«Самостоятельная работа на уроке математики как средство развития математического мышления учащихся»

Управление образования администрации

Прохоровского района

Районный методический кабинет

«самостоятельная работа на

уроке математики

как средство развития математического мышления

учащихся».

(Из опыта работы ,

учителя математики

МОУ «Береговская СОШ»)

Прохоровка - 2010

НАИМЕНОВАНИЕ ОПЫТА

Самостоятельная работа на уроке математики как средство развития математического мышления.

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

5-11 классы общеобразовательной школы

УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

В МОУ «Береговская СОШ» Прохоровского района Белгородской области обучается 175 учеников. Организован подвоз учащихся из отдалённых Береговского и Первомайского отделений. В школе 12 классов -комплектов, из них 8 среднего и старшего звена. Школа работает в едином учебно - воспитательном режиме, направленным на воспитание гармонично развитой личности.

ОБОСНОВАНИЕ АКТУАЛЬНОСТИ И ПЕРСПЕКТИВНОСТИ ОПЫТА

Современная жизнь предъявляет весьма значительные требования к знаниям граждан и их умению работать. Безвозвратно прошло то время, когда было можно прожить всю жизнь, используя лишь те профессиональные знания и навыки, которые были приобретены в детстве и юности. наших глазах отмирают многие старые профессии и появляются новые, о которых ещё совсем недавно никто не помышлял. Вот почему в наше время так важно выработать умение учиться самостоятельно; учиться постоянно и после школы, и после университета.

На выработку этого качества у учеников направлена моя работа.

Всё дело в том, чтобы не довольствоваться тем умением, которое выработал в нас прежний наш опыт, а идти непременно дальше, добиваться непременно большего, переходить от более лёгких задач к более трудным. Без воспитания стремления к познанию, желания узнать нечто новое, как в своей профессии, так и за её пределами едва ли следует считать школьное образование совершенным и завершённым. Поэтому необходимо приучать учащихся с первых лет обучения к книге, к чтению не только художественной литературы, но и литературы научной и технической. Такая привычка, полученная в детстве и юности, сохранится на всю жизнь и будет серьёзной поддержкой, в какой бы области деятельности не пришлось трудиться бывшему воспитаннику школы.

Изобретения и научные открытия буквально врываются в нашу жизнь, в наш повседневный быт. То, что ещё вчера было предметом научных исследований, сегодня уже используется миллионами людей и воспринимается как нечто само собой разумеющееся, без чего невозможно существовать. Различные научные направления и области деятельности взаимно влияют друг на друга. Именно поэтому так важно прививать учащимся в школе убеждение в единстве научных знаний и в необходимости, например, для будущего врача не только знаний биологии, но и физики, химии, математики, а также совершенного владения речью, умение чётко и кратко формулировать свои мысли.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ БАЗА ОПЫТА НОВИЗНА ОПЫТА

Опыт своей работы можно определить как репродуктивно-рационализаторский. В основе технологии обучения лежат идеи современных мастеров педагогического труда, учителей - новаторов и личный опыт. В своей работе опираюсь на опыт Р. Хазанкина, который является автором технологии обучения в математике на основе решения задач, которая основана на следующих концептуальных положениях: 1) личностный подход, педагогика успеха, педагогика сотрудничества; 2) обучать математике = обучать решению задач; 3) обучать решению задач = обучать умениям типизации + умение решать типовые задачи; 4) индивидуализация обучения «трудных» и «одарённых»; 5) органическая связь индивидуальной и коллективной деятельности; 6) управление общением старших и младших школьников; 7) сочетание урочной и внеурочной работы.

В системе учебных занятий особое сочетание имеют не традиционно построенные урок - лекция, уроки решения

«ключевых задач» (вычленение минимального числа основных задач по теме, решение задачи различными методами, решение системы задач, самостоятельное составление задач, участие в конкурсах и олимпиадах), уроки - консультации ( вопросы учащихся по заранее заготовленным карточкам, работы с карточками: анализ, обобщение, дополнение карточек), зачётные уроки (выполнение индивидуального задания, коррекция при работе в паре до полного понимания, выставление оценок за ответ по теории, за решение задачи с карточки, за ведение тетради).

Разделяю концепции проблемного обучения. (Лернер, Скаткин, Махмутов), теорию дифференцированного обучения (Н. Гузик, И. Первин, В. Фирсов и др).

ВЕДУЩАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ИДЕЯ

Ведущей педагогической идеей моей работы является сотрудничество педагога и ученика в процессе обучения математике на основе взаимного доверия и уважения:

- учение без принуждения;

- максимальная помощь ученику;

- свободный выбор;

- идея коллективного творчества;

- сотрудничество родителя, педагога, ученика. Основную цель работы вижу в овладении учащимися конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования, для изучения смежных дисциплин.

