Линейная интерполяция

Рисунок 3.2.1. Опорные точки линейной интерполяции в тетраэдре

Выпишем все опорные точки: , , , .

Веса опорных точек определяются следующими формулами:

,

,

,

.

Квадратичная интерполяция

Рисунок 3.2.2. Опорные точки квадратичной интерполяции в тетраэдре

Выпишем все опорные точки: , , , , , , , , , .

Веса опорных точек определяются следующими формулами:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Кубическая интерполяция

Рисунок 3.2.3. Опорные точки кубической интерполяции в тетраэдре

Выпишем все опорные точки: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Веса опорных точек определяются следующими формулами:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Интерполяция полиномом четвертого порядка

Рисунок 3.2.4. Опорные точки интерполяции полиномом четвертого порядка в тетраэдре

Выпишем все опорные точки: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Точка является внутренней и на рисунке не видна.

Веса опорных точек определяются следующими формулами:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Интерполяция полиномом пятого порядка

Рисунок 3.2.5. Опорные точки интерполяции полиномом пятого порядка в тетраэдре

Выпишем все опорные точки: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Точки , , и являются внутренними и на рисунке не видны.

Веса опорных точек определяются следующими формулами:

,

,

,

,

,

,

,

,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

4.2.2 Кусочно-линейная интерполяция на тетраэдральных сетках

Для каждого заданно порядка полинома параллельные плоскости, определяющие положения опорных точек, разделяют тетраэдр на подобные ему малых тетраэдры и восьмигранники. Введением в восьмигранник дополнительной оси одним из трех способов, можно разбить его на четыре тетраэдра, не подобные исходному, но с объемом, равным объему каждого из малых тетраэдров.

Суть процедуры кусочно-линейной интерполяции заключается в следующем. Вначале определяется малый тетраэдр или восьмигранник, в который попадает точка, значение интерполянта в которой надо определить. Потом в случае попадания в малый тетраэдр, это значение вычисляется путем линейной интерполяции в нем. В случае попадания в восьмигранник, вначале выбирается направление оси, затем определяется, в какой из четырех полученных тетраэдров попадает точка, и значение в ней вычисляется путем линейной интерполяции в этом тетраэдре. Веса вершин малых треугольников вычисляются по уже готовым формулам.

Ниже приведены процедуры кусочно-линейной интерполяции в тетраэдре по опорным точкам, соответствующим полиномам порядка . Доказательства этих формул даются в 3.

Случай (Опорные точки квадратичной интерполяции).

Рисунок 3.2.6

Выпишем все опорные точки: , , , , , , , , , .

1) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.7

Если , то

.

2) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.8

Если , то

.

3) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.9

Если , то

.

4) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.10

Если , то

.

5) Восьмигранник .

Рисунок 3.2.11

Точка попадает в данный многогранник, если

.

5.1) Дополнительное ребро .

Рисунок 3.2.12

Введем следующие обозначения:

,

.

5.1.1) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.13

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.1.2) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.14

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.1.3) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.15

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.1.4) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.16

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.2) Дополнительное ребро .

Рисунок 3.2.17

Введем следующие обозначения:

,

.

5.2.1) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.18

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.2.2) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.19

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.2.3) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.20

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.2.4) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.21

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.3) Дополнительное ребро .

Рисунок 3.2.22

Введем следующие обозначения:

,

.

5.3.1) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.23

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4