Многогранники, получаемые в сечении четырехмерного куба гиперплоскостью (стр. 3 )

Вначале поставим единицу левее а. В этом случае все 15 чисел (a, b, …, a+b+c+d) больше либо равны 1.

Далее передвинем 1 на одну позицию. Тогда будем иметь: а<1, остальные числа 1.

Передвигаем единицу дальше. Получаем вариант: a, b < 1, остальные числа 1.

Двигаемся дальше. Могут получиться два варианта: когда левее 1 могут оказаться c или a+b. Поэтому четвертый вариант: a, b, c < 1, остальные 1, а пятый вариант: a, b, a+b < 1, остальные 1.

Передвигаем единицу еще на одну позицию. Здесь слева могут оказаться a, b, c, a+b или a, b, c, d. Поэтому шестой вариант: a, b, c, a+b < 1, остальные 1, а седьмой вариант: a, b, c, d < 1, остальные числа 1.

Продолжая указанный процесс далее, найдем все 26 вариантов:

Восьмой вариант: a, b, c, a+b, a+c < 1, остальные 1;

Девятый вариант: a, b, c, d, a+b < 1, остальные 1;

Десятый вариант: a, b, c, d, a+b, a+c < 1, остальные 1;

Одиннадцатый вариант: a, b, c, a+b, a+c, b+c < 1, остальные 1;

Двенадцатый вариант: a, b, c, d, a+b, a+c, b+c < 1, остальные 1;

Тринадцатый вариант: a, b, c, d, a+b, a+c, a+d < 1, остальные ;

Четырнадцатый вариант: a, b, c, a+b, a+c, b+c, a+b+c < 1, остальные 1;

Пятнадцатый вариант: a, b, c, d, a+b, a+c, b+c, a+d < 1, остальные 1;

Шестнадцатый вариант:a, b, c, d, a+b, a+c, b+c, a+b+c < 1, остальные 1;

Семнадцатый вариант: b+d, c+d, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Восемнадцатый вариант: c+d, a+b+c, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1,остальные < 1;

Девятнадцатый вариант: c+d, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцатый вариант: a+b+c, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцать первый вариант: c+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцать второй вариант: a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцать третий вариант: a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцать четвертый вариант: b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцать пятый вариант: a+b+c+d 1, остальные < 1;

Двадцать шестой вариант: все 15 чисел меньше 1.

(отметим, что все числа a, b, c и d отличны от нуля)

Приступим к рассмотрению каждого варианта.

Вариант 1.

Все 15 чисел (a, b, …, a+b+c+d) больше или равны 1. Из таблицы № 2 находим, что этим условиям соответствуют ребра . Из таблицы № 1 находим координаты точек пересечения:

		1/a; 0; 0; 0
		0; 1/b; 0; 0
		0; 0; 1/c; 0
		0; 0; 0; 1/d

Записываем ребра многогранника: .

Тип многогранника: 4 – 6 – 4 (тетраэдр).

Рассмотрим предельные случаи, которые в дальнейшем будем называть возможностями. Чтобы понять, о каких возможностях идет речь, запишем два ряда чисел – верхний и нижний. Т. к. a, b, c, dне равны нулю и , то можно записать:

(верхний): <<<

(нижний): <

В варианте 1 единица стоит в крайнем левом положении и справа к ней могут приравняться a, b, c, d. А вот a+d верхнего ряда и a+b нижнего ряда уже не могут быть равны 1.

В дальнейшем систему возможностей мы будем изображать схематично. В первом варианте имеем схему:

Ясно, что если мы будем приравнивать a, b, c, d к 1, то вид многогранника меняться не будет (но в большинстве случаев это не так). Поэтому можно записать:

Возможность 1) a = 1 (4 – 6 – 4)

Возможность 2) a = b = 1 (4 – 6 – 4)

Возможность 3) a = b = c = 1 (4 – 6 – 4)

Возможность 4) a = b = c = d = 1 (4 – 6 – 4)

В дальнейшем мы не будем подробно записывать ход алгоритма (ребра, с которыми гиперплоскость имеет пересечения, координаты точек и т. д.). Ограничимся лишь следующими пунктами:

1) номер варианта;

2) вид многогранника в общем случае;

3) схема возможностей (предельные случаи);

4) вид многогранника в каждом из предельных случаев.

При этом все виды многогранников изображены в конце данной статьи.

Вариант 2.

a < 1, остальные числа 1.

Многогранник 6 – 9 – 5 (6 вершин, 9 ребер, 5 граней).

Возможности:

Возможность 1) b = 1 6 – 9 – 5

Возможность 2) b = c = 1 6 – 9 – 5

Возможность 3) b = c = d = 1 6 – 9 – 5 .

