Электрическая цепь (стр. 3 )

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура АпВтА равно ЭДС, индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:

uAnBmA=e=‑dF/dt.

Заметим, что знак минус перед dF/dt ставится в том случае, если положительное направление магнитного потока и положительное направление ЭДС (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано от читателя за плоскость чертежа. Напряжение

uAnBmA=uAn+uBmA=uAnB‑uAmB.

Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим

uAnB‑uAmB=e=‑dF/dt.

алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:

, (6.11б)

или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Выберем произвольный узел т из общего числа У. Ток в k-й ветви, соединяющей узел т с другими узлами, обозначим ik. По первому закону Кирхгофа (6.11а) для каждого т-го узла

.

Составим такие же равенства для всех У узлов и найдем их сумму:

.

В это тождество ток ветви ik входит 2 раза и с разными знаками (ток ветви направлен от одного из узлов к другому). Поэтому тождество, которое называется теоремой Телледжена, можно записать и так:

, (6.12)

где un — напряжение или разность потенциалов между узлами той из В ветвей, ток в которой in.

Произведение unin=pn — это мгновенная мощность n-й ветви, и из тождества (6.12) следует баланс мощностей: суммарная мгновенная мощность всех ветвей равна нулю (закон сохранения энергии).

Так как теорема Телледжена получена из законов Кирхгофа, то она справедлива для каждого момента любого режима (установившегося и неустановившегося) и любых цепей [линейных, параметрических, нелинейных].

Здесь рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными ЭДС. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты ЭДС всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем.

Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех коммутаций (переключений) в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальные и изменяются с той же частотой, что и ЭДС источников энергии.

Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.

После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и ЭДС:

алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных напряжении на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю, или, иначе, алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Ur+UL+UC=U. (6.22)

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (6.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим

rI+jwLI+I/(jwС)=U

или

U={r+j[wL‑1/(wС)]}I. (6.23а)

Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим

, (6.236)

где

. (6.23в)

Так как и , то .

Таким образом, амплитуда Um и начальная фаза yu напряжения на выводах контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

u=Umsin(wt+yi+j). (6.24)

В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

14.

Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток

i=Imsin(wt+yi).

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании второго закона Кирхгофа

ur+uL+uC=u, (6.13)

где

ur=ri=rImsin(wt+yi); (6.14)

uL=Ldi/dt=wLImcos(wt+yi)=wLImsin(wt+yi+p/2); (6.15)

. (6.16)

Постоянная интегрирования в выражении для uC принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для ur, uL, и uC видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол p/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2.

На рис. 6.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности wLIm больше амплитуды напряжения на емкости Im/wС и yi>0. Синусоида ur совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды uL, и uC сдвинуты относительно синусоиды тока на угол p/2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол p (находятся в противофазе).

Ординаты кривой напряжения

u=Umsin(wt+yu)

согласно (6.13) равны алгебраической сумме ординат кривых ur, uL, и uC.

Определение напряжения u сводится к вычислению амплитуды Um и начальной фазы yu, которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени ur, uL, и uC с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.

Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

; (6.17)

; (6.18)

; (6.19)

; (6.20)

. (6.21)

В выражениях для UL. и UC учтено, что

ejp/2=cos(p/2)+jsin(p/2)=j, e‑jp/2=cos(‑p/2)+jsin(‑p/2)=‑j=1/j.

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений uL, и uC (6.15), (6.16) с комплексными напряжениями UL и UC (6.19), (6.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на jw а интегрирование — делением на jw.

Сумме синусоидальных напряжений (6.13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:

Ur+UL+UC=U. (6.22)

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 6.10). Напряжение ur совпадает по фазе с током i, поэтому вектор Ur направлен одинаково с вектором I. Напряжение uL опережает по фазе i на p/2, поэтому вектор UL сдвинут относительно вектора I на угол p/2 вперед (против часовой стрелки). Напряжение uC отстает по фазе от i на p/2, поэтому вектор UC сдвинут относительно вектора I на угол p/2 назад (по часовой стрелке).

Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений Ur, UL, UC. Вектор Ur (6.18) получается умножением I на действительную величину r. Аргумент комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора Ur совпадает с направлением вектора I. Вектор UL (6.19) получается умножением I на jwL. Умножение тока I на действительную величину wL не изменяет аргумента, а умножение на j=еjp/2 увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UL повернут относительно вектора I на угол p/2 «вперед». Вектор UC (6.20) получается делением I на jwС. Деление комплексной величины на wС не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на ‑j=е-jp/2, уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UC повернут относительно вектора I на угол p/2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j называют оператором поворота на p/2.

