Математическое моделирование мощных и сверхмощных резонаторных СВЧ приборов О - типа

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
МОЩНЫХ И СВЕРХМОЩНЫХ РЕЗОНАТОРНЫХ СВЧ ПРИБОРОВ О-ТИПА.

Байков А. Ю.

Московская финансово-юридическая академия

1. Введение.

СВЧ электроника больших мощностей - это область науки и техники, которая занимается получением больших уровней мощности (от единиц киловатт до десятков и сотен мегаватт) в СВЧ диапазоне частот (от сотен мегагерц до десятков гигагерц). Основная задача СВЧ электроники больших мощностей - создание мощных и сверхмощных усилителей и генераторов СВЧ диапазона. Все такие приборы являются вакуумными, т. к. получить соответствующую плотность мощности можно только в вакууме.

Первая стадия разработки мощных СВЧ приборов - выбор конструкции и определение численных значений параметров выбранной конструкции на основе компьютерного моделирования. При этом адекватность и скорость компьютерной модели играет первостепенную роль. Любая модель достаточно адекватно описывает процессы в приборе не для любых значений входных параметров, а только для тех, которые находятся в некоторой области пространства параметров (в области адекватности). Найти область адекватности априори, как правило, не представляется возможным, поэтому одно из самых важных требований к модели прибора - максимально широкая область адекватности.

Традиционные математические модели клистронов можно разделить на 2 группы:

1) численные модели;

2) аналитические модели.

Численные модели, как правило, основываются на различных модификациях метода крупных частиц в сочетании с численно-разностными методами расчета электрических полей. Эти модели обладают достаточно большой областью адекватности, однако получить для них достаточно высокую точность можно только при малой скорости расчета.

Аналитические модели получаются в результате нахождения приближенных аналитических решений исходных уравнений модели в рамках тех или иных приближений. Область адекватности аналитических моделей, как правило, невелика, но точность внутри области адекватности может быть достаточно высокой. Главное же преимущество аналитических моделей - очень высокая скорость расчета (на 3-4 порядка больше, чем у численных моделей).

Для совмещения преимуществ численных и аналитических моделей был предложен новый класс моделей, названных дискретно-аналитическими[1]. В настоящее время дискретно-аналитическая модель разработана и реализована в виде комплекса компьютерных программ KlyP[2] для пролетных клистронов, широко используемых в системах радиолокации и дальней радиосвязи, в СВЧ-энергетике (объемный нагрев), в ускорительной технике (питание мощных ускорителей, включая коллайдеры) и во многих областях[3].

Как известно, принцип работы клистрона основан на преобразовании малой модуляции скорости электронов в глубокую модуляцию плотности в процессе прохождения электронного пучка через последовательность каскадов усиления, каждый из которых состоит из СВЧ-зазоров резонаторной системы и труб дрейфа.

Настоящий доклад посвящен краткому обзору численных и аналитических моделей клистрона и описанию дискретно-аналитической модели клистрона, а также обсуждению возможности построения дискретно-аналитических моделей других СВЧ-приборов.

2. Исходные уравнения модели клистрона.

Выведем исходную систему уравнений в одномерном приближении. Вопрос об учете двумерных и трехмерных эффектов рассматривать не будем, т. к. учет этих эффектов не увеличивает существенно область адекватности модели, а скорость расчета уменьшается на 1-2 порядка. Уравнения, которые будут далее получены, можно рассматривать как исходные и для аналитических, и для дискретно-аналитических, и для численных одномерных моделей.

Т. к. клистрон представляет собой последовательность автономных каскадов, то достаточно получить такую систему уравнений для одного каскада. Сначала рассмотрим простейший каскад, включающий один резонатор с зазором и одну трубу дрейфа, а затем обобщим полученные уравнения на каскад с многозазорной резонаторной системой.

Процесс прохождения пучка через каскад разбивается на 2 этапа - 1) прохождение через зазор (с возбуждением резонатора), 2) прохождение через трубу дрейфа.

