Методическое письмо о совершенствовании подготовки выпускников к ЕГЭ по математике

Методическое письмо

о совершенствовании подготовки выпускников к ЕГЭ по математике

Учащиеся Свердловской области впервые принимали участие в репетиционном экзамене по математике, проводившемся в форме Единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 2003 году. Спустя два года, в 2005 году 9 общеобразовательных учреждений Свердловской области, участвовавших на тот момент в федеральном эксперименте по совершенствованию структуры и содержания общего образования, проводили государственную (итоговую) аттестацию выпускников 11 классов по математике, физике, биологии и географии в форме ЕГЭ. В 2006 году выпускной экзамен по математике в форме ЕГЭ проводился для всех учащихся Свердловской области, выбравших по собственному желанию эту форму.

В июне 2008 года во всех общеобразовательных учреждениях Свердловской области проводилась государственная (итоговая) аттестация выпускников 11 классов по математике в форме ЕГЭ.

Выпускной экзамен в форме ЕГЭ в значительной мере отличается от выпускного экзамена в традиционной форме. Прежде всего, отличие обусловлено тем, что ЕГЭ совмещает два экзамена: выпускной школьный и вступительный в вуз. В гг. эти два экзамена проводились по существенно различным программам. Выпускной экзамен был основан на материале курса алгебры и начал анализа за 10 и 11 классы, в то время как вступительный экзамен по математике в вузы содержал материал курсов алгебры и геометрии 7-11 классов.

До 2009 г. при сдаче ЕГЭ за выполнение работы выставлялись две разные оценки: традиционная аттестационная оценка по 5-балльной шкале и тестовый балл по 100-балльной шкале. При выставлении аттестационной оценки за выпускной экзамен не учитывались результаты выполнения заданий по курсам алгебры 7-9 классов и геометрии 7-11 классов (номера этих заданий указывались в инструкции по выполнению работы, а в тексте они отмечались звездочкой). В то же время тестовый балл, набранный выпускником и предъявляемый им при поступлении в вуз, выставлялся на основе баллов, полученных за все выполненные задания работы.

В 2009 г. выпускной экзамен по математике будет проводиться по курсу математики, а не по курсу алгебры и начал анализа, как это было в гг. При этом внесены существенные изменения в систему оценивания выполнения работы. Будет определяться нижняя граница числа первичных баллов, необходимая для получения удовлетворительной оценки при сдаче выпускного экзамена по курсу математики. По-прежнему будет определяться тестовый балл по 100-балльной шкале, который предъявляется выпускником при поступлении в вуз.

В настоящих методических рекомендациях приводятся результаты основного ЕГЭ, проводившегося в Свердловской области 4 июня 2008 г. Результаты пробного экзамена, состоявшегося 29 апреля, используются лишь для сравнения по результатам выполнения заданий базового и повышенного уровней сложности.

Результаты основного ЕГЭ получены путем обработки данных, предо-ставленных Региональным центром обработки информации (РЦОИ). Обработка осуществлялась с использованием компьютерного программного обеспечения, разработанного сотрудниками кафедры математического образования ИРРО в рамках ВНИКа «Комплект компьютерного программного обеспечения обработки данных ЕГЭ».

Основные результаты ЕГЭ по математике в Свердловской области в 2008 году и их сравнение с результатами ЕГЭ по РФ

Содержательный анализ результатов ЕГЭ проводился по трем направлениям:

·  сравнение результатов ЕГЭ по Свердловской области с результатами ЕГЭ по Российской Федерации в 2008 году;

·  анализ результатов ЕГЭ в различных территориях, видах образовательных учреждений, школах и классах в 2008 году;

·  сравнение результатов ЕГЭ 2006 года с результатами ЕГЭ 2008 года.

При подведении итогов единого государственного экзамена Федеральный центр тестирования (ФЦТ) учитывает шесть показателей: тестовый балл (по 100-балльной шкале), первичный балл за экзаменационную работу в целом (в % от максимума), первичные баллы выполнения заданий типа А, В, С (в % от максимума) и отметку по 5-балльной шкале.

На диаграмме 1 представлено распределение числа выпускников по набранным первичным баллам на основном ЕГЭ в Свердловской области.