Сложив векторы Ur, UL и UC, получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей — начальную фазу yu.

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

Z=U/I=Um/Im=zejj=zÐj, (6.25а)

где z=U/I=Um/Im — отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е. j=yu—yi. Комплексное сопротивление можно представить в виде

Z=zejj=zcosj+jzsinj=r+jx, (6.256)

где r=zcosj — действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением; x=zsinj — значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением.

Очевидно, что

. (6.26)

Из (6.23а) следует, что для последовательного контура (см. рис. 6.8) комплексное сопротивление

Z=r+jx=r+j[wL‑1/(wС)],

причем реактивное сопротивление

x=wL‑1/(wС)=xL-xC, (6.27)

где

xL=wL; xC=1/(wС)

называются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Из (6.15) и (6.19) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на индуктивности и тока:

ULm=wLIm; xL=wL=UL/I=ULm/Im.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока: uL=Ldi/dt.

Емкостное сопротивление, как следует из (6.16) и (6.20), связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на емкости и тока:

UCm=Im/(wС); xC=1/(wС)=UC/I=UCm/Im.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на емкостном элементе, а искомой величиной ток: i=dq/dt=CduC/dt. Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на емкостном элементе, и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в (6.27) для реактивного сопротивления х сопротивления xL и xC входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на p/2 и —p/2. Поэтому эти сопротивления входят в Z как r, jxL и —jxC.

Следует отметить, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими ‑ положительными, а реактивное сопротивление x=xL‑xC ‑ величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля.

Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление x равно индуктивному сопротивлению xL, а реактивное сопротивление x ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е. —xC.

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Zr=r; ZL=jwL; ZС =‑j/(wС).

Если ветвь содержит несколько последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементов, то при вычислении сопротивления и тока их можно заменить тремя элементами .

15.

Пусть к цепи, схема которой состоит из параллельного соединения элементов r, L и С (рис. 6.12), приложено напряжение u=Umsin(wt+yu).

Определим токи во всех ветвях. По первому закону Кирхгофа

ir+iL+iC=i,

или

Ir+IL+IC=I.

Вводя для заданного синусоидального напряжения изображающее его комплексное напряжение , применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме. В результате получим

Из полученных выражений видно, что ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол p/2, а ток в емкости опережает напряжение по фазе на угол p/2. Векторная диаграмма напряжения и токов при yu<0 и IL >IC показана на рис. 6.13.

Подставив выражения комплексных токов в уравнение первого закона Кирхгофа, найдем, что

U/r+U/(jwL)+jwСU=I

или

{1/r‑j[1/(jwL)‑wС]}U=I (6.29)

От значения аргумента комплексной величины в квадратных скобках, на которую умножается комплексное напряжение, зависит разность фаз напряжения и тока. Так как под разностью фаз понимается значение j=yu—yi и, следовательно, yi=yu—j, то аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначить — j:

(6.30)

где , или .

Из (6.30) следует, что

.

На основании этих данных

i=Imsin(wt+yu-j).

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

Y=I/U=1/Z=1/(zejj)=ye‑jj=yÐ‑j, (6.31а)

где y=1/z — величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью.

Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в виде

Y= ye‑jj=ycosj‑jysinj=g‑jb, (6.31б)

где g=ycosj — действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью; b=ysinj — значение мнимой части комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью;

. (6.32)

Из (6.30) и (6.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 6.12, комплексная проводимость

Y=1/r‑j[1/(wL)‑wC]=g‑j(bL‑bC),

где

g=1/r; bL=1/(wL)=1/xL; bC=wC=1/xС

и называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями.

Реактивная проводимость

b=bL‑bC. (6.33)

Индуктивная bL, и емкостная bC проводимости — арифметические величины, а реактивная проводимость b — алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости bL а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. —bC.

Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы рис. 6.12 на рис. 6.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно bL>bC, bL=bC и bL<bC. При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, поэтому j и yi, как это следует из (6.28), равны и противоположны по знаку (yi=—j).

16.

Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 6.15) связаны законом Ома

U=ZI и I=YI,

где Z и Y — входные комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника.

Входному комплексному сопротивлению Z=r+jx соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления x. Последнее в зависимости от знака следует рассматривать либо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16, а) сопротивление x показано условно прямоугольником.

