Система оценивания демонстрационного варианта по математике

Система оценивания демонстрационного варианта по МАТЕМАТИКЕ

Часть 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом, если ответ неверный или отсутствует – 0 баллов. Задание части 1 считается выполненным правильно, если вписан верный ответ.

№ задания	Ответ
В1	12
В2	-2
В3	-5
В4	53
В5	2,25
В6	6
В7	12
В8	0,75
В9	128
В10	4000
В11	243
В12	15
В13	0,92

Часть 2

Ответы к заданиям Части 2

Задания	Ответ	Максимальное количество баллов
С1	, nZ	2
С2		2
С3	х = -0,25	3
С4		3
С5		4
С6	1 и 1045	4
Итого	18

Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. Если решение ученика удовлетворяет этим требованиям, то ему, в зависимости от полноты и правильности выполнения, выставляется определенное критериями количество баллов. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций.

С1. Решите систему уравнений

Решение: Пусть sin x = t. Тогда первое уравнение примет вид 2t2 - 5t = 0, откуда t = 0 или t = 2,5. Уравнение sin x = 2,5 не имеет корней, так как sin x

Из второго уравнения системы следует, что cos x 0. Тогда из уравнения sin x = 0 получаем: х = 2n, nZ и cos x = 1.

Второе уравнение примет вид , откуда y = .

Ответ: , nZ.

Возможна другая форма записи ответа: х = 2n, nZ, y = .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	2
Получен ответ, но решение неверно только из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения cosx (sinx)	1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям	0
Максимальный балл	2

С2. Докажите, что диаметр окружности, проведённый через середину хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде.

Решение:

OE - медиана треугольника COD. Так как OC = OD, треугольник COD - равнобедренный. Следовательно, OE является высотой треугольника COD. Поэтому AB CD.

Содержание критерия	Баллы
Выполнен верный чертёж, ход доказательства верный, все его шаги выполнены правильно	2
Выполнен верный чертёж, доказательство содержит неточности	1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям	0
Максимальный балл	2

С3. Решите уравнение .

Решение: Данное уравнение равносильно трём системам:

(1) (2) (3)

Решая уравнение из системы (1) получаем х=-0,25. Корень уравнения удовлетворяет условию х 1,25.

Решая уравнение из системы (2) получаем х=0,75. Корень уравнения не удовлетворяет условию 1,25< х 1,5.

Решая уравнение из системы (3) получаем х=0,375. Корень уравнения не удовлетворяет условию х > 1,5.

Ответ: х=-0,25.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	3
Получен ответ, но в записи допущена погрешность, которая может быть расценена как описка	2
Получен ответ, отличающийся от верного наличием посторонних корней	1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям	0
Максимальный балл	3

С4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой A1B1.

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от прямой A1B1 до параллельной ей прямой FС.

Опустим из точки A1 перпендикуляр A1М на прямую FС. Точка М лежит в плоскости AA1E1, перпендикулярной прямой FС. Поэтому точка М лежит на пересечении АЕ и FС, а значит, является серединой АЕ.

В AFE =1200. По теореме косинусов: АЕ2 = 12 +cos 1200.

Значит, АЕ=, АМ=. Из прямоугольного треугольника АA1М получаем A1М=.

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	3
Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный ответ только из-за вычислительной ошибки	2
Искомое расстояние указано верно, но решение по его нахождению не закончено	1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям	0
Максимальный балл	3

С5. Решите неравенство:

Решение: Разложим квадратные трёхчлены на множители:

(х-2)2+1>0 при всех х. Следовательно,

Решая методом интервалов, получаем х < 1 или 2 < x 4.

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек	3
Получен один из верных промежутков	2
Ход решения верный, но допущены ошибки	1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям	0
Максимальный балл	4

С6. Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение:

1. Если все числа взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

11(2+…+6)+5(10+…+20)=11+5=55=1045.

2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней – нечётно, причём это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечётной, а значит, не будет равна 0.

3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:

11(−2 + 3 − 4 + 5 − 6) + 5(10 + 11 − 12 − 13 + 14 + 15 − 16 − 17 + 18 + 19 − 20) =

= −11 · 4 + 5 · 9 = − 44 + 45 = 1.

Ответ: 1 и 1045.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)	3
Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от 0	2
Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что она всегда отлична от 0	1
Другие случаи, не соответствующие перечисленным выше критериям	0
Максимальный балл	4