Диаграмма 1

Таблица 1 содержит средние значения тестового балла, а также первичного балла за работу в целом, первичного балла за задания типа А, В и С в отдельности. Все средние значения подсчитаны в процентах от максимально возможного балла.

Таблица 1

Средние значения тестового балла, первичного балла
за работу в целом, задания типа А, В, С основного ЕГЭ

Тестовые, первичные баллы	Среднее значение по Свердловской области (2008 г.)
Тестовый балл (по 100-балльной шкале)	35,4
Первичный балл в % от максимума	ЕГЭ в целом	26,65
Задания типа А	64,15
Задания типа В	26,29
Задания типа С	3,46

На диаграмме 2 производится сравнение распределений числа выпускников (в процентах от общего числа), получивших тестовый балл в указанных интервалах, по РФ и Свердловской области на основном ЕГЭ в 2008 году.

Диаграмма 2

Характеристика участников ЕГЭ 2008 года в различных населенных пунктах, типах и видах ОУ

Распределение участников ЕГЭ по типам населенных пунктов, в которых расположены их ОУ в 2008 г.
Тип населенного пункта	Число экзаменуемых	Процент экзаменуемых
Крупные города	г. Екатеринбург	9049	31,99
г. Нижний Тагил	2337	8,26
г. Каменск-Уральский	924	3,27
г. Первоуральск	956	3,38
Малые города	7325	25,89
Районы, поселки	7700	27,22
Всего по Свердловской области	28291	100,0

Распределение участников ЕГЭ по типам образовательных учреждений в 2008 г.
Вид образовательного учреждения	Число экзаменуемых	Процент экзаменуемых
РФ	СО	РФ	СО
Общеобразовательные учреждения	Средняя общеобразовательная школа		20732		73,3
Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением предмета		2009		7,1
Гимназия		2094		7,4
Лицей		1583		5,6
Всего	857730	26418	91,4	93,4
Вечерние (сменные) ОУ	57415	870	6,1	3,1
Кадетская школа	2742	193	0,3	0,7
Школа – интернат	10663	53	1,2	0,2
ОУ НПО	2595	146	0,3	0,5
ОУ СПО	6972	611	0,7	2,2
Нет данных	10	0	0,0	0,0
Всего	938127	28291	100,0	100,0

Результаты выполнения основного ЕГЭ в различных территориях, видах ОУ, школах и классах

Перейдем к более детальному статистическому описанию результатов основного ЕГЭ в Свердловской области. Анализ проводился по достаточно большому числу признаков.

На диаграмме 3 приведены средние первичные баллы для шести типов территорий: г. Екатеринбург, г. Нижний Тагил, г. Каменск-Уральский, г. Первоуральск, малые города, районы и поселки.

Диаграмма 3

В приводимой ниже таблице для разных типов населенных пунктов приводятся проценты выполнения в отдельности заданий типа А, заданий типа В и заданий типа С. Приводится также количество экзаменуемых.

Тип населенного пункта	Процент выполнения работы в целом	Процент выполнения задания типа А	Процентвыпол-нения задан типа В	Процент выпо-лнения заданя типа С	Число экзаменуемых
Крупные города	г. Екатеринбург	29,47	66,65	31,1	5,01	9049
г. Нижний Тагил	24,58	60,56	22,9	3,27	2337
г. Каменск-Уральский	26,27	63,31	25,7	3,52	924
г. Первоуральск	27,42	66,55	26,3	3,73	956
Малые города	26,56	64,99	25,9	3,00	7325
Районы, поселки	23,99	61,27	22,03	2,04	7700
Свердловская область	26,65	64,15	26,2	3,46	28291

Представляет интерес распределение средних первичных баллов по видам образовательных учреждений. Выделены следующие виды образовательных учреждений: средние общеобразовательные школы (31), средние общеобразовательные школы с углубленным изучением предмета (32), гимназии (33), лицеи (34), вечерние (сменные) ОУ (41), центры образования (43), кадетские школы (61 и 62), школы-интернаты (71 и 77), ОУ НПО (81 и 82) и СПО (91 и 92). В скобках указаны коды этих типов (видов) ОУ. Численность учащихся образовательных учреждений этих типов приводится во втором параграфе.

Структура экзаменационной работы и характеристика заданий

Экзаменационная работа состоит из 3 частей, которые различаются по назначению, а также по содержанию, сложности, числу и форме включаемых в них заданий.

