Министерство образования и науки Российской Федерации
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)
ФАКУЛЬТЕТ ОБЩЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
(Специализация 011600 «Прикладные физика и математика»)
РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СЕЙСМО И ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ
Выпускная квалификационная работа
студентки 622 группы
Фаворской Алены Владимировны
Научный руководитель
, д. ф.-м. н.
г. Долгопрудный
2010
Содержание
Содержание. 2
Введение. 4
Математические обозначения. 5
1 Определяющие уравнения. 6
1.1 Уравнения упругости. 6
1.2 Система уравнений Прайда для геологической среды.. 7
2 Методы решения. 10
2.1 Решение одномерной гиперболической системы дифференциальных уравнений. 10
2.1.1 Внутренние точки. 10
2.1.2 Граничные условия. 12
2.2 Одномерная система уравнений Прайда в случае выделенного направления. 13
2.2.1 Расчет внутренних точек. 13
2.2.2 Свободная граница. 16
2.3 Тестовая система дифференциальных уравнений. 17
3 Интерполяция на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. 20
3.1 Интерполяция высоких порядков на треугольных сетках. 22
3.1.1 Интерполяция полиномами на треугольных сетках. 22
3.1.2 Кусочно-линейная интерполяция на треугольных сетках. 29
3.1.3 Гибридная интерполяция на треугольных сетках. 33
3.1.4 О хранении значений в опорных точках для треугольной сетки. 33
3.2 Интерполяция высоких порядков на тетраэдральных сетках. 34
3.2.1 Интерполяция полиномами на тетраэдральных сетках. 34
3.2.2 Кусочно-линейная интерполяция на тетраэдральных сетках. 47
3.2.3 Гибридная интерполяция на треугольных сетках. 59
3.2.4 О хранении значений в опорных точках для тетраэдральной сетки. 60
4 Сравнение полученных методов интерполяции. 60
5 Численное исследование одномерной системы уравнений Прайда. 63
5.1 Тестирование метода решения. 63
5.1.1 Численное решение тестовой системы уравнений с известным аналитическим решением 63
5.1.2 Исследование сходимости по сетке. 64
5.2 Исследование влияния электрического поля на пористую геологическую среду. 66
5.2.1 Случай синусоидального электрического поля. 66
5.2.2 Случай разрывного электрического поля. 69
Заключение. 73
Список использованных источников. 74
Введение
В настоящее время сейсморазведка является одним из наиболее надежных методов подготовки пород к глубокому бурению. Численные эксперименты позволяют значительно оптимизировать процесс нефтедобычи, что напрямую сказывается на экономике России. И это является одной из причин возникновения потребности в усовершенствовании методов моделирования распространения волн в геологической среде с большим количеством полостей, трещин, расположенных без строгих закономерностей и имеющих различную форму.
Также в настоящее время появляется практический интерес к исследованию сейсмоэлектрического эффекта – эффекта возникновения электромагнитного поля при прохождении механического возмущения вдоль пористой среды, насыщенной проводящим электролитом; что связано с потенциальной возможностью определения параметров пористой среды путем измерения возникающего электромагнитного поля.
Целью данной работы является разработка методов численного решения задач сейсмической и электросейсмической разведки. А именно, получение и исследование формул и методик интерполяции [1] высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках, которые применяются в сеточно-характеристическом методе решения гиперболических систем уравнений [2–4], к которым относятся уравнения математической модели состояния сплошной линейно-упругой среды [5, 15], успешно используемой для численного решения задач сейсморазведки, а также расчета волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях [6–10]. Также интерполяция применяется при использовании динамических неструктурированных сеток при введении в них новых узлов, значения в которых необходимо проинициализировать. Целью второй части данной работы является исследование системы уравнений Прайда [11–13, 17], описывающей электроакустическое сопряжение в пористых средах и являющейся математической моделью сейсмоэлектрического эффекта[1].
Математические обозначения
Введем следующие используемые далее обозначения в декартовой системе координат:
– частная производная поля 
по времени;
– частная производная поля по координате 
, 
;
– 
-ая компонента вектора 
;
– 
-ая компонента тензора 2го ранга или матрицы 
;
– градиент по пространственным координатам;
– тензорное произведение векторов и 
, 
– единичный тензор.
Под записями вида 
, 
понимается произведение соответствующих матриц (не обязательно квадратных). Поясним:
,
.
Точка обозначает скалярное произведение с суммированием по близлежащему к ней индексу. То есть:
,
.
2 Определяющие уравнения
В данном пункте приводятся уравнения математических моделей состояния сплошной линейно-упругой среды и электрокинетического сопряжения в пористых средах, методы для исследования которых разрабатывались автором.
2.1 Уравнения упругости
Согласно [5, 15] состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды подчиняется следующим уравнениям:
,
.
Уравнение (1.1.1) является локальным уравнением движения. В нем 
– плотность материала, 
– скорость движения, 
– тензор напряжений Коши, являющийся симметричным в силу закона парности касательных напряжений. Уравнение (1.1.2) выводится из закона Гука дифференцированием по времени. В нем 
, 
– параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала,
Раскроем тензорную запись уравнений упругости (1.1.1), (1.1.2) покомпонентно:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
В ряде некоторых задач можно считать, что решение не меняется вдоль одной из осей, скажем, вдоль оси 
, в силу соответствующей симметрии условий задачи. Например, при численном моделировании задач сейсморазведки можно пользоваться предположением, что решение меняется только в глубину и вдоль оси, произвольно проведенной по дневной поверхности[2]. Справедливость этого предположения подтверждается результатами соответствующих расчетов[6, 10]. Двумерная система уравнений упругости, которой в данном случае удовлетворяет симметричное вдоль оси решение, запишется следующим образом (соответствующие преобразования изложены в 1):
,
,
,
.
.
2.2 Система уравнений Прайда для геологической среды
Согласно [11–13, 17] система уравнений, описывающая электросопряжение в пористых средах, выглядит следующим образом:
,
,
,
,
,
,
.
Здесь 
, – -ая компонента сдвиговой скорости; 
– прямо пропорциональна -ой компоненте скорости жидкости в порах относительно материнской породы и дается следующим выражением:
,
где 
– -ая компонента сдвиговой скорости электролита в порах, 
– коэффициент пропорциональности; 
– давление жидкости в порах; 
– -ая компонента тензора напряжений; дается следующим выражением:
,
где 
– плотность породы, 
– плотность жидкости; 
– предельная величина средней динамической сложности поровых каналов, когда частота 
акустических колебаний стремится к бесконечности; 
– частота Био и дается следующим выражением:
,
где 
– вязкость жидкости в порах, 
– предельная величина средней динамической проницаемости, когда частота акустических колебаний стремится к нулю. Параметры , , , 
определяются свойствами геометрии пор. Параметр 
дается следующим выражением:
,
где 
, 
– коэффициенты объемного сжатия жидкости в наполненной поре и материала породы; , 
, 
– параметры Ляме для ненасыщенной жидкостью породы (сухой породы). Они подчиняются следующим соотношениям:
,
,
,
где 
– коэффициент сдвиговой деформации породы; 
и 
– объемный и сдвиговый коэффициенты сцементированности породы.
– вектор напряженности электрического поля; 
– вектор напряженности магнитного поля; 
–электрическая постоянная; 
– магнитная постоянная; 
– скорость света в вакууме; 
– диэлектрическая проницаемость среды, дающаяся следующим уравнением:
,
где 
– диэлектрическая проницаемость жидкости в порах; 
– диэлектрическая проницаемость породы; 
– проводимость среды; 
– параметр, дающийся следующим выражением:
,
где 
– длина Дебая; параметр 
приблизительно дается следующим выражением:
.
Система уравнений Прайда, описывающее решение, предполагающееся одномерным, меняющимся только вдоль оси 
, выглядит следующим образом (соответствующие преобразования изложены в 2):
,
,
,
,
,
.
3 Методы решения
В данном пункте изложен сеточно-характеристический метод [2–4, 15] решения гиперболических систем дифференциальных уравнений и его применение к одномерной системе уравнений Прайда в случае выделенной оси , вдоль которой меняется решение. Учет правой части в системе производится применением метода матричной экспоненты [14].
3.1 Решение одномерной гиперболической системы
дифференциальных уравнений
3.1.1 Внутренние точки
Ниже приведен алгоритм построения решения одномерной гиперболической системы дифференциальных уравнений на 
-ом временном слое из решения на 
-ом временном слое с использованием сеточно-характеристического метода и метода матричной экспоненты.