2.1 Уравнения движения пучка в трубе дрейфа.

Рассмотрим сначала прохождение через одиночную трубу дрейфа. Усреднение по сечению позволяет рассматривать электронный пучок как одномерный поток "усредненных частиц", уравнение движения которых получается из уравнения Лоренца в результате усреднения по сечению. Пусть, t0 - время прибытия частицы на вход первого зазора, когда пучок еще однороден, т. е. t0 - это величина, маркирующая частицу.

Уравнение движения усредненных частиц в трубе в нерелятивистском приближении записывается в виде

(1)

где напряженность поля пространственного заряда, которая может быть найдена по известной функции Грина для трубы. В результате усреднения функции трехмерной Грина по сечению пучка получается одномерная функция Грина , свертка ее с плотностью заряда дает искомую напряженность поля пространного заряда

(2)

Для замыкания системы уравнений необходимо добавить уравнение, связывающее функцию с плотностью заряда . Эта задача легко решается, если порядок следования частиц друг за другом не нарушается, т. е. нет обгона одних частиц другими. В этом случае - монотонная функция , и плотность заряда выражается в виде

(3)

где - плотность тока в однородном пучке (одна из заданных констант).

Если же есть обгон (а режим с обгоном необходимо достаточно точно описывать, т. к. в противном случае область адекватности модели сильно сужается), то становится немонотонной функцией , и выражение (3) становится неприменимым. Для режима с обгоном можно воспользоваться моделью крупных частиц, считая, что пучок состоит из дискретного набора частиц, каждая из которых несет в себе соответствующую долю общего заряда, т. е., распределение плотности заряда имеет вид

, (4)

где -средняя скорость пучка, - координата центра s-й частицы, а - заданная функция своего аргумента. Условия симметричности частицы и однородности потока в начальный момент времени приводят к выводу, что функция может быть только кусочно-линейной. Наиболее общий вид такой зависимости - равнобедренная трапеция, включая прямоугольник и треугольник в качестве предельных случаев.

Однако более общим способом решения задачи является перевод выражения (2) в лагранжеву систему координат:

, (5)

где - производная функции по ее аргументу.

Подстановка выражения (5) в уравнение (1) сводит задачу к одному уравнению.

Система уравнений (1), (2), (3) описывает прохождение пучка через трубу дрейфа при условии движения без обгона, система уравнений (1), (5) позволяет решить ту же задачу в общем случае.

Кроме системы уравнений необходимы начальные условия, в качестве которых должны быть заданы функции - время прибытия частицы на вход данной трубы дрейфа и - скорость частицы на входе в эту же трубу.

2.2. Уравнения взаимодействия пучка с СВЧ полем одиночного резонатора.

Рассмотрим теперь процесс прохождения пучка через зазор и процесс возбуждения резонатора.

СВЧ напряжение как функцию времени можно представить в виде

, (6)

где k1 - номер основной рабочей гармоники (обычно k1=1, но бывает k1=2), kg - номер последней учитываемой гармоники (чаще всего k1=kg), Uk - комплексная амплитуда k-й гармоники СВЧ-напряжения, w - СВЧ-частота, t - текущее время, i - мнимая единица. Предположим, что нам известно пространственное распределение СВЧ поля в зазоре, т. е. функция (ее можно получить из решения электродинамической задачи). Тогда известна зависимость напряженности СВЧ поля в зазоре от координаты и времени

, (7)

где d - протяженность зазора.

Уравнение движения частиц в зазоре запишется в виде

(8)

где , как и в уравнении (1), - поле пространственного заряда. Т. к. протяженность зазора мала по сравнению с длиной трубы дрейфа и примерно равна диаметру трубы, то можно считать, что функциональный вид зависимости в зазоре такой же, как и в трубе дрейфа, т. е. определяется выражением (2).

Для определения величин необходимо использовать уравнение возбуждения резонатора, которое можно представить в виде закона Ома для комплексных амплитуд

(9)

где - комплексная амплитуда внешнего возбуждающего тока (если резонатор является входным), - импеданс резонатора на k-й гармонике, - комплексная амплитуда тока пучка (для упрощения записи индекс k у амплитуд тока опущен).