В работе используются три типа заданий: с выбором ответа из четырех предложенных вариантов (тип А), с кратким ответом в виде некоторого целого числа или десятичной дроби (тип В), с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи (тип С).

В Часть 1 включены два типа заданий: с выбором ответа (А1 – А10) и с кратким ответом (В1 – В3). В Часть 2 также включены два типа заданий: с кратким ответом (В4 – В11) и с развернутым ответом (С1, С2). В Часть 3 включены задания только с развернутым ответом (С3 – С5).

В 2008 году в структуру работы, назначение частей, число и типы используемых в них заданий не было внесено никаких изменений по сравнению с 2006 и 2007 годами. В проекте 2009 года также не внесено никаких изменений.

Часть 1 содержит 13 заданий базового уровня (А1 – А10, В1 – В3), обеспечивающих достаточную полноту проверки овладения материалом курса математики. При выполнении этих заданий от учащегося требуется применить свои знания в знакомой ситуации.

Часть 2 включает 10 заданий повышенного (по сравнению с базовым) уровня (В4 – В11, С1, С2), при решении которых от учащегося требуется применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий отвечает как минимуму содержания средней (полной) школы, так и содержанию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому в эту часть работы включаются задания как по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, так и по некоторым вопросам курса математики основной школы и по курсу геометрии основной и средней (полной) школы.

Часть 3 включает три самых сложных задачи (две – алгебраических – С3 и С5 и одну – геометрическую – С4), при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой для них ситуации. При этом от учащихся потребуется проанализировать ситуацию, самостоятельно разработать ее математическую модель и способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение. Эти задания можно сравнить с наиболее сложными алгебраическими и геометрическими заданиями, предлагавшимися на вступительных экзаменах в вузы.

Результаты выполнения заданий Части 1 позволяют судить о достижении выпускником уровня обязательной подготовки по курсу математики 10-11 классов, наличие которой принято оценивать положительной отметкой. Результаты выполнения заданий Частей 2 и 3 позволяют осуществить последующую, более тонкую дифференциацию учащихся по уровню математической подготовки.

За верное выполнение задания с выбором ответа и задания с кратким ответом выставляется 1 первичный балл. В зависимости от полноты и правильности ответа за выполнение задания повышенного уровня с развернутым ответом из Части 2 (С1, С2) выставляется от 0 до 2 баллов, а за выполнение задания повышенного уровня с развернутым ответом из Части 3 (С3-С5) выставляется от 0 до 4 баллов.

Распределение типов заданий в работе представлено в Таблице.

Таблица

Распределение типов заданий и максимальных первичных баллов

N	Тип заданий	Число заданий	Максимальный первичный балл	Процент максимального первичного балла за задания данного типа от максимального первичного балла за всю работу, равного 37
1.	С выбором ответа	10	10х1 = 10	27%
2.	С кратким ответом	11	11 х1= 11	30%
3.	С развернутым ответом	5	2х2 +3х4=16	43%
		26	37	(100%)

Анализ результатов выполнения ЕГЭ 2008 года

по содержательным блокам

В данном разделе представлен анализ результатов выполнения отдельных заданий (10 заданий типа А, 11 заданий типа В и 5 заданий типа С).

Опыт проведения ЕГЭ в Свердловской области показывает, что достаточно уверенно выпускники выполняют: тождественные преобразования иррациональных, показательных и логарифмических выражений, решение простейших показательных и иррациональных уравнений.

Хуже обстоит дело, когда требуется провести анализ имеющихся выражений (графиков): чтение графиков функций и иллюстрация с помощью графика основных свойств функций; нахождение множества значений функций; владение геометрическим и физическим смыслом производной. На уровне ниже планируемых результатов решались неравенства различных типов. Самое слабое место – решение геометрических заданий. По геометрии даются три задания: В10, В11 и С4. Проценты их выполнения значительно ниже, чем проценты выполнения равных им по сложности заданий из алгебры и начал анализа.

При подготовке выпускников к итоговой аттестации следует обратить особое внимание на изучение основных свойств функций и построение их графиков; на решение неравенств, в том числе, дробно–рациональных; на решение планиметрических и стереометрических задач.

Перейдём к более подробному анализу ошибок учащихся по содержательным блокам.

1.  Выражения и преобразования.

