Контрольные задания по дисциплине “Экономико - математические методы и модели”

Контрольные задания по дисциплине

“ЭКОНОМИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ”

Задание 1. Модель “затраты - выпуск” (модель В. Леонтьева).

1. Индивидуальное задание.

Произвести расчёт баланса в модели Леонтьева для четырёх - отраслевого народного хозяйства. Матрица структурных коэффициентов должна быть получена каждым студентом самостоятельно из порядковых номеров букв его фамилии и инициалов. Полученными числами необходимо построчно заполнить матрицу (4 x 4), а затем разделить каждый элемент матрицы на 200. Порядковые номера букв можно определить из следующей таблицы:

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И	Й
ее номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Буква	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф
ее номер	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Буква	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю	Я
ее номер	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33

Пример построения матрицы структурных коэффициентов для :

С И Д О,095 0,050 0,025 0,080

Р О В И,090 0,080 0,015 0,050

П С И Д <=><=> 0,085 0,095 0,050 0,025

О Р О В,080 0,090 0,080 0,015

Для определенности нужно считать в полученной матрице первую отрасль сельским хозяйством, производящим продукцию, измеряемую тоннами; вторую отрасль – добывающей промышленностью, производящей продукцию, измеряемую тоннами; третью отрасль – машиностроением, производящим машины, количество которых измеряется в штуках; четвёртую – лёгкой промышленностью, производящей товары народного потребления (измеряются в штуках).

Вектор годового объёма конечного потребления получается также из фамилии студента, но его элементы умножаются на 10000, 10000, 1 соответственно. Пример построения вектора конечного потребления для :

Вектор объёма трудозатрат на единицу продукции и стоимость человекочаса одинаковы для всех и, соответственно, равны: человекочасов на единицу продукции, w=$5.

В рассматриваемом обществе действует 40 часовая рабочая неделя, 4 недели в году – отпуск.

2. Порядок выполнения работы

1)  составить уравнения межотраслевого баланса в натуральном выражении;

2)  пояснить экономический смысл всех структурных коэффициентов aij;

3)  найти матрицу (Е-А)-1;

4)  найти вектор полного объема производства и вектор цен;

5)  найти полный объём трудозатрат и численность занятых в производстве;

6)  составить отчёт, содержащий результаты выполнения пунктов

Задание 2. Линейное программирование.

1. Индивидуальное задание.

Решить задачу линейного программирования (задачу о распределении неоднородных ресурсов), ответив на следующие вопросы:

1. При каких объёмах использования 3-х процессов получения прибыли (x1 , x2 , x3.), в которых используются 3 вида ресурсов с известными предельными запасами этих ресурсов (b1 , b2 , b3.), прибыль будет максимальна, если расход каждого ресурса и величина прибыли в каждом из процессов линейно зависят от xi для этого процесса. Для определённости под используемыми процессами получения прибыли будем понимать производство трёх видов продукции, под объёмом xi этих процессов будем понимать количество произведённой продукции соответствующего типа.

2. Как будет меняться оптимальный план при изменении b2 - величины запаса второго ресурса.

3. При каких наименьших ценах на единицу ресурса будет не выгодно дальнейшее расширение производства за счёт приобретения новых объёмов дефицитных ресурсов.

Величины запасов и цен ресурсов, нормы расхода ресурсов и выручка в каждом из процессов должны быть получена каждым студентом самостоятельно из приведенной ниже таблицы и порядковых номеров букв его инициалов, первой буквы фамилии (аналогично заданию №1) и последней цифры номера зачётной книжки (если она равна 0, то берется

число 10).

Виды продукции:		1	2	3	№	объём ресурса в	цена ед.
Объёмы выпуска продукции:		х1	х2	х3	ресурса	плановый период (ед.)	ресурса
Расход ресурса		4	2	2	1		2000	1	руб.
	на единицу		3	4	2	2		3200	2	руб.
	продукции:		5	2	4	3		3200	3	руб.
Отпускные цены продукции:		27	19	20	руб.

Для получения конкретного варианта необходимо числа столбца первой продукции умножить на номер первой буквы имени студента, числа столбца второй продукции умножить на номер первой буквы отчества студента (№О), числа столбца третьей продукции умножить на номер первой буквы фамилии студента (№Ф). Первое число столбца объёмов ресурсов есть произведение числа номера зачётки (№З) и суммы №О, умноженного на 1200, с №Ф, умноженным на 800. Аналогично, второе число - №З умножить на (2400 №О + 800 №Ф); третье - №З умножить на (1500 №О + 2000 №Ф).