Комплексная проводимость

, (6.34)

откуда

g=r/z2; b=x/z2; (6.35)

и, наоборот,

r=gz2=g/y2; x=bz2=b/y2. (3.36)

Из полученных соотношений видно, что b и x всегда имеют одинаковый знак.

Например, для схемы на рис. 6.8 получаем для g и b довольно сложные выражения, причем не только b, но и g зависят от частоты:

.

Наоборот, для схемы на рис. 6.12, состоящей из параллельного соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное активное сопротивление зависит от частоты. По (6.36)

.

Переход от сопротивления Z=r+jx к проводимости Y=g—jb и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением элементов r и jx эквивалентной схемой с параллельным соединением элементов g и —jb и обратно (рис. 6.16, а и б).

Напряжение U можно разложить на составляющие:

U=ZI=(r+jx)I=rI+jxI=Ua+Up

где Ua=rI — составляющая, совпадающая по фазе с током, называется активной составляющей напряжения; Up=jxI — составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол p/2, называется реактивной составляющей напряжения.

Составляющие Ua и Up можно рассматривать как напряжения на элементах r и x эквивалентной схемы.

На рис. 6.16,в представлена векторная диаграмма двухполюсника при j>0, т. е. если x — индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами U, Ua и Up со сторонами, пропорциональными z, r и |x|, называется треугольником напряжений. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, r и |x|, называется треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что

.

Входной комплексной проводимости Y=g—jb соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводимостей g и —jb. Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16,6) проводимость b, показана условно прямоугольником. Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие :

I=YU=(g—jb)U=gU—jbU=Ia+Ip

где Ia=gU — составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока Ip=—jbU, — составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол p/2, называется реактивной составляющей тока.

Составляющие Ia и Ip можно рассматривать как токи в элементах g и —jb эквивалентной схемы.

Треугольник, образованный векторами I, Ia и Ip, со сторонами, пропорциональными y, g, |b|, называется треугольником токов. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям y, g и |b |, называется треугольником проводимостей.

Из треугольника токов имеем

17.

Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 1)

Рис. 1. Последовательный контур.

Напомним принятые обозначения:

1. строчными буквами обозначаются мгновенные значения: u, i, uL, uC;

2. заглавными буквами обозначаются действующие значения: U, I, UL, UC;

3. подчеркнутыми заглавными буквами - комплексные действующие значения: U, I, UL, UC.

Входное сопротивление контура:

.

Комплексное действующее значение тока контура имеет вид:

,

отсюда получается действующее значение тока

.

Аналогичным образом получаются выражения для действующих значений напряжений на индуктивности (UL, UL) и на емкости (UC, UC).

;

.

Условием наступления резонанса напряжений является равенство нулю реактивной составляющей входного сопротивления контура:

.

При резонансе реактивные сопротивления индуктивности и емкости равны:

,

эта величина называется характеристическим сопротивлением контура.

Отношение характеристического сопротивления контура к его омическому сопротивлению называется добротностью контура:

.

Заметим, что при w=w0 отношение действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости к действующему значению входного напряжения равно добротности:

.

Преобразуем выражение для действующего значения тока контура, вынеся активное сопротивление R за знак радикала а характеристическое сопротивление r=w0L за скобки и учитывая определение Q:

.

Аналогичным образом получаем выражения для действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости:

.

Введя относительную частоту w*=w/w0, преобразуем полученные формулы к следующему виду:

Найдем точки максимумов этих трех кривых.

Очевидно, что при резонансной частоте полное входное сопротивление контура (z=|Z|) минимально и равно активному сопротивлению, тогда действующее значение тока максимально и равно:

Чтобы найти точки максимумов кривых UL(w) и UC(w) необходимо продифференцировать их по частоте, например:

приравняв к нулю числитель полученной дроби, уравнение для частоты максимума для действующего значения напряжения на индуктивности:

,

таким образом, частота максимума действующего значения напряжения на индуктивности равна:

.

Аналогично, частота максимума действующего значения напряжения на емкости равна:

.

Отметим, что: wL>w0, wC<w0, wLwC=w02. Если Q<1/Ö2, то wL и wC - мнимые, т. е. кривые UL(w) и UC(w) не имеют максимумов.

Рассмотрим зависимость I(w) (рис. 2). Полосой пропускания называется частотный диапазон w1£w£w2, в котором выполняется условие:

.