При вычислении выражений, содержащих степени с одинаковыми основаниями типичной ошибкой является отбрасывание основания и преобразование показателей степени: либо деление показателей, либо их вычитание. Так, в задании: упростить выражение, некоторые учащиеся, отбросив основание 3 и разделив показатели, получили
в ответе число 2; другие учащиеся после вычитания показателей получили в ответе число 0,9.

При вычислении выражений, содержащих логарифмы, основные ошибки возникают при применении простейших формул логарифма произведения, степени и частного. В следующем задании: найдите значение выражения доля правильных ответов составляет 82% (в 2006 г. – 84%).

При вычислении значений иррациональных выражений правильные ответы указывают не более 76% выпускников. Ошибки в этом задании – вычислительные, характерные для слабых учащихся.

Особую озабоченность вызывают задания на вычисление тригонометрических выражений. Например, в задании: вычислить значение выражения 5cos2 х+1, если sin2 х=0,3 - доля правильных ответов не превышает 60%. Учащиеся ошибались при применении основного тригонометрического тождества. Некоторые учащихся ошибочно считали, что задано значение синуса, а не его квадрата.

Слабые знания простейших тригонометрических формул приводят к ошибкам при тождественных преобразованиях стандартных выражений. Например, в задаче, где требовалось найти значение выражения учащиеся ошибались при применении формул приведения. Доля правильных ответов – 57%.

2.  Уравнения и неравенства.

Уравнения таких типов как и не вызывают больших затруднений у учащихся (процент выполнения – 69%). Хотя отмечается большой разброс в неправильных ответах. Это указывает на то, что часть учащихся допускает ошибки в формулах преобразования простейших показательных и логарифмических выражений и путается в вычислениях.

Требуют дополнительных усилий вопросы, связанные с решением простейших тригонометрических уравнений (в 2008 г. доля правильных ответов составила 56%) и решением неравенств.

В одном из заданий были представлены графики двух функций на координатной плоскости. Нужно было найти значения переменной, при которых значения одной из функций не больше, чем значения другой. Такая задача часто встречается при использовании графического способа решения. Общий процент правильных ответов на задания этого типа – 75%. Некоторые учащиеся указывают ответ, противоположный правильному, что говорит о некотором понимании ими смысла задания. Ответы остальных учащихся указывают на то, что они не понимают, как решаются задания такого типа.

Ошибки при решении логарифмических неравенств проиллюстрируем на примере следующего неравенства: . Неравенство такого вида является простейшим и широко используется в школьной практике. Доля правильных ответов на задание этого варианта составила примерно 35%. Основная ошибка заключалась в том, что учащиеся не учли область определения логарифмического выражения ( таких было 49%).

К решению логарифмического неравенства сводится задание следующего типа: найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше 0,25. К уже отмеченной трудности, связанной с решением логарифмического неравенства, добавляются еще две: наличие модуля в неравенстве и необходимость правильно записать это неравенство. На одном из экзаменов ЕГЭ это задание было под номером С2; его правильно решили 21% учащихся.

3. Функции.

В этом блоке отметим задания, так или иначе связанные с вычислением производной, с использованием ее геометрического и физического смыслов, а также задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

В заданиях, в которых требовалось вычислить производную многочлена, доля правильных ответов в 2008 г. составила 78%. 10% учащихся сделали ошибку при дифференцировании константы.

Процент выполнения резко падает, если в задании требуется использовать геометрический или физический смысл производной. Так, в задании, где требуется найти угловой коэффициент касательной (который равен значению производной), процент правильных ответов не более 40%. А в заданиях, где требуется найти значение скорости (которое также равно значению производной), доля правильных ответов составила 30%.

В заключение отметим, что задания, основанные на использовании основных свойств функций (например, четности и нечетности, периодичности), на нахождении области определения и множества значений, использовании этих свойств при решении уравнений и неравенств, по-прежнему вызывают большие затруднения у многих учащихся.

4. Числа и вычисления. Этот блок представлен заданием В9. Это текстовая задача. На основном экзамене были представлены задачи двух типов: «на проценты» и «на работу». Проценты выполнения этих заданий составляют 20% и 14% соответственно, что несколько выше, по сравнению с предыдущими годами.

5. Геометрические фигуры и их свойства.