Вариант 3.

a < 1, b < 1, остальные числа 1.

Многогранник 8 – 12 – 6 (1).

Возможности:

Возможность 1) c = 1 8 – 12 – 6 (1)

Возможность 2) a + b = 1 7 – 11 – 6

Возможность 3) c = 1, a + b = 1 7 – 11 – 6

Возможность 4) c = 1, d = 1 8 – 12 – 6 (1)

Возможность 5) c = 1, a + b = 1, d = 1 7 – 11 – 6 .

Вариант 4.

a, b, c < 1, остальные числа 1.

Многогранник 10 – 15 – 7 (1).

Возможности:

Возможность 1) a + b = 1 9 – 14 – 7(1)

Возможность 2) a + b = a + c = 1 8 – 13 – 7(1)

Возможность 3) a + b = a + c = b + c = 1 7 – 12 – 7

Возможность 4) d = 1 10 – 15 – 7(1)

Возможность 5) d = a + b = 1 9 – 14 – 7(1)

Возможность 6) d = a + b = a + c = 1 8 – 13 – 7(1)

Возможность 7) d = a + b = a + c = b + c = 1 7 – 12 – 7

Вариант 5.

a, b, a+b < 1, остальные числа .

Многогранник 8 – 12 – 6(2).

Возможности:

Возможность 1) c = 1 8 – 12 – 6(2)

Возможность 2) c = d = 1 8 – 12 – 6(2)

Вариант 6.

a, b, c, a+b < 1, остальные числа 1.

Многогранник 10 – 15 – 7(3).

Возможности:

Возможность 1) a + c = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 2) a + c = b + c = 1 8 – 13 – 7(2)

Возможность 3) d = 1 10 – 15 – 7(3)

Возможность 4) d = a + c = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 5) d = a + c = b + c = 1 8 – 13 – 7(2).

Вариант 7.

a, b, c, d < 1, остальные числа 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(1)

Возможности:

Возможность 1) a + b = 1 11 – 17 – 8(1)

Возможность 2) a + b = a + c = 1 10 – 16 – 8(1)

Возможность 3) a + b = a + c = b + c = 1 9 – 15 – 8(1)

Возможность 4) a + b = a + c = a + d = 1 9 – 15 – 8(2)

Возможность 5) a + b = a + c = b + c = a + d = 1

Автоматически b + d = c + d = 1 6 – 12 – 8.

Вариант 8.

a, b, c, a+b, a+c < 1, остальные числа 1.

Многогранник 10 – 15 – 7(1).

Возможности:

Возможность 1) b + c = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 2) d = 1 10 – 15 – 7(2)

Возможность 3) b + c = d = 1 9 – 14 – 7(2).

Вариант 9.

a, b, c, d, a+b < 1, остальные числа 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(2).

Возможности:

Возможность 1) a+c = 1 11 – 17 – 8(2)

Возможность 2) a+c = b+c = 1 10 – 16 – 8(4)

Возможность 3) a+c = a+d = 1 10 – 16 – 8(2)

Возможность 4) a+c = b+c =a+d =1. Но тогда a = b, c = d и a+c = b+d = 1. 8 – 14 – 8

Возможность 5) a = c = b+c = a+d = b+d = c+d. Отсюда следует, что a = b = c = d = 0,5. Но тогда a+b =1, что противоречит условию варианта 9 (a+b<1). Впрочем, получится известный из варианта 7 многогранник 6 – 12 – 8.

Вариант 10.

a, b, c, d, a+b, a+c < 1, остальные числа 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(3).

Возможности:

Возможность 1) a+d =1 11 – 17 – 8(4)

Возможность 2) b+c = 1 11 – 17 – 8(3)

Возможность 3) a+d = b+c = 1 10 – 16 – 8 (3)

Возможность 4) a+d = b+c = b+d = 1. Отсюда a = b, c = d и a+c = b+d, но b+d = 1, а a+c < 1, что противоречит условию варианта 10.

Возможность 5) a+d = b+c = b+d = c+d = 1. Невозможно, как и в предыдущем случае.

Вариант 11.

a, b, c, a+b, a+c, b+c < 1, остальные числа 1.

Многогранник 10 – 15 – 7(3).

Возможности:

Возможность 1) a+b+c = 1 8 – 12 – 6(2)

Возможность 2) d =1 10 – 15 – 7(3)

Возможность 3) d = a+b+c = 1 8 – 12 – 6(2)

Вариант12.

a, b, c, d, a+b, a+c, b+c < 1, остальные 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(5).

