Вариант задания олимпиады памяти для 11 класса по математике с ответами и решениями

1. Решите уравнение . Сколько решений принадлежит отрезку ?

2. Для любого целого решить уравнение: . При каких уравнение имеет два целых решения?

3. Представьте, что вы находитесь на скачках кузнечиков, проводимых по следующим правилам: два кузнечика начинают прыгать по прямой из точки в точку и обратно. Вернувшись в , они повторяют маршрут и т. д. Скорость первого кузнечика 12 (), второго 5 (), расстояние между и равно 60 единиц. Бега продолжаются 60 сек. Какое время кузнечики могут видеть друг друга? Считать, что кузнечик прыгает головой вперед и видит то, что находится перед ним.

4. При каких значениях параметра прямая с уравнением пересекает прямоугольник: , на плоскости? Найти длину отрезка прямой, лежащего внутри прямоугольника при .

5. Площадь основания прямой треугольной призмы равна . Радиус шара, описанного около призмы, равен . Какое наибольшее значение при этих условиях может принимать объем призмы?

Ответы и решения

1. (а) Используя формулу для косинуса двойного угла, сводим уравнение к квадратному относительно :

Решение этого уравнения дает

и

Эти уравнения имеют следующие серии решений

, .

(б) Найдем число решений на отрезке . Число решений первой серии на отрезке определяется числом целых решений неравенства: или , т. е. решений.

Аналогично, вторая серия имеет на заданном отрезке решений.

Кроме того, очевидно, что данные серии пересекаются – т. е. существуют значения , принадлежащие и первой, и второй серии решений. Эти пересечения находятся из уравнения

или . Таким образом, решения встречаются в обеих сериях. Таких решений на отрезке - 1005 штук. Поэтому общее число решений на отрезке равно .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Итак, имеем

Ответ:

(а) , .

(б) 3015 решений.

2. (а) Для четных () данное в условии уравнение сводится к уравнению

(*)

Чтобы равенство (*) выполнялось, оба модуля должны одновременно равняться нулю. Поэтому уравнение (*) эквивалентно системе уравнений:

(**)

Решение системы (**) дает: при (). При других четных решений нет.

Для нечетных () данное в условии уравнение сводится к уравнению

Раскрывая модули, найдем, что при любых уравнение имеет два решения и .

(б) Уравнение может иметь два целых решения, если - нечетное () и выполнено условие - целое число (корень всегда целый). Очевидно, это условие выполнено при или .

Таким образом, имеем

Ответ:

, Æ

,

, ,

, ,

3. Используем графические соображения. Построим графики зависимости координат кузнечиков от времени (начало координат в точке А, ось направлена в точку В). Поскольку кузнечики движутся с постоянными скоростями, эти зависимости линейные, лежат в интервале изменений координат 0-60, возрастают при движении кузнечика из А в В, и убывают при движении из В в А (см. рисунок). Первый кузнечик возвращается на старт каждые 10 сек, а второй - каждые 24 сек. На рисунке зависимость координаты быстрого кузнечика от времени показана сплошной линией, медленного – пунктирной.

Аналитически эти зависимости описываются функциями:

и .

Моменты встречи кузнечиков описываются уравнением или сериями и .

Очевидно, кузнечики видят друг друга, когда один движется из А в В (его координата растет), второй из В в А (его координата убывает), и координата первого меньше координаты второго. Из рисунка эти участки очевидны – интервалы времени, им соответствующие, выделены на оси времени жирным. Таких интервалов - восемь. Находя координаты точек пересечения графиков и суммируя интервалы времени

найдем время, в течение которого кузнечики видят друг друга.

В результате имеем

Ответ:

сек.

4. (а) Прямая, описываемая уравнением , пересекает ось ординат в точке с координатой . Поэтому при все прямые, лежащие выше прямой, проходящей через точку , пересекают прямоугольник, ниже - нет. Поэтому все значения , удовлетворяющие системе неравенств

- искомые. Решением этой системы неравенств является полуось .

Все прямые, пересекающие ось ординат в точках с координатами , пересекают прямоугольник, и поэтому значения - искомые.

При все прямые пересекают ось ординат выше прямоугольника, следовательно, на полуоси искомых точек нет.

(б) Найдем теперь длину прямой, лежащей внутри прямоугольника при . В этом случае прямая пересекает прямоугольник по отрезку, соединяющему точки и , и его длина .

Поэтому имеем

Ответ:

а) ,

б) .

5. Наибольшему объему призмы с заданной площадью основания соответствует наибольшая высота. Последнее достигается при наименьшем возможном при заданных условиях радиусе круга, описанного около основания призмы. Это бывает, когда основание призмы – правильный треугольник площади со стороной . Тогда . Следовательно, высота призмы определяется соотношением

,

а ее объем равен

.

Таким образом,

Ответ:

.