Пример получения конкретного варианта для с зачётной книжкой ДЭ98/63: множители для столбцов продукции – 10, 17, 19, соответственно; №О равен 17, №Ф – 19, число номера зачётки №З – 3. Результат:

Виды продукции:		1	2	3	№	объём ресурса в	цена ед.
Объёмы выпуска продукции:		х1	х2	х3	ресурса	плановый период (ед.)	ресурса
Расход ресурса		40	34	38	1	106800	1	руб.
	на единицу		30	68	38	2	168000	2	руб.
	продукции:		50	34	76	3	190500	3	руб.
Отпускные цены продукции:		270	323	380	руб.

2. Порядок выполнения работы

1)  получить таблицу с числами своего индивидуального варианта задания и сформулировать для него математически формализованную прямую задачу линейного программирования;

2)  произвести исследование модели с помощью дифференциальных коэффициентов ресурсоотдачи для понижения размерности задачи;

3)  произвести решение задачи пониженной размерности графическим методом: построить многогранник допустимых планов и найти оптимальный план методом линий постоянного уровня или градиентным методом с обязательным чертежом, найти прибыль для оптимального плана;

4)  графическим методом исследовать, как будет меняться оптимальный план при изменении величины запаса второго ресурса. Построить график зависимости прибыли и приростного коэффициента эффективности вовлечения второго ресурса от величины b2.

5)  Решить полную исходную задачу симплекс - методом.

6)  Для ответа на третий вопрос задания сформулировать задачу линейного программирования, двойственную к исходной, получить её решение из пункта 5) и дать экономическую интерпретацию переменных и ограничений двойственной задачи. Сравнить приростной коэффициент эффективности вовлечения второго ресурса из пункта 4) со значением двойственной оценки этого ресурса.

7)  составить отчёт, содержащий результаты выполнения пунктов

Задание 3. Транспортная задача.

1. Индивидуальное задание.

Составить для рекламного предприятия, в состав которого входит 3 типографии и 3 центра распространения печатной рекламы план доставки готовой рекламы к местам распространения, если известна матрица стоимостей перевозок 1 тонны рекламной продукции. Объёмы производства типографий I, II и III составляют соответственно 60, 80 и 100 тонн рекламы. Составить оптимальный план перевозок к трем пунктам распространения, если пункту № 1 необходимо 90 т., № 2—100 т. и № 3— 50 т. Стоимости перевозок 1 тонны рекламной продукции из типографии I в указанные пункты соответственно равны c11, c12, c13, c14 руб., из типографии II - c21, c22, c23, c24 руб. и из типографии III - c31, c32, c33, c34 руб. cij образуют матрицу стоимости перевозок С3х3

 Значения матрицы стоимостей перевозок должны быть получены каждым студентом самостоятельно из порядковых номеров букв его фамилии и инициалов по следующему правилу: буквы фамилии и инициалы выписываются по строкам в матрицу размера 3х3 (по количеству пунктов отправления и приёма) и заменяются на соответствующие им цифры – номера букв. Если букв не достаточно для заполнения всей матрицы, производится повтор с начала фамилии.

Пример получения матрицы стоимостей перевозок для :

®® .

2. Порядок выполнения работы

1) вычислить значения годового коэффициента инфляции в течение срока функционирования предприятия. Построить график ai, дать общую характеристику инфляционных процессов на его основе;

2) составить граф всех возможных вариантов замены оборудования в течение всего срока функционирования предприятия. Узел графа с номером i должен соответствовать началу i-го года функционирования предприятия, а дуга [i, j] - процессу функционирования оборудования, купленного в начале i-го и проданного к началу j-го года, характеризуемому общими затратами cij - 1;

3) вычислить матрицу стоимостей для полученной сети C8.8 в подходах а) и б);

4) в обоих подходах с использованием алгоритма Дейкстры и демонстрацией его прямого и обратного ходов найти кратчайшую цепь из первого в девятый узел и составить оптимальный план замены оборудования с указанием общих затрат за весь период и график расходов на оборудование. Сравнить полученные результаты;

5) согласно п. п. 1-4 составить отчет, снабдить его титульным листом и сдать в установленные преподавателем сроки.

Задание 4. План замены оборудования.

1. Индивидуальное задание.

Составить для вновь создаваемого на 8-летний период предприятия план замены оборудования, оптимальный по критерию минимума общих затрат на оборудование, в двух подходах: а) общие затраты исчисляются в национальной валюте, подверженной переменной инфляции; б) общие затраты исчисляются в сопоставимых ценах на момент начала функционирования предприятия. Сравнить полученные в обоих подходах результаты. Модель замены: оборудование приобретается в начале года и продается по остаточной (ликвидационной) стоимости в конце года. Период полного износа оборудования t = 4 года.