Уравнение для границ полосы пропускания имеет вид:

.

Это - уравнение четвертого порядка, два корня которого являются границами полосы пропускания и имеют вид (два других корня - отрицательные и не имеют физического смысла):

.

Легко видеть, что: w1w2=w02.

Рис. 2.

На рис. 2 представлены зависимости от нормированной частоты действующих значений (амплитуд): тока - сплошная линия, напряжения на емкости - штриховая линия, напряжения на индуктивности - пунктирная линия, а также разности фаз входного напряжения и тока (j=yu-yi) - штрих-пунктирная линия при добротности Q=2.

На рис. 3 представлены зависимости от нормированной частоты отношений действующих значений (амплитуд) тока к действующему значению (амплитуде) тока на резонансной частоте для различных значений добротности: при Q=0.5 - сплошная линия, при Q=1 - пунктирная линия, при Q=10 - штриховая линия. Из рисунка видно, что чем больше добротность, тем лучше избирательные свойства цепи: т. е. цепь лучше выделяет сигнал определенной частоты из суммы сигналов различных частот.

Рис. 3

18.

Рассмотрим параллельный контур (рис. 4).

Рис. 4

Вычислим входную проводимость схемы:

Резонанс наступает, когда реактивная часть входной проводимости становится равной нулю:

Вводя обозначения:

,

получим:

.

Резонанс возможен, если одновременно R1>r и R2>r или R1<r и R2<r, если R1<r, а R2>r или наоборот, то резонансная частота - мнимая, т. е. резонанс не наступает, если же R1=R2=r, то wР=0/0, т. е. резонанс наступает при любой частоте. Рассмотрим входное сопротивление контура в этом случае:

Т. о. входное сопротивление контура равно r и от w не зависит.

На рис. 5, а, б показаны векторные диаграммы резонанса в идеальном (R1=R2=0) и реальном контурах. Если R1=R2=0, то активная входная проводимость равна нулю, резонансная частота wР=w0, токи индуктивности и емкости равны и противоположны по фазе, входной ток равен нулю.

а) идеальный контур	б) реальный контур

Рис. 5.

19.

Условие резонанса b=0 или x=0 в разветвленной цепи с несколькими индуктивностями и емкостями дают для частоты w уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней, т. е. у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.

Пример.

Найдем входное сопротивление цепи, изображенной на рис. 6.

Рис. 6.

Если Z=0, наступает резонанс напряжений:

Входная проводимость этой цепи равна:

При Y=0 наступает резонанс токов:

.

Задача (4.88, Поливанов).

Для схемы рис. 7 даны L,C. При каком R входное сопротивление чисто активное на любой частоте?

Рис. 7.

Входное сопротивление равно:

Найдем величину R из условия равенства нулю мнимой части:

Т. о. получаем, что если активное сопротивление равно характеристическому, резонанс наступает на любой частоте.

Задача.

Найти L0, при котором фазы u и i совпадают. R=2 Ом, L=2 мГн, C=250 мкФ, w=2×103 с-1.

Рис. 8.

Входное сопротивление равно:

.

Чтобы фазы входного напряжения u и входного тока i совпадали, необходимо, чтобы реактивная составляющая входного сопротивления была равна нулю:

.

Резонанс токов наступает, если реактивная составляющая входной проводимости равна нулю:

,

отсюда:

.

20.

Рассмотрим энергетические соотношения в цепи синусоидального тока.

Положим, что за элементарный промежуток времени dt через поперечное сечение прохода в направлении, принятом за положительное для тока i (см. рис. 6.15), проходит электрический заряд dq. Перемещение заряда в направлении, совпадающем с положительным направлением ЭДС источника, сопровождается элементарной работой dA=edq источника. Такая электромагнитная энергия отдается источником во внешнюю цепь и затрачивается на работу dA=udq по перемещению заряда dq в положительном направлении напряжения и через пассивный двухполюсник.

Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая двухполюсником, равна скорости совершения работы в данный момент времени:

p=dA/dt=ui.

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол j. Примем начальную фазу напряжения yu=0 и найдем из (6.28) начальную фазу тока yi=—j. При таком условии мгновенные значения напряжения и тока

u=Umsinwt; i=Imsin(wt‑j).