Возможности:

Возможность 1) a+b+c = 1 10 – 15 – 7(3)

Возможность 2) a+b+c = a+d = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 3) a+b+c = a+d = b+d = 1 8 – 13 – 7(2)

Возможность 4) a+b+c = a+d = b+d = c+d = 1 7 – 12 – 7

Возможность 5) a+d = 1 11 – 17 – 8(3)

Возможность 6) a+d = b+d = 1 10 – 16 – 8(4)

Возможность 7) a+d = b+d = c+d = 1 9 – 15 – 8(1).

Вариант 13.

a, b, c, d, a+b, a+d, a+c < 1, остальные числа 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(4).

Возможности:

Возможность 1) b+c = 1 11 – 17 – 8(4)

Возможность 2) b+c = 1, b+c = 1 10 – 16 – 8(2)

Возможность 3) b+c = b+d = c+d = 1 9 – 15 – 8(2).

Вариант 14.

a, b, c, a+b, a+c, b+c, a+b+c < 1, остальные числа 1.

Многогранник 8 – 12 – 6(2).

Возможности:

Возможность 1) d = 1 8 – 12 – 6(2).

Вариант 15.

a, b, c, d, a+b, a+c, b+c, a+d < 1, остальные числа 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(3).

Возможности:

Возможность 1) a+b+c = 1 10 – 15 – 7(2)

Возможность 2) a+b+c = b+d = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 3) a+b+c = b+d = c+d = 1 8 – 13 – 7(1)

Возможность 4) b+d = 1 11 – 17 – 8(2)

Возможность 5) b+d = c+d = 1 10 – 16 – 8(1).

Вариант 16.

a, b, c, d, a+b, a+c, b+c, a+b+c < 1, остальные 1.

Многогранник 10 – 15 – 7(3).

Возможности:

Возможность 1) a+d = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 2) a+d = b+d = 1 8 – 13 – 7(2)

Возможность 3) a+d = b+d = c+d = 1 7 – 12 – 7.

Вариант 17.

b+d, c+d, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1.

Многогранник 10 – 15 – 7(2).

Возможности:

Возможность 1) b+d = 1 9 – 14 – 7(2)

Возможность 2) b+d = c+d = 1 8 – 13 – 7(1).

Вариант 18.

c+d, a+b+c, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(2).

Возможности:

Возможность 1) c+d = 1 11 – 17 – 8(1)

Возможность 2) c+d = a+b+c = 1 9 – 14 – 7(1)

Возможность 3) c+d = a+b+c = a+b+d = 1 7 – 11 – 6

Возможность 4) a+b+c = 1 10 – 15 – 7(3)

Возможность 5) a+b+c = a+b+d = 1 8 – 12 – 6(2).

Вариант 19.

c+d, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1.

Многогранник 10 – 15 – 7(3).

Возможности:

Возможность 1) a+b+d = 1 8 – 12 – 6(2)

Возможность 2) a+b+d = c+d = 1 7 – 11 – 6

Возможность 3) c+d =1 9 – 14 – 7(1).

Вариант 20.

a+b+c, a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные < 1.

Многогранник 12 – 18 – 8(3).

Возможности:

Возможность 1) a+b+c = 1 10 – 15 – 7(1)

Возможность 2) a+b+c = a+b+d = 1 8 – 12 – 6(1)

Возможность 3) a+b+c = a+b+d = a+c+d = 1 6 – 9 – 5

Возможность 4) a+b+c = a+b+d = a+c+d = b+c+d = 1 4 – 6 – 4.

Вариант 21.

c+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные числа < 1.

Многогранник 8 – 12 – 6(2).

Возможности:

Возможность 1) c+d = 1 7 – 11 – 6.

Вариант 22.

a+b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные числа < 1.

Возможности:

Возможность 1) a+b+d = 1 8 – 12 – 6(1)

Возможность 2) a+b+d = a+c+d = 1 6 – 9 – 5

Возможность 3) a+b+d = a+c+d = b+c+d = 1 4 – 6 – 4.

Вариант 23.

a+c+d, b+c+d, a+b+c+d 1, остальные числа < 1.

Многограннк 8 – 12 – 6(1).

Возможности:

Возможность 1) a+c+d = 1 6 – 9 – 5

Возможность 2) a+c+d = b+c+d = 1 4 – 6 – 4

Вариант 24.

b+c+d, a+b+c+d 1, остальные числа < 1.

Многогранник 6 – 9 – 5.

Возможности:

Возможность 1) b+c+d = 1 4 – 6 – 4.

Вариант 25.

a+b+c+d 1, остальные числа < 1.

Многогранник 4 – 6 – 4.

