметь реальные элементы — полупроводниковые диоды различных типов. Элементы с нелинейными зависимостями и(i) или i(и) характеризуются нелинейными сопротивлениями или проводимостями.

3.

В схеме выделяют ветви — участки, которые характеризуются одним и тем же током в начале и конце в любой момент времени, и узлы — граничные (концевые) точки ветвей. Напряжение ветви тождественно разности потенциалов ее узлов.

Цепи, содержащие источники энергии, резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы, могут быть представлены схемами замещения, состоящими из источников э. д.с., тока и элементов r, L, С. В схеме с сосредоточенными параметрами необратимые потери энергии происходят только в сопротивлениях, магнитное поле связано только с индуктивностями, ток смещения, обусловленный изменяющимся электрическим полем, имеет место только в емкостях.

Основные уравнения для цепей с сосредоточенными параметрами вытекают из известных физических законов — принципа непрерывности полного тока и закона электромагнитной индукции.

Из принципа непрерывности полного тока следует:

(1.12)

где ik — ток k-го проводника, присоединенного к рассматриваемому узлу.

Уравнение (1.12) называют первым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают токи, направленные от узла (к узлу).

Для узла на рис. 1.17 уравнение по первому закону Кирхгофа записывается следующим образом:

i1-i2+i3-i4=0.

Если в уравнении (1.12) токи источников тока перенести в правую часть, то получается

, (1.13)

где — алгебраическая сумма токов источников тока; — алгебраическая сумма токов других ветвей (элементов). В уравнении (1.13) с положительным (отрицательным) знаком записывают ток источника Jk, направленный к узлу (от узла), и ток ik, направленный от узла (к узлу).

Например, если ток i4 представляет собой ток источника тока, т. е. i4=J4 (рис. 1.17), то в соответствии с равенством (1.13)

i1-i2+i3=J4.

Из закона электромагнитной индукции следует:

(1.16)

Уравнение (1.16) называют вторым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) направлению обхода контура.

На рис. 1.18 показан пример контура цепи; путь интегрирования 1-а-2-3-б-4-1 содержит зажимы элементов. Для выбранного пути интеграл в равенстве (1.15) разбивается на четыре слагаемых:

-u1+u2-u3+u4=0,

где

u1=j2-j1; u2=j2-j3; u3=j4-j3; u4=j4-j1.

Если напряжения источников перенести в правую часть равенства (1.16) и заменить на э. д. с., то второму закону Кирхгофа соответствует уравнение

, (1.17)

которое выражает равенство алгебраических сумм напряжений на пассивных элементах и э. д. с. контура. В уравнении (1.17) с положительным (отрицательным) знаком записывают напряжения и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура.

Например, для контура на рис. 1.18 по второму закону Кирхгофа записывают (выбирая направление обхода по часовой стрелке совпадающим с направлением э. д. с. e1)

u2-u3+u4=e1

Уравнения (1.12), (1.16) или (1.13) и (1.17) совместно с соотношениями (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.9), (1.10), связывающими напряжения и токи каждого элемента, дают полное математическое описание цепи.

4.

Резистивные элементы всегда принимают энергию от активных элементов, их мощность всегда положительна. В резистивных элементах ток и напряжение всегда направлены в одну сторону (рис. 3.1. а)).

Источники электрической энергии могут как отдавать энергию, так и принимать ее от других источников. В первом случае их мощность положительна, во втором - отрицательна.

1. Источники э. д.с. Положительным направлением тока источника э. д.с. будем считать направление, совпадающее с направлением самой э. д.с., оно противоположно напряжению на э. д.с., тогда источник отдает энергию и его мощность положительна (рис. 3.1. б)). Отрицательное направление тока э. д.с. противоположно направлению э. д.с., тогда источник принимает энергию и его мощность отрицательна.

2. Источники тока. Направление напряжения на источнике тока, противоположное направлению его тока будем считать положительным, тогда источник отдает энергию и его мощность положительна (рис. 3.1. в)). Направление напряжения на источнике тока, совпадающее с направлением его тока будем считать отрицательным, тогда источник принимает энергию и его мощность отрицательна.

Баланс мощностей:

Алгебраическая сумма мощностей источников энергии равна сумме мощностей потребителей энергии.

E1I1+E2I2+...+EkIk+U1J1+U2J2+...+UlJl=I12R1+I22R2+...+Im2Rm. (3.1)

где: I1,I2,...,Ik - токи всех источников э. д.с.; U1,U2,...,Ul - напряжения на всех источниках тока; I1,I2,...,Im - токи всех резисторов.

Делитель токов

Рассмотрим соединение двух параллельных резистивных ветвей с источником тока (рис. 3.4.)

Пусть заданы значения тока J, сопротивлений R1, R2. Найти токи резисторов I1, I2.

Проводимости ветвей равны соответственно:

g1=1/R1, g2=1/R2.

Общая проводимость параллельных ветвей:

g=g1+g2.

По закону Ома:

U=J/g=J/(g1+g2).