Мгновенная мощность

. (3.37)

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рис. 6.17). Мгновенная мощность, получаемая двухполюсником и отдаваемая источником напряжения (ЭДС), положительна, когда у напряжения и u тока i одинаковые знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике одинаковы и одинаковы действительные направления ЭДС и тока источника (см. рис. 6.15); она отрицательна, когда у напряжения и тока разные знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны и противоположны действительные направления ЭДС и тока источника.

Действительные направления и и I в течение отдельных интервалов времени показаны на рис. 6.17.

Когда мгновенная мощность отрицательна, энергия поступает не в двухполюсник, а возвращается из двухполюсника источнику ЭДС. Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником и поступающая в двухполюсник в течение времени t, равна . На графике она соответствует площади, ограниченной кривой p и осью абсцисс на интервале времени t. Знаками плюс и минус отмечены заштрихованные площади, соответствующие энергии, поступающей в двухполюсник и возвращаемой источнику.

Если двухполюсник состоит только из резистивных элементов, энергия накопляться в нем не может. В этом случае нет сдвига фаз между напряжением и током (j=0). Знаки тока i и напряжения и в любой момент времени одинаковы и p³0 (см. далее рис. 6.18, а), и нет таких моментов времени, когда энергия возвращалась бы из двухполюсника источнику питания.

Рис. 6.18

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью, или иногда просто мощностью, и, как следует из (6.37),

. (6.38)

Активная мощность, получаемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник не потреблял бы энергию, а генерировал ее), поэтому всегда cosj³0, т. е. на входе пассивного двухполюсника —p/2<j<p/2. Случай P=0, j=|p/2| теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего резистивных элементов, а содержащего только индуктивные и емкостные.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз j между напряжением и током, а полной мощностью

S=UI, (6.39)

равной произведению действующих напряжения и тока.

Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе. Отметим также, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (6.37) численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности называют вольт-ампер (В×А). Это позволяет при численном выражении полной мощности кратко говорить: мощность столько-то вольт-ампер, так как наименование единицы (вольт-ампер) сразу указывает, что речь идет о полной мощности.

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:

Р/S=UIcosj/(UI)=cosj. (6.40)

Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т. е. стремиться получить cosj=1. Так, например, для питания приемника мощностью 10000 кВт при cosj=0,7 источник питания должен быть рассчитан на мощностькВ×А, а при cosj=1 — на 10000 кВ×А.

Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение cosj:

I=Р/(Ucosj).

При расчетах электрических цепей находит применение так называемая реактивная мощность:

Q=UIsinj. (6.41)

Она положительна при отстающем токе (j>0) и отрицательна при опережающем токе (j<0). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вар (название происходит от сокращения слов «вольт», «ампер» и «реактивный»). Это отдельное наименование позволяет говорить вместо реактивная мощность просто мощность, равная стольким-то вар.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями

. (6.42)

Для увеличения коэффициента мощности (cosj) приемника нужно, очевидно, уменьшать его реактивную мощность.

В то время как активная мощность определяет (в среднем) совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, а именно ее рассматривают как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую, хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией

WP=Qt

Размерность этой величины одинакова с размерностью энергии. Единицу измерения реактивной энергии называют вар-час; напомним, что энергия в электроэнергетике обычно измеряется в ватт-часах. Если наряду с энергией нужно рассматривать и реактивную энергию, то во избежание путаницы для внесения четкого различия этих двух понятий энергию называют активной.

На практике реактивная энергия, как и активная, измеряется счетчиками. При изменяющейся с течением времени нагрузке по показаниям счетчиком можно определить средний коэффициент мощности (cosj)СР, предварительно вычислив

(tgj)СР=WP/WA=QСРt/PСРt=QСР/PСР (6.43)

где WA — активная энергия; PСР и QСР — средние значения активной и реактивной мощностей.

Рассмотрим теперь простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексных напряжении и токе. Он заключается в том, что нужно взять произведение комплексного напряжения U и комплекса I*, сопряженного с комплексным током I. Это произведение называют комплексной мощностью, которую обозначают S.

Пусть U=UÐyu, I=IÐyi, так что I*=IÐ‑yi; и S=UI*=UÐyu´IÐ‑yi=UIÐyu‑yi=UIÐj= =UIcosj+jUIsinj, т. е.

S=UI*=Р+jQ. (6.44)

Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть — реактивной. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S.

Из приведенных выше основных выражений для мощностей S, S, Р и Q получается ряд других выражений, в которые входят параметры пассивного двухполюсника или активные и реактивные составляющие тока и напряжения:

S=UI*=ZII*=ZI2; S=UI*=UY*U*=Y*U2; S=UI=zI2=yU2;

P=UIcosj=UaI=UIa=zI2cosj=rI2=yU2cosj=gU2;

Q=UIsinj=zI2sinj=xI2=yU2sinj=bU2.