Величина получается в результате усреднения по зазору и разложения в ряд Фурье мгновенной силы тока I(z, t), получающийся из функции t(z, t0 ). Опуская промежуточные выкладки, приведем выражение, определяющее :

(10)

Уравнения (2), (7), (8), (9), (10) составляют полную систему уравнений, описывающих в одномерном приближении самосогласованное взаимодействие электронного пучка с электромагнитным полем в процессе прохождения через зазор резонатора.

2.3. Уравнения взаимодействия пучка с СВЧ полем многозазорной резонаторной системы.

Многозазорную резонаторную систему можно рассматривать как совокупность одиночных резонаторов, электродинамически связанных между собой. Зазоры таких резонаторов разделяются трубами дрейфа. В результате последовательного воздействия СВЧ полей во всех зазоров и трансформации в трубах дрейфа, пучок значительно изменяется. Возбуждается же система как единое целое, токами во всех зазорах сразу, а эти токи, в свою очередь, определяются модуляцией пучка в процессе его движения.

Многозазорную систему можно описать теми же уравнениями, что и однозазорную, если несколько изменить смысл обозначений. Так, в уравнении (9) , и следует интерпретировать как комплексные векторы размерности n, где n-число зазоров; s-й компонентой вектора будут величина, определяемая выражением (10), вычисленная для s-го зазора; . становится комплексной матрицей размерности , каждый элемент которой определяется влиянием тока в одном зазоре на амплитуду СВЧ напряжения в другом. Элементы матрицы находятся в результате решения электродинамической задачи и могут рассматриваться как заданные величины. Величины из уравнения (7) также должны рассчитываться в каждом зазоре. С учетом сделанных замечаний систему уравнений (2), (7)-(10) можно использовать для описания многозазорной резонаторной системы.

3. Численные и аналитические модели клистрона.

Численные модели клистрона основаны на конечно-разностных методах решения систем уравнений (1), (2), (4) и (2), (7)-(10). Т. к. эти системы весьма сложны, решение их численными методами занимает весьма много времени даже на быстродействующих компьютерах. Кроме того, существуют и факторы, понижающие точность расчета. Отметим некоторые из них.

·  Коэффициент усиления клистрона очень велик (50 дб и более). Таков же и коэффициент усиления вычислительных погрешностей в первом каскаде. Такое усиление погрешностей часто приводит к значительным ошибкам в расчете выходных характеристик прибора.

·  При решении системы (1), (2), (4) на каждом шаге для каждой частицы требуется знать напряженность поля, создаваемого частицами впереди нее. Это требует либо экстраполяции, понижающей точность, либо итерационной процедуры, существенно увеличивающей время расчета без гарантий сходимости.

·  Решение системы уравнений (2),(7)-(10) требует итерационной процедуры, которая часто не сходится.

·  Таким образом, численные методы, требуя очень большого времени расчета, совсем не гарантируют высокую точность.

Аналитические модели основаны на внесении дополнительных предположений, позволяющих получить решения исходных систем уравнений в виде элементарных функций.

Рассмотрим аналитическую модель клистрона, состоящего из каскадов с одиночными резонаторами [4 ]. В рамках этой модели используются следующие дополнительные предположения.

1.  Модуляции скорости и плотности заряда малы, т. е. , , , ,

2.  Модуляции скорости и плотности заряда близки к синусоидальным.

3.  Амплитуды СВЧ напряжений в зазорах резонаторов малы по сравнению с ускоряющим напряжением .

4.  Функция в выражении (7) является прямоугольником, который при расчете изменения скорости частиц можно представить-функцией (приближение бесконечно тонкого зазора).

Все эти предположения очень хорошо выполняются для первых каскадов клистрона. Для последующих каскадов точность этих предположений уменьшается, но, с другой стороны, уменьшается и влияние ошибок расчета на окончательный результат.