Ток первой ветви равен:

I1=Ug1=Jg1/(g1+gа)

Аналогично, ток второй ветви равен:

I2=Ug2=Jg2/(g1+gб)

Выразим эти же величины через сопротивления R1, R2.

Общее сопротивление параллельных ветвей:

R=R1R2/(R1+R2).

По закону Ома:

U=JR=JR1R2/(R1+R2).

Ток первой ветви равен:

I1=U/R1=1/R1´JR1R2/(R1+R2)=JR2/(R1+Rа)

Аналогично, ток второй ветви равен:

I2=U/R2=1/R2´JR1R2/(R1+R2)=JR1/(R1+Rб)

Делитель напряжений

Рассмотрим соединение двух последовательных резистивных ветвей с источником напряжения (рис. 3.5.)

Пусть заданы значения э. д.с. E, сопротивлений R1, R2. Найти напряжения на резисторах U1, U2.

Проводимости ветвей равны соответственно:

g1=1/R1, g2=1/R2.

Общая проводимость последовательных ветвей:

g=g1g2/(g1+g2).

По закону Ома:

I=Eg=Eg1g2/(g1+g2).

Напряжение первой ветви равно:

U1=I/g1=1/g1´Eg1g2/(g1+g2)=Eg2/(g1+gа)

Аналогично, напряжение второй ветви равно:

U2=I/g2=1/g2´Eg1g2/(g1+g2)=Eg1/(g1+gб)

Выразим эти же величины через сопротивления R1, R2.

Общее сопротивление последовательных ветвей:

R=R1+R2.

По закону Ома:

I=E/R=E/(R1+R2).

Напряжение первой ветви равно:

U1=IR1=R1´E/(R1+R2)=ER1/(R1+Rа)

Аналогично, напряжение второй ветви равно:

U2=IR2=R2´E/(R1+R2)=ER2/(R1+Rб)

5.

Режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех В ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 4.16.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е. j3=0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов

(4.28)

Токи в ветвях согласно закону Ома

(4.29)

где j1 и j2 — потенциалы узлов 1 и 2.

После подстановки (4.29) в (4.28) и группировки членов получим

или

(4.30)

В этих уравнениях g11=g6+g5+g4+g1; g22= g6+g5+g2+g3 - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; g12=g21=g5+g6 - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (4.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.

Уравнения (4.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 4.16, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла.

Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения

(4.31)

Принимая, как и раньше, j3=0, напишем выражения для токов ветвей:

для узла 1

(4.32а)

для узла 2

(4.326)

После подстановки (4.32) в (4.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (4.30).

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (4.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными — от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 4.17, при j4=0 получим соответственно следующие уравнения :

где

и

Если электрическая схема имеет в своем составе у узлов (у — любое целое число), а потенциал, например, у-го узла принят равным нулю, то для определения у—1 потенциалов остальных узлов получается у—1 уравнений:

(4.33)

или в более общей форме для любого узла p при jу=0

(4.33а)

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (4.30), проводимость gpp (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу p, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость gjp=gpj с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и p, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ветви ЭДС Epj на проводимость этой ветви g’pj для всех ветвей, присоединенных к узлу p, ток Jp равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, правая часть уравнений (4.33) ток Jp(y) — узловой ток — равен алгебраической сумме — и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу p, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида gpp и gjp не входят.

Решив уравнения (4.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома.

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (4.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.

Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 4.18, а), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 4.18, а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 4.18,6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (4.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 4.18,6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r=0 (рис. 4.18, а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 4.18, а) j4=0, то потенциал j2 узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов j1 и j3 нужно составить уравнения (4.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 4.18,6). Перенос приходится делать, идеальные ЭДС включены в ветви, не имеющие общего узла.

Полезно еще рассмотреть применение уравнений (4.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено т ветвей (рис. 4.19). Найдем напряжение U12, записав уравнение (4.33) для первого узла

,

откуда

(4.34)

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числи, причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

Пример. На рис. 4.20, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е1=6 В, Е2=12 В, Е3=18 В; сопротивления ветвей: r1=r2=r3=2 Ом и r4=r5=r6=6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

Решение. Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами j1 j2 и j3:

или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС

Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: j1=‑9 В; j2=3 В; j3=6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 4.20)

6.

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь к=(в—у+1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь в, как и ранее, — число ветвей и у — число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.

Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 4.21,а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.

При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 4.21, а ветви с токами I4, I5 и I6, соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 4.21,6); поэтому ветви с токами I1, I2 и I3 будут ветвями связи. На рис. 4.21,6 элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ветвей связи — штриховыми.

Для схем на рис. 4.21, а и б по первому закону Кирхгофа

I1-I4-I3=0, I5+I2-I1=0, I6+I3-I2 =0. (4.41)

На основании второго закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи,

. (4.42)

Пользуясь уравнениями (4.41), исключим из уравнений (4.42) токи I4, I5 и I6 всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим