Разработка численных методов Для решения задач сейсмо и электроразведки (стр. 4 )

5.3.2) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.24

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.3.3) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.25

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

5.3.4) Тетраэдр .

Рисунок 3.2.26

Если точка попадает в данный восьмигранник и , то

.

Случай (Опорные точки кубической интерполяции).

Рисунок 3.2.27

Выпишем все опорные точки: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Тетраэдр разделяется плоскостями на 11 малых тетраэдров и 4 восьмигранника. Алгоритм нахождения кусочно-линейного интерполянта изложен в 2.

4.2.3 Гибридная интерполяция на треугольных сетках

Приведем алгоритм построения гибридной интерполяции с ограничителем на треугольных сетках на основе интерполяции полиномом порядка .

1) Определяем значение пробной функции в этой точке с помощью полиномиальной интерполяции порядка , пусть оно равно .

2) Определяем, в каком из малых тетраэдров (восмьигранников) лежит точка .

В случае восьмигранника, разбиваем его осью на 4 тетраэдра и определяем, в каком из них лежит точка .

Этот тетраэдр, в обоих случаях, обозначим за .

3) Сравниваем с и .

3.1) Если , то значение интерполянта в точке : .

3.2) Если , то значение интерполянта в точке : .

3.3) Если , то значение интерполянта в точке : .

Алгоритм построения гибридной интерполяции на основе полиномиальной и кусочно-линейной интерполяции путем поиска безусловных экстремумов пробно полиномиального интерполянта путем решения системы уравнений изложен в 2.

В 2 приведен результат вычисления градиентов полиномов степеней от первой до пятой включительно, а в 4 приведены соответствующие выкладки.

4.2.4 О хранении значений в опорных точках для тетраэдральной сетки

Для топологии опорных точек, использующихся для интерполяции полиномом степени в каждой вершине тетраэдра должно храниться одно значение интерполируемой функции, на каждом ребре должно храниться значений, на каждой грани – значений и внутри каждого тетраэдра – значений.

При этом передачи интерполятору элементов всех этих массивов, осуществляемой в заранее определенном порядке, достаточно. Т. е. хранить ориентацию самих тетраэдров, их граней и ребер не нужно.

В написанную автором библиотеку включены функции, возвращающие координаты опорной точки по ее номеру в соответствующем массиве. Если они используются, то информацией о расположении точек в массивах владеет только интерполятор, а остальные части программы только осуществляют соответствующие циклы, обладая информацией о количестве в сетке узлов, ребер, граней и тетраэдров, а также о размерах массивов опорных точек.

5 Сравнение полученных методов интерполяции

Для использования всех вышеперечисленных методов интерполяции автором была написана библиотека и проведено ее тестирование, краткий сравнительный анализ которого приводится в этом пункте.

В случаях полиномиальных интерполируемых функций различных степеней как в треугольнике так и в тетраэдре был подтвержден теоретический результат, заключающийся в том, что при интерполяции полинома степени полиномом степени при интерполянт совпадает (с точностью до вычислительных погрешностей) с интерполируемой функцией. Если , кусочно-линейные интерполянты для любого количества опорных точек также совпадают с интерполируемым полиномом.

Также следует заметить, что полученный интерполянт линеен относительно весов опорных точек. Поэтому на точность интерполяции влияет только расположение минимумов и максимумов интерполируемой функции относительно треугольника, ее непрерывность, и т. д. На рисунках 4.1, 4.2 продемонстрирована справедливость этого замечания для интерполяционного полинома 5ой степени и интерполируемого полинома 6ой степени в треугольнике.

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

Результаты исследований разрывной интерполируемой функции продемонстрировали наличие осцилляций полиномиальных интерполянтов. Кусочно-линейная интерполяция для различного числа опорных точек и использование ограничителя позволяют устранять осцилляции. На рисунках 4.3, 4.4 изображены результаты интерполяции разрывной интерполируемой функции полиномами различных степеней и кусочно-линейными интерполянтами с различным числом опорных точек в треугольнике и в тетраэдре соответственно. На рисунках 4.5, 4.6 изображены результат использования ограничителя в треугольнике и в тетраэдре соответственно при разрывном интерполянте.

Рисунок 4.3

Рисунок 4.4

Рисунок 4.5

Рисунок 4.6

6 Численное исследование одномерной системы уравнений Прайда

Все численные значения необходимых параметров пористой геологической среды взяты из [17]. Для системы дифференциальных уравнений Прайда все неизвестные функции, сами параметры, координата и время измеряются в системе СИ.

6.1 Тестирование метода решения

6.1.1 Численное решение тестовой системы уравнений с известным аналитическим решением

На рисунках 5.1.1 и 5.1.2 приведены срезы по координате различных компонент вектора неизвестных функций в зависимости от времени, полученные численным моделированием тестовой системы изложенным выше методом, а также для сравнения приведены соответствующие срезы точного решения.

Рисунок 5.1.1

Рисунок 5.1.2

Из приведенных на рисунках 5.1.1 и 5.1.2 графиках, а также из более подробного анализа ясно, что метод решения с предрасчетом в программе «Mathematica 7» позволяет получать решение с достаточной точностью.

6.1.2 Исследование сходимости по сетке

Для системы уравнений Прайда было проведено исследование сходимости по сетке. Для этого была поставлена следующая задача с приведенными выше условиями (2.2.33) − (2.2.34) на свободной границе.

Для пласта геологической пористой среды длинною задавались следующие начальные условия:

,

,

где .

Расчеты проводились с различным шагом по времени тау, что обеспечивало сгущение сетки ввиду связи шага по времени и шага по координате через число Куранта.

На рисунках 5.1.3 − 5.1.5 приведены срезы в различные моменты времени давления для различных тау (,и соответственно). Различные цвета кривых отвечают различным количествам шагов по времени.

Рисунок 5.1.3

Рисунок 5.1.4

Рисунок 5.1.5

6.2 Исследование влияния электрического поля на пористую
геологическую среду

6.2.1 Случай синусоидального электрического поля

Для пласта геологической пористой среды длинною задавались следующие начальные условия:

,

,

где .

Шаг по времени составлял .

На рисунках 5.2.1 − 5.2.6 изображены зависимости, , , , и от координаты в различные моменты времени соответственно. Различные цвета кривых отвечают различным количествам шагов по времени.

Рисунок 5.2.1

Рисунок 5.2.2

Рисунок 5.2.3

Рисунок 5.2.4

Рисунок 5.2.5

Рисунок 5.2.6

6.2.2 Случай разрывного электрического поля

Для пласта геологической пористой среды длинною задавались следующие начальные условия:

,

где .

Шаг по времени составлял .

На рисунках 5.2.7 − 5.2.12 изображены зависимости, , , , и от координаты в различные моменты времени соответственно. Различные цвета кривых отвечают различным количествам шагов по времени.

Рисунок 5.2.7

Рисунок 5.2.8

Рисунок 5.2.9

Рисунок 5.2.10

Рисунок 5.2.11

Рисунок 5.2.12

Заключение

В первой части работы, касающейся интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках автором были получены, включены в специальную библиотеку и протестированы на различных интерполируемых функциях следующие методы интерполяции.

• Интерполяция полиномами от первого до пятого порядка включительно и на треугольных и на тетраэдральных сетках.

• Кусочно-линейная интерполяция по опорным точкам интерполяции полиномами второй, третьей и четвертой степени на треугольных сетках и по опорным точкам интерполяции полиномами второй и третьей степени на тетраэдральных сетках.

• Интерполяция с использованием ограничителя на основе интерполяции полиномами второй, третьей и четвертой степени на треугольных сетках и на основе интерполяции полиномами второй и третьей степени на тетраэдральных сетках.

Также были получены формулы зависимости от значений в опорных точках градиентов полиномов от первой до пятой степени включительно как для треугольных сеток, так и для тетраэдральных.

Далее планируется построение методов интерполяции с ограничителями до пятой степени включительно и на треугольных и на тетраэдральных сетках.

Во второй части работы, касающейся решения системы дифференциальных уравнений Прайда для пористой геологической среды, было проведено исследование этой системы в одномерном случае, т. е. математический анализ, разработка численного метода с предрасчетом в «Mathematica 7», его тестирование, написание программы для решения одномерных гиперболических систем уравнений с правой частью, допускающей импорт входных данных из «Mathematica 7» и численное моделирование с помощью нее сейсмоэлектрического эффекта.

Далее планируется численное исследование двумерной и трехмерной систем дифференциальных уравнений Прайда.

Список использованных источников

1 , Лекции по вычислительной математике. — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий, 2006.

2 , Сеточно-характеристические численные методы. — М.: Наука, 1988.

3 , Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 5. — С. 722 – 739.

4 , О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1969. – т. 9. - № 2. – С. 373 – 386.

5 , Основы термомеханики конденсированной среды. – М.: МФТИ, 2002.

6 , , Расчет волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. – 2007. – С. 4 – 15.

7 , , Численное моделирование последствий ударных взаимодействий на защитные конструкции // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. – 2007. – С. 16 – 22.

8 Численное исследование процессов разрушения высотных сооружений // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. – 2007. – С. 23 – 27.

9 Компьютерное моделирование волновых процессов в многослойных преградах при их динамическом нагружении // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. – 2007. – С. 28 – 29.

10 , , Численное моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки сеточно-характеристическим методом // Сборник научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. – 2007. – С. 30 – 37.

11 Pride S. R. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media. // Phys. Rev. B., Condens. Matter. — 1994. — V. 50. — P. .

12 Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous
media. // J. Appl. Phys. — 1962. — V. 33, N. 4 — P. .

13 , Постановка задачи численного решения системы уравнений Прайда для геологической среды // Труды 52-й научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. —
2009. – Т. 3. – С. 28 – 29.

14 Введение в вычислительную физику: Учеб. Пособие: Для вузов. — М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.

15 Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

16 , , Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М. : Физматлит, 2001.

17 Plyushchenkov B. D. Finite difference code simulating seismoelectrical effect due to acoustic logging // Final report

[1] Сейсмоэлектрический эффект – это эффект возникновения электромагнитного поля при прохождении механического возмущения вдоль пористой среды, насыщенной проводящим электролитом. При прохождении акустической волны через пористую среду возникает относительное смещение между жидкостью и твердой фазой, таким образом возмущение действует как источник тока, вызывающего электромагнитное поле, которое влияет на механическое возмущение и наоборот.

[2] Дневной поверхностью в геологии называют поверхность земли, поверхность современного рельефа

[3] Опорными точками называются те узлы сетки, которые вводятся на сторонах и внутри каждого треугольника, а также на ребрах, гранях и внутри каждого тетраэдра для построения интерполянта.