В общие затраты cij на оборудование, купленное в начале i-го, и проданное в конце j-го года, входят:

Pi - стоимость оборудования, купленного в начале i-го года. В сопоставимых ценах она не меняется: Pi = Pо = 100000 $. Курс национальной валюты на момент начала функционирования предприятия составляет 5000 руб. за 1 $.

mik - эксплуатационные расходы в k-ом году на оборудование, купленное в начале i-го года. В сопоставимых ценах mik = Po (b + d * (k - i)); здесь b - коэффициент начальных эксплуатационных затрат (отношение эксплуатационных расходов в течение первого года эксплуатации к стоимости оборудования в сопоставимых ценах); d - коэффициент годового прироста эксплуатационных затрат (отношение разности эксплуатационных расходов в течение первых двух лет эксплуатации к стоимости оборудования в сопоставимых ценах).

d = 0,2 / t; d = 1 / (6 t).

Sij - ликвидационная стоимость оборудования, купленного в начале i-го и проданного в конце j-го года. В сопоставимых ценах определяется из выражения:

Sij = max {0; Po * (1 - (j - i) / t)}.

Rj - затраты на ликвидацию оборудования в конце j-го года. Составляют 10% от стоимости нового оборудования на момент ликвидации старого.

Таким образом:

cij = Pi + mik + 0.1 Pi - Sij.

При вычислении суммы в подходе а) должна быть учтена ежегодная инфляция, коэффициент которой ai, определяемый как отношение цен в начале i-го года и следующего за ним, является в данном задании функцией номера года i и фамилии и инициалов студента. Значения коэффициента годовой инфляции должны быть получены каждым студентом самостоятельно из порядковых номеров букв его фамилии и инициалов Ni по следующей формуле:

ai = 1 + Ni/100.

Если фамилия и инициалы содержат меньше 8-и букв, то последовательность букв повторяется до заполнения всех 8-и лет.

Пример получения значений коэффициентов годовой инфляции для : ®

® 19, 10, 5, 16, 18, 16, 3,10® 1,19; 1,1; 1,05; 1,16 ;1,18; 1,16; 1,03; 1,1.

2. Порядок выполнения работы

1) вычислить значения годового коэффициента инфляции в течение срока функционирования предприятия. Построить график ai, дать общую характеристику инфляционных процессов на его основе;

2) составить граф всех возможных вариантов замены оборудования в течение всего срока функционирования предприятия. Узел графа с номером i должен соответствовать началу i-го года функционирования предприятия, а дуга [i, j] - процессу функционирования оборудования, купленного в начале i-го и проданного к началу j-го года, характеризуемому общими затратами cij - 1;

3) вычислить матрицу стоимостей для полученной сети C8.8 в подходах а) и б);

4) в обоих подходах с использованием алгоритма Дейкстры и демонстрацией его прямого и обратного ходов найти кратчайшую цепь из первого в девятый узел и составить оптимальный план замены оборудования с указанием общих затрат за весь период и график расходов на оборудование. Сравнить полученные результаты;

5) согласно п. п. 1-4 составить отчет, снабдить его титульным листом и сдать в установленные преподавателем сроки.

Задание 4. Маршрут перевозок.

1. Индивидуальное задание.

Составить для рекламного предприятия, состоящего из офиса с центром разработки и изготовления наружной рекламы и 4-х пунктов размещения с одинаковыми сроками смены рекламы, маршрут доставки, оптимальный по критерию минимума полного ежедневного пробега транспортного средства, стоянка которого находится в помещении офиса. Матрица пробегов между офисом (пункт № 1) и пунктами размещения (пункты № 2-5) должна быть получена каждым студентом самостоятельно из порядковых номеров букв его фамилии и инициалов. Полученными числами необходимо построчно заполнить матрицу (5´5), за исключением элементов главной диагонали, которые должны быть положены равными . Пример построения матрицы пробегов для :

Для определенности можно считать числа в полученной матрице расстоянием в километрах.

2. Порядок выполнения работы

1) с использованием алгоритма Литтла и демонстрацией его пошагового хода решения построить дерево маршрутов и получить оптимальный кольцевой маршрут ежедневной доставки товара в пункты реализации с товарного склада;

2) составить отчет согласно пункту 1, снабдить его титульным листом и сдать в установленные преподавателем сроки.