Многогранники, получаемые в сечении четырехмерного куба гиперплоскостью (стр. 1 )

Многогранники, получаемые в сечении четырехмерного куба гиперплоскостью.

Построение целостного, энциклопедического взгляда на современный мир и место человека в этом мире предполагает системно-методологическое единство учебных предметов, всемерное развитие межпредметных связей в педагогическом процессе.

В настоящей статье представлена одна исследовательская задача, благодаря которой учащиеся знакомятся со всеми основными идеями использования компьютерных технологий в курсе геометрии.

Решение задачи – это практикум по компьютерно-геометрическому моделированию и программированию как инструментов построения знаний, что чрезвычайно актуально в старших математических классах.

Решение задачи также положительно влияет на формирование геометрической интуиции, пространственного воображения, развивает логику, а также конструктивные и метрические компоненты мыслительной деятельности.

Перейдем непосредственно к содержанию задачи.

При изучении школьного курса геометрии все мы строим сечения куба (или в общем случае – параллелепипеда). При этом получаем различные многоугольники. Усложним задачу. Возьмем не трехмерный, а четырехмерный куб, после чего будем рассекать его трехмерным пространством (гиперплоскостью). Несложно догадаться, что в сечении будут получаться трехмерные многогранники.

Если при пересечении трехмерного куба и плоскости могут получиться только четыре типа многоугольников, а именно с 3, 4, 5 и 6 вершинами, то любопытно узнать, какие многогранники будут получаться в нашем случае.

Поскольку трудно представить себе четырехмерный куб и возможности его пересечения с трехмерным пространством, задачу придется решать аналитическим путем.

Для определенности возьмем единичный куб и запишем координаты его вершин: (0;0;0;0), (1;0;0;0), (0;1;0;0), (0;0;1;0), (0;0;0;1), (1;1;0;0), (1;0;1;0), (1;0;0;1), (0;1;1;0), (0;1;0;1), (0;0;1;1), (1;1;1;0), (1;1;0;1), (1;0;1;1), (0;1;1;1),(1;1;1;1).

Очевидно, что две вершины куба соединяются ребром, если у них совпадают три координаты. Прямым подсчетом убеждаемся в наличии 32 ребер: (~;0;0;0), (0;~;0;0), (0;0;~;0), (0;0;0;~), (1;~;0;0), (1;0;~;0), (1;0;0;~),(~;1;0;0), (0;1;~;0),(0;1;0;~),(~;0;1;0),(0;~;1;0),(0;0;1;~),(~;0;0;1), (0;~;0;1), (0;0;~;1), (1;1;~;0), (1;1;0;~), (1;~;1;0), (1;0;1;~), (1;~;0;1), (1;0;~;1),(~;1;1;0), (0;1;1;~), (~;1;0;1), (0;1;~;1), (~;0;1;1), (0;~;1;1), (1;1;1;~), (1;1;~;1), (1;~;1;1), (~;1;1;1).

Запишем теперь уравнение трехмерного пространства в четырехмерном пространстве. Уравнение прямой на плоскости имеет вид: = 0; уравнение плоскости в трехмерном пространстве можно записать так: . Естественно, что уравнение трехмерного пространства в четырехмерном пространстве будет записано в форме: . Если перенести в правую часть равенства и затем обе части поделить на , то уравнение примет вид: , который более удобен для нашего исследования.

Надо, однако, предусмотреть возможность . В этом случае трехмерное пространство (гиперплоскость) проходит через точку (0;0;0;0), что является частным случаем. Поэтому, благодаря привязанности гиперплоскости к конкретной точке куба, множество многогранников, получаемых при пересечении куба и гиперплоскости , является подмножеством множества многогранников в случае .

Зная характеристики всех ребер куба и уравнение трехмерного пространства, легко найти точки пересечения трехмерного пространства с прямыми, содержащими ребра куба. Например, если в уравнение подставить , , , то получим, что и, таким образом, найдена точка пересечения трехмерного пространства с прямой . Произведя подсчеты для всех 32 прямых, будем иметь следующую таблицу:

Таблица № 1.

Прямая	Координаты точек пересечения
		0	0	0
	0		0	0
	0	0		0
	0	0	0
	1		0	0
	1	0		0
	1	0	0
		1	0	0
	0	1		0
	0	1	0
		0	1	0
	0		1	0
	0	0	1
		0	0	1
	0		0	1
	0	0		1
	1	1		0
	1	1	0
	1		1	0
	1	0	1
	1		0	1
	1	0		1
		1	1	0
	0	1	1
		1	0	1
	0	1		1
		0	1	1
	0		1	1
	1	1	1
	1	1		1
	1		1	1
		1	1	1

Нас, однако, интересуют точки пересечения с ребрами куба, а не с прямыми, их содержащими. Ясно, что трехмерное пространство имеет пересечения с ребром, если значение выражения с коэффициентами a, b, c, d заключено в сегменте .