Предположения 1 и 2 позволяют преобразовать выражение (2) в дифференциальное на основе теоремы о среднем, представить функцию в виде , линеаризовать уравнения относительно и сделать замену . В результате получится решение системы уравнений (1)-(3) в виде

(11)

где и - переменные составляющие скорости и координаты в какой-то фиксированный момент времени . Величина , которую часто называют "плазменной" частотой (с этой терминологией можно поспорить) определяется выражением

(12)

и представляет собой частоту волны пространственного заряда в узкой трубе.

Т. к. задача состоит в нахождении функции , то выражение (11) следует обратить, что легко сделать в линейном приближении:

, (13)

где константа и функция являются "фрагментами" заданной функции - времени прибытия частицы в плоскость .

Предположения 3 и 4 позволяют описать прохождение пучка через зазор резонатора. В этих предположениях считается, что каждая частица двигается в трубе до центра зазора, не испытывая действия СВЧ поля, затем в центре зазора подвергается СВЧ воздействию и скачкообразно изменяет свою скорость, затем продолжает двигаться в трубе. Таким образом, реальный протяженный зазор заменяется системой "фрагмент трубы длины "+"бесконечно тонкий зазор"+"второй фрагмент трубы длины ". Изменение скорости считается таким же, какое было бы в реальном зазоре без учета действия пространственного заряда, проинтегрировав уравнение (8) при , можно найти это изменение:

(14)

где - так называемая эффективная протяженность зазора - область, в которой существует СВЧ поле. Из-за провисания СВЧ поля в трубу . Локализация СВЧ поля в бесконечно тонком зазоре позволяет решить независимо задачу прохождения пучка через зазор и задачу возбуждения резонатора пучком. Т. к. время прибытия частиц в центр зазора не зависит от амплитуды СВЧ напряжения, то, соответственно, амплитуда возбуждающего тока, также не зависит от этого напряжения, поэтому можно последовательно найти амплитуду тока из выражения (10), а затем амплитуду СВЧ напряжения из выражения (9). При этом интеграл по в (10) берется аналитически, остается только вычислить интеграл по .

4. Дискретно-аналитическая модель клистрона.

Идея дискретно-аналитической модели заключается в том, чтобы использовать аналитические формулы типа (12), (14), но при этом максимально расширить область адекватности модели.

Рассмотрим сначала модель зазора. Модель бесконечно тонкого зазора адекватна только для малых амплитуд СВЧ напряжения (это условие выполняется только для первых резонаторов клистрона) и для малых протяженностей зазора. Обобщим модель бесконечно тонкого зазора. Разобьем эффективный зазор (область существования СВЧ поля) на одинаковых областей протяженности , которые назовем парциальными зазорами. Будем считать, что в -м зазоре действуем СВЧ напряжение -й гармоники с амплитудой , так что . При этом значение должно быть пропорционально значению функции в центре -го парциального зазора. При достаточно большом для каждого парциального зазора выполняется и условие малости амплитуды , и условие малости протяженности , поэтому для каждого парциального зазора модель бесконечно тонкого зазора оказывается адекватной.

Рассмотрим прохождение пучка через реальный зазор как прохождение через последовательность бесконечно тонких зазоров, разделенных короткими (длины ) трубами дрейфа. Для каждого такого зазора можно использовать выражение (14), причем, при большом относительном изменении скорости в парциальном зазоре (это возможно, например, в выходном резонаторе клистрона при сильном торможении) в выражении (14) среднюю скорость следует заменить текущей скоростью и применить итерационную процедуру.

Для расчета амплитуд СВЧ напряжения из уравнения (9) в дискретно-аналитической модели (в отличие от аналитической) требуется итерационная процедура.

Труба дрейфа в дискретно-аналитической модели разбивается на короткие фрагменты (парциальные трубы) длины . Это позволяет для каждой парциальной трубы применить итерационную процедуру при расчете времени прибытия частиц с учетом влияния пространственного заряда. В простейшем случае появляется возможность использовать вместо выражения (13) более адекватное выражение (11). Более точно учесть влияние пространственного заряда можно, воспользовавшись, начиная со второй итерации, решением системы уравнений (1), (5).