Этот блок представлен заданиями В10, В11 и С4. Проценты выполнения этих заданий составляют примерно 15%, 15% и 4% соответственно, что значительно ниже, чем проценты выполнения равных им по сложности заданий из алгебры и начал анализа.

В заключение этого раздела отметим, что обработка результатов выполнения заданий ЕГЭ учащимися произведена с помощью средств корреляционного анализа. Были получены следующие выводы:

,

1.  Результаты выполнения экзаменационной работы учащимися, получившими оценку «5», определяются в основном успешностью выполнения ими заданий типа С.

2.  Результаты выполнения экзаменационной работы учащимися, получившими оценку «4» или «3», определяются успешностью выполнения ими заданий типа В.

3.  Наконец, результаты выполнения работы учащимися, получившими оценку «2», определяются уровнем выполнения ими заданий типа А.

Ниже приводится анализ результатов выполнения заданий базового уровня сложности на пробном и на основном экзамене 2008 г. Это задания А1 – А10 и В1 – В3. При анализе для каждого задания учитывался не только процент правильных ответов, но и проценты для каждого из оставшихся трех неправильных ответов, которые в литературе принято называть дистракторами. Для заданий типа В наряду с процентом правильных ответов учитывались наиболее часто встречавшиеся неправильные ответы.

ЧАСТЬ 1

НА1. Найдите значение выражения при a = 2. 1) 4) 7% 65% 6% 20% Решение. Используя свойства степени с рациональным показателем, получаем, что . Подставляя вместо а его значение, равное 2, получим, что Номер правильного ответа: 2. Процент правильных ответов: 65% (Основной экзамен: 84%) Задание этого типа о вычислении частного (или произведения) двух степенных одночленов встречается во всех вариантах ЕГЭ, начиная, по крайней мере, с 2005 г. Несмотря на это, процент правильных ответов остается невысоким. Самой распространенной ошибкой была замена выражения выражением . Эту ошибку на пробном экзамене допустили 20% учащихся. Нередко встречалась ошибка (6%).

А2. Вычислите: . 1)4) 6 11% 14% 11% 63% Решение. Так как а , то подкоренное выражение по свойству степени с натуральным показателем равно . Извлекая корень четвертой степени, находим . Номер правильного ответа: 4. Процент правильных ответов: 63% (Основной экзамен: 79%) Это задание является тоже типичным. Самая распространенная ошибка была связана с невнимательностью учащихся, которые вместо корня 4-й степени вычисляли квадратный корень (14% учащихся). Встречались ошибки при разложении натурального числа на простые множи%).

А3. Вычислите: . 1 48% 15% 9% 28% Решение. Применяя формулу разности логарифмов, получим Номер правильного ответа: 1. Процент правильных ответов: 48% (Основной экзамен: 76%) Самой распространенной ошибкой при нахождении разности (или суммы) двух логарифмов при одном и том же основании является замена ее логарифмом разности (суммы). На пробном экзамене эту ошибку сделали 28% учащихся.

А4. На каком из следующих рисунков функция, заданная графиком, убывает на промежутке [3; 7]? 1) 10% 2) 66% 3) 20% 4) 4%

Решение. Анализируя графики, замечаем, что на промежутке :

- функция, заданная графиком 1), сначала возрастает, а потом убывает,

- функции, заданными графиками 3) и 4), сначала убывают, а затем возрастают. И только функция, заданная графиком 2), убывает на промежутке .

Номер правильного ответа: 2.

Процент правильных ответов: 66% (Основной экзамен: 78%)

Задачи на исследование свойств функций, заданных их графиками, в последнее время встречались на итоговой аттестации как в традиционной форме, так и в форме ЕГЭ. И неизменно эти задания вызывали трудности. Во-первых, учащиеся путают свойство монотонности на промежутке со свойством знакопостоянства на этом же промежутке. Во-вторых, учащиеся привыкли к тому, что в качестве промежутков монотонности указываются промежутки максимальной длины. И они теряются, когда промежуток монотонности не является максимальным. На пробном экзамене 20% учащихся вместо промежутка убывания указали промежуток знакоотрицательности.

А5. Найдите производную функции 1)  9% 3) 20% 2)  7% 4) 64% Решение. Применяя правила дифференцирования и формулы для производных степенной функции и функции , получаем: Номер правильного ответа: 4. Процент правильных ответов: 64% (Основной экзамен: 76%) Опыт показывает, что производную от степенной функции учащиеся находят довольно уверенно. На основном ЕГЭ в 2006 г. было 82% правильных ответов. В то же время при вычислении производной от синуса и косинуса учащиеся знают, что функция при этой операции меняется на кофункцию, а вот меняется ли при этом знак, они помнят не всегда. Поэтому вариант неправильного ответа 3) с ошибочным знаком указали 20% учащихся.

А6. Найдите множество значений функции . 1) [4; 5]. 2) [–1; 1] 3) 4) [3; 5] 14% 15% 20% 49% Решение. Множеством значений функции является отрезок . Прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 4, получим . Поскольку синус принимает все значения из отрезка , то функция принимает все значения из отрезка . Номер правильного ответа: 4. Процент правильных ответов: 49% (Основной экзамен: 74%) Задачи на нахождение множества значений функции являются для учащихся трудными. Они часто путают эту задачу с задачей нахождения области определения функции. В этом задании 20% учащихся указали в качестве ответа область определения. Нередко наблюдается ошибка, когда наименьшие и наибольшие значения, ограничивающие множество значений, подменяются значениями функции в точках экстремума.

А7. Решите неравенство если на рисунке изображен график функции заданной на промежутке . 1) 12% 2) 9% 3) 70% 4) 8%

Решение. Решением неравенства будет множество всех тех значений х, при которых график функции либо лежит строго ниже оси абсцисс , либо пересекает ось абсцисс . На интервалах и график, приведенный на рисунке, лежит ниже оси абсцисс, а в четырех точках: пересекает ось абсцисс. Таким образом, получаем ответ . Номер правильного ответа: 3. Процент правильных ответов: 70% (Основной экзамен: 82%) Это задание относится к тому же типу, что и задание А4. Неправильный вариант ответа 1), в котором свойство неположительности функции было заменено свойством убывания функции, указали 12% учащихся.

А8. Найдите область определения функции . 1) 2) 3) 4) 15% 29% 8% 47% Решение. Область определения функции задается неравенством . Поэтому областью определения функции является множество решений неравенства . Неравенство приводится к виду . Поскольку функция является возрастающей, то последнее неравенство равносильно следующему: , откуда . Получим ответ: . Номер правильного ответа: 4 Процент правильных ответов: 47% (Основной экзамен: 71%) При решении нестрогого показательного неравенства, задающего область определения функции, 29% учащихся ошибочно заменили число на число , что привело к неправильному ответу 2). 15% учащихся решали строгое неравенство, в результате чего получили неправильный ответ 1). Наконец, 8% учащихся совершили грубую ошибку при решении показательного неравенства, считая функцию убывающей.

А10. Решите неравенство 1) 38% 2) 33% 3) 20% 4) 7% Решение. Приводя левую часть к общему знаменателю, получим , или . Решаем последнее неравенство методом интервалов. Сначала нанесем числа -3 и 3, обращающие числитель в нуль (т. е. являющиеся нулями числителя), на числовую ось. Так как неравенство нестрогое, то эти числа изобразим с помощью заполненных кружков. Далее, единственным нулем знаменателя будет число 0, которое изобразим выколотым кружком. Знаки левой части неравенства на получающихся промежутках могут быть определены с помощью вычислений в контрольных точках. В результате получим кривую знаков Таким образом, получаем ответ: . Номер правильного ответа: 1. Процент правильных ответов: 38% (Основной экзамен: 72%) Только 38% указали правильный ответ 1). Почти столько же учащихся (33%) выбрали неправильный ответ 2), в котором либо при решении методом интервалов не отметили точку х = 0, являющуюся нулем знаменателя, либо домножали неравенство на величину х без учета знака этой величины. Еще 20% сделали, по сути, аналогичную ошибку, выбирая в качестве ответа неправильный ответ 3), в котором по сравнению с ответом 2) знаки заменены на противоположные.

В1. Найдите значение выражения если

Решение. Если , то , и из основного тригонометрического тождества получаем, что . Следовательно, .

Ответ: 2,9.

