Чтобы трехмерное пространство имело пересечение с ребром 
, необходимо выполнение условия 
, или, что то же самое: 
. Для пересечения, скажем, с ребром 
нужно, чтобы 
, что равносильно совокупности систем:
Аналогично получаем условия пересечения трехмерного пространства со всеми ребрами куба:
Таблица № 2.
Ребро | Условия пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, если дана конкретная гиперплоскость, мы без труда можем найти точки ее пересечения с ребрами куба. Эти точки, очевидно, будут вершинами многогранника. Осталось выяснить, какие вершины можно соединить между собой отрезком так, чтобы этот отрезок лежал на грани четырехмерного куба.
Так как точка в четырехмерном пространстве характеризуется четырьмя координатами, ребро – тремя, то двухмерная плоскость будет характеризоваться двумя параметрами. Поэтому применительно к нашей задаче можно сказать, что две вершины можно соединить отрезком (ребром многогранника), если у них совпадают две координаты. Учитывая, что ребра многогранника лежат на гранях нашего единичного куба, добавим, эти две координаты могут быть только нулем или единицей. Так что точки (1/3;0;1;1) и (2/5;0;1;0) лежат на одной грани куба, а точки (1/2;0;0;0) и (1/2;0;1;1) – нет, хотя у них и совпадают две координаты.
Зная количество вершин и ребер получившегося многогранника, легко из теоремы Эйлера найти число граней (количество граней = количество ребер – количество вершин + 2).
Перейдем к решению задачи в общем виде. Запишем еще раз уравнение гиперплоскости: 
. Для определенности положим 
Рассмотрение неотрицательных a, b, c, d логично, так как наибольшее число многогранников будет получаться в том случае, если гиперплоскость движется в направлении куба (в “положительном подпространстве”). Рассмотрение других вариантов новых видов многогранников не вносит, более того, сокращает их количество. Так, анализ показывает, что если три коэффициента отрицательны, то в пересечении могут получиться только 8 типов многогранников, а если все числа a, b, c, d меньше нуля, то пересечения вообще нет.
В соответствии с таблицей № 2 нам необходимо сравнивать 15 чисел (a, b, c, d, a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d, a+b+c, a+b+d, b+c+d, a+b+c+d) с единицей. Но предварительно следует заметить, что данные числа при условии 
не являются независимыми, они довольно жестко связаны между собой системой неравенств.
Покажем, что наши 15 чисел можно расположить в порядке возрастания 14 способами. В самом деле, числа a, b, c, a+b, a+c, b+c, a+b+c можно упорядочить двумя способами:
.
Так как 
, то число d можно вставить на место любой из 9 «звездочек», после чего, числа a+d, b+d, c+d, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d вставляются автоматически. Единственное, что приходится в некоторых случаях учитывать, так это возможность перестановки a+d и b+c.
В таблице № 3 представлены все 14 способов:
Таблица № 3.
позиции
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
a | b | a+b | c | d | a+c | b+c | a+d | b+d | a+b+c | a+b+d | c+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | a+b | c | d | a+c | a+d | b+c | b+d | a+b+c | a+b+d | c+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | a+b | c | a+c | d | a+d | b+c | a+b+c | b+d | a+b+d | c+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | a+b | c | a+c | d | b+c | a+d | a+b+c | b+d | a+b+d | c+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | a+b | c | a+c | b+c | d | a+b+c | a+d | b+d | a+b+d | c+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | a+b | c | a+c | b+c | a+b+c | d | a+d | b+d | a+b+d | c+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | d | a+b | a+c | b+c | a+d | b+d | c+d | a+b+c | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | d | a+b | a+c | a+d | b+c | b+d | c+d | a+b+c | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | a+b | d | a+c | b+c | a+d | b+d | a+b+c | c+d | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | a+b | d | a+c | a+d | b+c | b+d | a+b+c | c+d | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | a+b | a+c | d | b+c | a+d | a+b+c | b+d | c+d | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | a+b | a+c | d | a+d | b+c | a+b+c | b+d | c+d | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | a+b | a+c | b+c | d | a+b+c | a+d | b+d | c+d | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d | |
a | b | c | a+b | a+c | b+c | a+b+c | d | a+d | b+d | c+d | a+b+d | a+c+d | b+c+d | a+b+c+d |
Теперь начнем передвигать единицу слева направо по таблице № 3, начиная с позиции 1 и кончая позицией 16, записывая при этом, какие числа могут оказаться слева от 1 (т. е. < 1), а какие справа (т. е. 
1). Упорядоченность чисел нас уже не интересует.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