Дискретно-аналитическая модель позволяет единым образом описывать и однозазорные, и многозазорные каскады (это очень важно, т. к. использование многозазорного выходного каскада позволяет значительно расширить полосу усиления клистрона). При этом возникает трудность, связанная с расходимостью итерационной процедуры расчета СВЧ напряжений. Эта трудность преодолевается заменой итерационной процедуры на процедуру ЛПt -поиска [5].

В дискретно-аналитической модели учитываются и релятивистские эффекты. Обычный диапазон величины ускоряющего напряжения клистрона -кВ, для таких напряжений релятивистские эффекты носят поправочный характер, изменяя массу частиц и углы пролета. Релятивистская поправка учитывается для пучка в целом, разница скоростей близко расположенных частиц считается нерелятивистской величиной, поэтому корректируются только величины и в выражениях (11) и (14). Отметим, что такое приближение во многих случаях остается справедливым и при значительных энергиях электронов (например, в ускорителях-антиклистронах).

Дискретно-аналитическая модель была реализована в виде комплекса программ KlyP. Расчеты по программе KlyP большого количества (около 20) разработанных и изготовленных мощных и сверхмощных клистронов, и сравнение их выходных характеристик с результатами расчетов, показали, что дискретно-аналитическая модель обеспечивает очень высокую степень адекватности при скорости расчета на 1-2 порядка выше, чем у численных моделей.

Т. к. точность расчета зависит от размеров парциальных зазоров и парциальных труб, варьируя эти размеры, можно добиться оптимального компромисса между скоростью и точностью расчета. Для разных каскадов можно задавать разную мелкость разбиения, что делает модель очень гибкой и легко настраиваемой. Фактически дискретно-аналитическая модель может регулироваться от "почти аналитической" до "почти численной".

Комплекс программ KlyP был использован для синтеза перспективных конструкций клистрона с рекордными значениями выходных параметров. При этом KlyP в силу возможности настройки модели, а также многофункционального графического интерфейса является очень хорошим инструментом для детального исследования физических процессов в мощных клистронах [6]-[7].

Кроме клистронов программа KlyP дает возможность синтезировать другой важный класс мощных вакуумных приборов - антиклистроны, ускорители электронов (в таких приборах часть резонаторов возбуждается внешними СВЧ источниками и служат для ускорения электронов).

Дальнейшая работа по уточнению и развитию дискретно-аналитической модели клистрона и программного комплекса KlyP может идти в нескольких направлениях

1.  Уточнение модели пространственного заряда на основе построения точного и эффективного алгоритма решения системы уравнений (1), (5).

2.  Учет двумерных и трехмерных эффектов на основе решения трехмерных уравнений движения электронов в заданных электрическом м магнитном полях; распределение электрического поля, включая как пространственный заряд, так и СВЧ составляющую, при этом может быть взято из решения одномерной задачи (этого достаточно, т. к. необходим только механизм контроля, подтверждающий, что двумерные и трехмерные эффекты не существенны).

3.  Разработка методов поиска глобального экстремума для оптимизации АЧХ клистрона. Эта задача может быть решена при помощи методов многомерного зондирования типа ЛПt-оптимизации.

5. Математические модели для других резонаторных приборов О-типа.

Дискретно-аналитическая модель позволяет описать различные приборы О-типа со скоростной модуляцией (клистрон, ускоритель, гибридные приборы). Существует еще один класс резонаторных усилителей и генераторов О-типа - приборы с модуляцией эмиссии. Это хорошо известные сеточные тетроды, пентоды, а также новые приборы - клистроды, IOT, резотроды [8], [9].