Процент правильных ответов: 28% (Основной экзамен: 45%)

Это задание является типичным. Отметим две наиболее часто встречающиеся ошибки при его выполнении. Первая ошибка связана с незнанием основного тригонометрического тождества. Вторая ошибка вызвана тем, что учащийся путает первую степень и вторую степень заданного значения тригонометрической функции. Для этого задания характерны также вычислительные ошибки.

В2. Решите уравнение

Решение. Вынося в левой части за скобки общий множитель , получаем , откуда .

Ответ: -2.

Процент правильных ответов: 37% (Основной экзамен: 69%)

Процент учащихся, не приступавших к решению, равен 28%.

В целом, учащиеся успешно справляются с преобразованием линейного показательного уравнения к простейшему.

Основная ошибка при выполнении этого задания происходит на последнем шаге – при решении простейшего показательного уравнения. Отметим, что ошибочный ответ, равный числу 2, получили 5% учащихся.

В3. Решите уравнение

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим , откуда . Корни этого уравнения . Поскольку обе части возводились в квадрат (четная степень), то необходима проверка. Проверка показывает, что – посторонний корень, а корень удовлетворяет уравнению.

Ответ: -2.

Процент правильных ответов: 33% (Основной экзамен: 52%)

Основная ошибка здесь обусловлена тем, что при решении иррационального уравнения способом возведения обеих частей в квадрат учащийся либо не производил отбора корней (а при этом способе решения необходимо делать отбор), либо производил этот отбор с вычислительной ошибкой. В первом случае получается ответ (его получили 10% учащихся), а во втором случае ответ, равный 3, получили тоже 10% учащихся.

Научно-методическая и учебно-педагогическая работа Института развития регионального образования по подготовке к ЕГЭ

С момента принятия решения об участии Свердловской области в эксперименте по введению ЕГЭ Институтом развития регионального образования осуществлялась целенаправленная работа по двум направлениям:

1)  подготовка учащихся и учителей к ЕГЭ с учетом его специфики;

2)  подготовка экспертов по проверке открытой части С заданий ЕГЭ.

По первому направлению Институтом было принято решение о создании группы учителей высокой квалификации – тьюторов, в которую вошел хотя бы один представитель от каждой территории области. Каждый тьютор проходил подготовку по специальной образовательной программе ИРРО. Преподавателями кафедры математики ИРРО было подготовлено более 100 тьюторов. В дальнейшем каждый из них проводил в своей территории установочные занятия для учителей, которые, в свою очередь, проводили занятия с учащимися. Сотрудниками кафедры математики в 2006г. и в 2008г. были разработаны и переданы учителям в бумажном и в электронном вариантах методические пособия для занятий с учащимися. Отметим, что в электронном варианте эти методические материалы имела каждая школа. Кроме того, на других образовательных программах ИРРО по данному направлению было дополнительно подготовлено более 300 учителей математики.

Работа по подготовке экспертов по проверке заданий части С проводится с 2004 года. Всего было обучено почти 400 педагогов; 149 экспертов участвовали в проверке заданий части С на основном экзамене в 2008 г.

Результатом всей этой работы явилось достаточно высокое качество проверки экспертами заданий открытой части ЕГЭ. По содержательному аспекту проверки было подано около 500 апелляций о несогласии с оценкой экспертов, из них 17 были удовлетворены независимой конфликтной комиссией.

Анализ состояния качества математической подготовки учащихся проводился с использованием компьютерного программного обеспечения «Комплект компьютерного программного обеспечения обработки данных ЕГЭ», разработанного сотрудниками ИРРО в рамках ВНИКа. Этот комплект позволяет не только получить статистическую информацию по области в целом, но и детально проанализировать итоги ЕГЭ по большому числу показателей. В частности, получены данные о качестве выполнения различных типов заданий учащимися конкретных классов, школ, территорий. Возможно также осуществлять анализ полученных результатов и по другим показателям.

Рекомендуем к использованию методическое письмо «Об использовании результатов ЕГЭ 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования», подготовленное членами федеральной предметной комиссии по математике к. п.н.
, к. п.н. , к. п.н. и размещенное на сайте ФИПИ (http://www. *****).

Авторы-составители: , к. ф.-м. н., профессор кафедры математического образования ИРРО, председатель предметной подкомиссии ГЭК ЕГЭ по математике, , д. ф.-м. н., заведующий кафедрой математического образования ИРРО, заместитель председателя предметной подкомиссии ГЭК ЕГЭ по математике