Возможности:

Возможность 1) a+b+c+d = 1 точка ().

Вариант 26.

Все числа < 1.

Гиперплоскость с четырехмерным кубом пересечения не имеет.

Если подобрать образное описание нашему алгоритму, то можно сказать, что ряд многогранников, начавшись с тетраэдра ( - ключевые вершины), медленно перевалившись с верхних строк таблицы № 2 на нижние, также закончился тетраэдром, только в противоположном углу четырехмерного куба.

Рассмотрение частных случаев, когда не все коэффициенты a, b, c, d отличны от нуля, новых видов многогранников не приносит.

Итак, мы рассмотрели все случаи, варианты и возможности. Теперь можно сделать окончательный вывод и привести таблицу всех возможных многогранников, получаемых при пересечении четырехмерного куба и трехмерного пространства (гиперплоскости).

Вывод.

При пересечении четырехмерного куба и трехмерного пространства (гиперплоскости) могут получиться: Пустое множество, точка, отрезок, квадрат и один из многогранников таблицы № 4 (включая идеальный трехмерный куб, как в примере 2).

Таблица № 4

№	Многогранник	Вид
1	4 – 6 – 4
2	6 – 9 – 5
3	6 – 12 – 8
4	7 – 11 – 6
5	7 – 12 – 7
6	8 – 12 – 6(2)
7	8 – 12 – 6(1)
8	8 – 13 – 7(2)
9	8 – 13 – 7(1)
10	8 – 14 – 8
11	9 – 14 – 7(2)
12	9 – 14 – 7(1)
13	9 – 15 – 8(2)
14	9 – 15 – 8(1)
15	10 – 15 – 7(3)
16	10 – 15 – 7(2)
17	10 – 15 – 7(1)
18	10 – 16 – 8(4)
19	10 – 16 – 8(3)
20	10 – 16 – 8(2)
21	10 – 16 – 8(1)
22	11 – 17 – 8(4)
23	11 – 17 – 8(3)
24	11 – 17 – 8(2)
25	11 – 17 – 8(2)
26	12 – 18 – 8(5)
27	12 – 18 – 8(4)
28	12 – 18 – 8(3)
29	12 – 18 – 8(2)
30	12 – 18 – 8(1)

Небольшое пояснение к таблице № 4. Вид многогранников, изображенных в ней, не обязательно соответствует виду тех сечений, которые реально имеют место. Например, в таблице № 4 под № 6 изображен параллелепипед. На практике может получиться параллелепипед и даже куб, но чаще бывают усеченные конусы, у которых в основаниях лежат некие четырехугольники, а верхнее и нижнее основания не параллельны. Но «неправильный усеченный конус» изометричен параллелепипеду. Поэтому многогранники, изображенные в таблице № 4, следует трактовать как объекты, представляющие соответствующие классы изометричных фигур (сечений четырехмерного куба гиперплоскостью).

Таким образом, задача, поставленная в начале настоящей статьи, полностью решена.

Приложение

Все многогранники можно просмотреть благодаря компьютерной программе, листинг которой мы предлагаем.

10 DEFINT F, H-K, N, P-Q, S, V

20 DEFSNG A-E, T, W-Z

30 DIM A(32, 4), B(32, 2), E(15)

35 REM Введите коэффициенты в уравнении гиперплоскости, желательно ненулевые.

40 A = 1: B = .5: C = 2: D = .5: E = -1

41 REM X1,X2,Y1,Y2,Z1,Z2,T1,T2 - координаты векторов проектирования

42 REM V - ширина экрана

43 REM Если SW=0, то Вы увидите только 1 многогранник

44 REM Если SW=1, то Вы увидите F многогранников, получаемых параллельным переносом (изменяется число E в уравнении гиперплоскости Ax+By+Cz+Dt+E=0)

50 X1 = -6: Y1 = 4: Z1 = 2: T1 = -5: V = 350: SW = 1: F = 50

51 X2 = - Y1: Y2 = X1: Z2 = - T1: T2 = Z1

60 E(0) = - A: E(1) = - B: E(2) = - C: E(3) = - D:

E(4) = - A - B: E(5) = - A - C: E(6) = - A - D: E(7) = - B - C

E(8) = - B - D: E(9) = - C - D: E(10) = - A - B - C: E(11) = - A - B - D

E(12) = - A - C - D: E(13) = - B - C - D: E(14) = - A - B - C - D

70 IF SW = 0 THEN 190

80 E2 = E(0): I = 1

90 WHILE I <= 14

100 IF E2 < E(I) THEN E2 = E(I)

110 I = I + 1

120 WEND

130 E1 = E(0): I = 1

140 WHILE I <= 14

150 IF E1 > E(I) THEN E1 = E(I)

160 I = I + 1

170 WEND

180 E3 = (E2 - E1) / F: E = E1

190 N0 = 0: N1 = 1: N2 = 2: N3 = 3: H = 0: U = 0: P = 0

200 FOR I = 0 TO 3

210 IF D = 0 THEN 230

220 A(H, N0) = 0: A(H, N1) = 0: A(H, N2) = 0: A(H, N3) = - E / D:

A(H + 1, N0) = 0: A(H + 1, N1) = 0: A(H + 1, N2) = 1:

A(H + 1, N3) = (-E - C) / D:

A(H + 2, N0) = 0: A(H + 2, N1) = 1: A(H + 2, N2) = 0:

A(H + 2, N3) = (-E - B) / D:

A(H + 3, N0) = 1: A(H + 3, N1) = 0: A(H + 3, N2) = 0

A(H + 3, N3) = (-E - A) / D:

A(H + 4, N0) = 0: A(H + 4, N1) = 1: A(H + 4, N2) = 1:

A(H + 4, N3) = (-E - B - C) / D:

A(H + 5, N0) = 1: A(H + 5, N1) = 0: A(H + 5, N2) = 1:

A(H + 5, N3) = (-E - A - C) / D:

A(H + 6, N0) = 1: A(H + 6, N1) = 1: A(H + 6, N2) = 0:

A(H + 6, N3) = (-E - A - B) / D:

A(H + 7, N0) = 1: A(H + 7, N1) = 1: A(H + 7, N2) = 1:

A(H + 7, N3) = (-E - A - B - C) / D

230 FOR K = H TO H + 7

240 IF (A(K, N3) >= 0) AND (A(K, N3) <= 1) THEN 250 ELSE 260

250 A(P, N3) = A(K, N3): A(P, N2) = A(K, N2)

A(P, N1) = A(K, N1): A(P, N0) = A(K, N0): P = P + 1

260 NEXT K

270 H = H + 8: N0 = N1: N1 = N2: N2 = N3: N3 = 6 - N0 - N1 - N2

280 A = B: B = C: C = D: D = - E(14) - A - B - C

290 NEXT I

300 FOR I = 0 TO P - 1

310 B(I, 0) = A(I, 0) * X1 + A(I, 1) * Y1 + A(I, 2) * Z1 + A(I, 3) * T1

320 B(I, 1) = A(I, 0) * X2 + A(I, 1) * Y2 + A(I, 2) * Z2 + A(I, 3) * T2

330 NEXT

340 C0 = B(0, 0)

350 I = 1

360 WHILE I <= P - 1

370 IF C0 > B(I, 0) THEN C0 = B(I, 0)

380 I = I + 1

390 WEND

400 FOR I = 0 TO P - 1

410 B(I, 0) = B(I, 0) - C0 + 5

420 NEXT

430 C1 = B(0, 1): I = 1

440 WHILE I <= P - 1

450 IF C1 > B(I, 1) THEN C1 = B(I, 1)

500 I = I + 1

510 WEND

520 FOR I = 0 TO P - 1

530 B(I, 1) = B(I, 1) - C1 + .2

540 NEXT

550 C3 = B(0, 0): I = 1

560 WHILE I <= P - 1

570 IF C3 < B(I, 0) THEN C3 = B(I, 0)

580 I = I + 1

590 WEND

600 C4 = B(0, 1): I = 1

610 WHILE I <= P - 1

620 IF C4 < B(I, 1) THEN C4 = B(I, 1)

630 I = I + 1

640 WEND

650 IF C3 > C4 THEN C2 = C3 ELSE C2 = C4

660 IF C2 = 0 THEN C2 = C2 + .1

670 W = V / C2

680 FOR I = 0 TO P - 1

690 FOR J = 0 TO 1

700 B(I, J) = W * B(I, J)

710 NEXT J

720 NEXT I

730 CLS

740 FOR I = 0 TO P - 2

750 FOR J = I + 1 TO P - 1

760 Q = 0

770 FOR K = 0 TO 3

780 IF (A(I, K) = A(J, K)) AND ((A(I, K) = 0) OR (A(I, K) = 1)) THEN Q = Q + 1

790 NEXT K

800 IF Q > 1 THEN SCREEN 9: LINE (B(I, 0), B(I, 1))-(B(J, 0), B(J, 1))

810 NEXT J

820 NEXT I

830 IF SW = 0 THEN 860

840 INPUT K3

850 IF P > 0 THEN E = E + E3: GOTO 190 ELSE 860

860 END