С точки зрения математического моделирования такие приборы, с одной стороны проще клистронов, т. к. имеют значительно меньше каскадов усиления (как правило, только 2 - входной и выходной), но с другой стороны - сложнее, т. к. процессы формирования сгустка во входном каскаде в таких приборах - двумерные, а иногда и трехмерные. Это объясняется тем, что в таких приборах реализуется СВЧ модуляция электрического поля в электронной пушке, а это поле имеет сложную пространственную конфигурацию. Таким образом, в отличие от клистронов, двухмерность процессов в приборах с модуляцией эмиссии (особенно в резотродах) является существенной и должна быть отражена в математической модели такого прибора.

В настоящее время известны коммерческие программы, реализующие численные модели СВЧ для таких приборов (например, MAFIA [10 ]). Главный недостаток таких программ - очень большое время расчета - несколько часов для одного варианта, даже на хороших компьютерах. Следует отметить программу RITA - разработку Рязанской радиотехнической академии. Заложенные в этой программе алгоритмы позволяют моделировать прибор в несколько раз быстрее, чем по другим численным моделям, однако скорость расчета все равно недостаточна для полноценной оптимизации прибора. При помощи программы RITA был впервые смоделирован островковый эффект, положенный в основу резотрода. [11]

Весьма перспективным направлением выглядит построение для приборов с модуляцией эмиссии математической модели, использующей идеи дискретно-аналитической модели. Такая работа была начата [12], но для ее завершения необходима еще очень большая работа. Результатом этой работы должен стать инструмент, который даст возможность проектировать и оптимизировать сверхмощные СВЧ приборы нового поколения [13].

Литература

1.  Байков А. Ю.,
Дискретно-аналитическая модель клистрона. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию изобретению радио, Москва, май 1995.

2.  2. Байков А. Ю., Ильясов Х. Х., .Петров Д. М
KLYP - новая быстродействующая программа расчета клистрона тезисы Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, октябрь 1994, с. 7‑8.

3.  Артюх И. Г., Байков А. Ю., Петров Д. М. .Высокоэффективные пролетные клистроны. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной дню радио, Москва, май 1997

4.  Гайдук В. И., Палатов К. И., Петров  основы электроники СВЧ. - М.: Сов. радио, 1971.

5.  , Статников оптимальных параметров в задачах со многими критериями. - М.: Наука,1981.-112с.

6.  6. Bajkov A. Yu., Petrov D. M Problems of combination of broad band and high efficiency of klystron. International University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-high Frequencies", St. Petersburg, May 24‑28, 1999, p. 1‑4

7.  Bajkov A. Yu., Petrov D. M. Problems of creation powerful and super-power klystrons with efficiency up to 90%. International University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-high Frequencies", St. Petersburg, May 24-28, 1999, p.5‑8

8.  Байков А. Ю., Петров  регенеративный усилитель электромагнитных колебаний. Патент RU N2150766 С1, 10.06.2000. бюл. №16

9.  9. Байков А. Ю.,.Петров Д. М Возможности создания и перспективы применения мощных усилительных и генераторных резотродов Тезисы докладов LVI всероссийской научной сессии, посвященной Дню радио, Москва, 16-17 мая 2001г., т.2., с 303-305

10.  U. Becker, T. Weiland, M. Dohlus, S. Lütgert, D. parison of CONDOR, FCI and MAFIA Calculations for a 150MW S-Band Klystron with Measurements.: http://accelconf. web. cern. ch/AccelConf/p95/contents. html

11.  Козлов В. Н., Петров Д. М., Сомов С. В., Федяев  островного эффекта. //Электронное приборостроение. Тезисы докладов научно-технической конференции 22-24 апреля 1988г., с.72.

12.  12. Байков А. Ю., Ильясов Х. Х., Петров  компьютерного моделирования приборов с ВЧ/СВЧ модуляцией эмиссии. Тезисы докладов LVI всероссийской научной сессии, посвященной Дню радио, Москва, 16-17 мая 2001г., т.2., с. 314‑316

13.  Байков А. Ю.,.Петров Д. М О возможности создания гибридного многомодульного многолучевого прибора – источнка СВЧ импульсов гигаваттной мощности. Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, СГТУ, 18-19 сентября 2002, с. 118-121