Рассмотрим следующую систему уравнений:
,
где 
– вектор неизвестных функций; , 
– заданные матрицы.
Применим сеточно-характеристический метод к уравнению без правой части:
.
1) Ищем собственные значения 
, 
матрицы .
2) Ищем соответствующие им вектора 
, .
3) Из этих векторов , составляем матрицу 
следующим образом:
.
4) Находим к ней обратную матрицу 
Транспонированные строки матрицы 
назовем векторами 
:
.
5) Находим матрицы 
, по правилу:
.
Решение на -ом временном слое отыщется по следующей формуле:
.
Формула (2.1.6) точная. Порядок аппроксимации полученного оператора 
:
,
определяется порядком интерполяции [1] решения на -ом временном слое в точке с координатой 
.
Применим метод матричной экспоненты к следующей системе уравнений:
.
Для системы уравнений (2.1.8) можно выписать следующее соотношение:
.
Введем следующий оператор:
,
,
дающий аппроксимацию первого порядка по времени. Аналогично можно выписать соответствующие выражения для 
, дающие аппроксимацию более высоких порядков.
Теперь будем решать исходную систему уравнений (2.1.1) по следующей схеме, дающей первый порядок аппроксимации по времени и координате при использовании линейной интерполяции в операторе 
:
.
Обоснование приведенного выше алгоритма производится в 1 и Б.3.
3.1.2 Граничные условия
Приведем алгоритм построения оператора для нахождения решения гиперболической системы уравнений на границе области интегрирования. Пусть матричная запись граничных условий дается следующим выражением:
.
Здесь матрица 
не обязательно квадратная.
1) Составляем матрицу 
из столбцов , соответствующих «внешним» собственным значениям: 
для левой границы, 
для правой границы.
2) Ищем матрицу 
и вектор 
,
.
.
где 
находится из следующего условия:
.
3) Формула нахождения решения в граничных точках выглядит следующим образом:
,
где суммирование проводится по нулевым и «внутренним» собственным значениям. Для левой границы внутренние собственные значения положительны, а для правой – отрицательны.
Обоснование приведенного выше алгоритма приведено в 2.
3.2 Одномерная система уравнений Прайда в случае выделенного направления
3.2.1 Расчет внутренних точек
В 2 показано, что систему уравнений Прайда можно представить в следующем виде:
.
Здесь
,
,
,
где 
и 
задаются следующими формулами:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Анализ матрицы с помощью программы «Mathermatica7» показал, что она имеет 5 собственные значений, одно из которых нулевое и имеет кратность 2:
,
,
,
.
Далее, по алгоритму, приведенному выше в пункте 2.1.1, также с помощью программы «Mathermatica7» вычисляются следующие матрицы и векторы:
,
,
,
,
,
где , 
, задаются формулой (2.1.5); 
задается формулой (2.1.10).
Вычисление во внутренних точках производится по следующей формуле:
.
3.2.2 Свободная граница
Условия свободной границы для одномерной системы уравнений Прайда в случае выделенного направления (1.2.18) − (1.2.23) запишутся следующим образом:
,
.
Введем матрицу и вектор :
,
.
Тогда граничные условия запишутся в виде:
.
Далее, по алгоритму, приведенному выше в пункте 2.1.2, с помощью программы «Mathermatica7» вычисляются следующие матрицы и векторы:
,
,
,
,
,
,
,
,
где 
, 
задаются формулой (2.1.14) и 
, 
задаются формулой (2.1.15) для левой и правой границ соответственно.
Вычисление на левой границе 
производится по следующей формуле:
.
Вычисление на правой границе 
производится по следующей формуле:
.
3.3 Тестовая система дифференциальных уравнений
Рассмотрим тестовую систему дифференциальных уравнений
,
,
,
,
,
,
собственные значения которой подчинены тем же соотношениям (2.2.23) − (2.2.26), что и одномерная система уравнений Прайда в случае выделенного направления (1.2.18) − (1.2.23).
Действительно, собственные значения тестовой системы (2.3.1) − (2.3.6) есть
,
,
.
Рассмотрим следующие граничные условия для данной тестовой системы:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