Для абсолютного значения реактивной мощности справедливы также выражения

|Q|=UpI=UIp.

Из равенств S=UI, Р=UaI=UIa и |Q|=UpI=UIp следует, что стороны треугольников напряжений и токов пропорциональны мощностям S, Р и |Q|. Подобный им треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны мощностям S, Р и |Q|, называется треугольником мощностей.

21.

Коммутация – это какое-либо включение, выключение, переключение пассивных и активных ветвей и элементов схемы, приводящее к изменению конфигурации схемы или ее параметров. Предполагается, что коммутация совершается мгновенно (время коммутации равно нулю). Момент времени непосредственно до коммутации называется: 0‑ (“минус ноль”, момент непосредственно после: 0+ (“плюс ноль”).

Для схемы до коммутации и после коммутации характерны некоторые установившиеся режимы. В результате коммутации в схеме возникает некий режим перехода от установившегося процесса до коммутации к установившемуся процессу после коммутации. Это и есть переходный процесс. Теоретически длительность переходного процесса равна бесконечности, т. е. режим в цепи асимптотически приближается к установившемуся. Практически малым отличием режима от установившегося пренебрегают, и считают, что длительность переходного процесса конечна.

Законы коммутации.

В индуктивном элементе ток и магнитный поток в момент коммутации не изменяются, т. е.

(1)

Ток индуктивности сразу после коммутации равен току индуктивности непосредственно перед коммутацией (то же для магнитных потоков). В переходном процессе ток индуктивности и ее магнитный поток изменяются, начиная с этого значения.

Напряжение емкостного элемента и его заряд в момент коммутации не изменяются.

(2)

Напряжение на емкости и ее электрический заряд сразу после коммутации равны напряжению на емкости и электрическому заряду непосредственно перед коммутацией. В переходном процессе напряжение на емкости и ее электрический заряд изменяются, начиная с этого значения.

Обоснование законов

Если в момент коммутации меняется скачком, то и, следовательно, из-за чего нарушается второй закон Кирхгофа, чего не может быть.

Аналогично.

Если в момент коммутации меняется скачком, то и, следовательно, из-за чего нарушается первый закон Кирхгофа, чего не может быть.

Обоснование законов коммутации из закона сохранения энергии.

Энергия магнитного поля индуктивности:

Энергия электрического поля емкости:

,

- мощность.

, , если или меняются скачком, то соответствующая мощность и стремятся к , следовательно, для скачкообразного изменения или схему надо подключить к источнику питания бесконечной мощности, чего быть не может.

Сформулированные законы коммутации не являются универсальными: существуют схемы, для которых они не выполняются. Эти схемы называются некорректными, для их расчета существуют специальные методы.

Значения в начальный момент времени токов индуктивностей и напряжений на ёмкостях называются независимыми начальными условиями. Значения других величин в начальный момент времени , , , называются зависимыми начальными условиями, они могут изменяться скачком в момент коммутации и определяются по независимым начальным условиям с помощью первого и второго закона Кирхгофа.

Зависимость токов и напряжений в схеме от времени представляем в виде суммы двух составляющих: принужденной и свободной:

, . (3)

Принужденная составляющая описывает установившийся режим цепи после коммутации, она определяется свойствами цепи и источника питания. Если источник постоянный, то установившийся режим постоянный и принужденная составляющая постоянная. Если источник периодический, то установившийся режим и принужденная составляющая ‑ периодические.

Свободная составляющая отражает зависимость переходного процесса от свойств цепи – конфигурации и параметров.

Математически переходный процесс в линейной схеме описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n-ого порядка, где n число индуктивностей и емкостей в схеме, т. е. элементов, накапливающих энергию, источники напряжения и тока входят в правую часть этого ОДУ. Принужденная составляющая является частным решением неоднородного ОДУ, свободная составляющая – общим решением однородного ОДУ. Для ОДУ n-ого порядка требуется n начальных условий. Они могут быть получены из n независимых условий: токов индуктивностей и напряжений емкостей в момент коммутации.

Метод расчета переходных процессов в линейных цепях состоящий в поиске решения ОДУ n-ого порядка называется классическим методом расчета переходных процессов. При этом само ОДУ в явном виде не записывается.

22.