Реализация этой цели осуществляется по средствам системы взаимосвязанных компонентов, отражающих организацию собственной деятельности и познавательной деятельности учащихся:

- создание календарно-тематических планов уроков;

- усвоение учебного материала организуется в процессе выполнения заданий в условиях оптимального для данного класса сочетания фронтальной, индивидуально - групповой и индивидуальной форм;

- создание благоприятных морально - психологических условий обучения, ситуаций психологического единства в классе, внутреннего комфорта каждого ученика на основе посильности предъявляемых требований.

ТЕХНОЛОГИЯ ОПЫТА

Какие бы новые веяния, рождённые требованиями времени, ни проникали в школу, как бы ни менялись программы и учебники, формирование культуры мышления учащихся всегда было и остаётся одной из основных общеобразовательных и воспитательных задач. Как отметил академик , автор учебника геометрии, «...очень немногие из оканчивающих школу будут математиками. Однако вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать». Эти мысли я полностью разделяю.

Рассуждать, анализировать и доказывать вот то главное, чему должен научить каждый учитель.

Опыт моей работы в школе показал, что успешное овладение учениками школьным курсом математики связано не с отсутствием способностей ребят, а с отсутствием навыков самостоятельной работы. Если на уроке школьнику всегда поможет учитель, то дома такой поддержки нет. Значит надо так построить свою работу, чтобы ученик при возникновении трудностей мог самостоятельно их преодолеть. Главным здесь является опора на предыдущие знания, которые лежат в основе всего последующего. Это как лестница. Без опоры на очередную ступень нельзя подняться выше.

Особое внимание при таком подходе я уделяю слабым ученикам. Они должны почувствовать, что на них не махнули рукой, а в их возможности верят. Ученик слаб не потому, что он не способен справиться с курсом, а потому что он запустил основы, не вник в необходимые понятия, не привык самостоятельно размышлять и доводить до конца начатые рассуждения. В тоже время я не забываю о сильных учениках. С ними я строю работу так, чтобы они почувствовали уверенность в своих внутренних возможностях. Поэтому главная для меня задача-формирование навыков самостоятельной работы. Для решения этой задачи я разработала следующую методическую основу опыта моей работы.

Если ученик научился самостоятельно изучать новый материал, пользуясь учебником или какими - то специально подобранными заданиями, то будет успешно решена задача сознательного овладения знаниями. Знания, которые усвоил ученик сам, значительно прочнее тех, которые он получил

после объяснения учителя. Здесь решается и воспитательная задача привития навыка самостоятельности в работе вообще, возможности в дальнейшем самостоятельно ликвидировать пробелы в знаниях, расширять знания, творчески применять их в решении каких-то практических задач.

Потому одним из важных и распространенных видов

является работа над книгой (учебником). На уроках я

использую такой прием работы, как обсуждение

прочитанного материала.

Анализ. Этот приём является сильным средством развития

самостоятельности учащихся. Обсуждение прочитанного

проявляется в форме беседы, в ходе которой учитель ставит

учащимся вопросы.

Так, например, в 5 классе по пункту «Сложение и

вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»

ученикам предлагаю прочесть два первых абзаца этого

пункта.

Учитель: В тексте, который вы прочли, приводится пример

разделения буханки хлеба на части. Что особенного при

этом было? На какие части разрезали буханку хлеба?»

Ученики: «Буханку разрезали на 8 частей».

Учитель: «Какими были эти части?»

Ученики! «Эти части были между собой равными».

Учитель: «На тарелку положили 2 части буханки хлеба.

Сколько на тарелке хлеба?»

Ученики: «2/8 буханки».

Учитель: «А как записать, что на тарелку решили положить

еще 5 частей буханки?.

Ученики: «5/8 буханки»

Учитель: «Сколько частей буханки теперь находится на

тарелке?»

Ученики: «7/8 буханки»

Учитель: «А как было получено это число?»

Ученики: «2/8+5/8».

Учитель: «Запишите этот результат в виде равенства».

Ученики записывают 2/8+5/8=7/8

Учитель: «Теперь сформулируйте правило сложения дробей

с одинаковыми знаменателями».

Далее ученикам предлагаю самим составить несколько

аналогичных заданий и решите их.

Также использую такой приём, как самостоятельное

составление плана прочитанного, который может быть

использован при подготовке и ответу.

Пример такого плана по тексту П.41 «Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник. »

1. Угол.

2. Сторона угла.

3. Вершина угла.

4. Обозначение угла.

5. Сравнение углов путем наложения.

6. Равенство углов.

7. Луч, проведенный из вершины угла.

8. Развернутый угол.

9. Построение прямого угла.

Прием выявления существенного.

Работа с оглавлением и предметным указателем не вызывает особых трудностей, но важна для воспитания у учащихся умения работать с учебной книгой. Для этого создаю специально ситуации, в которых ученику было необходимо найти соответствующее место в учебнике. Примеры создания таких ситуаций. После изучения уравнений и неравенств ученикам предлагала вопрос: «Что называют уравнением?» Тем, кто затруднялся ответить на этот вопрос, предлагала самостоятельно, пользуясь оглавлением, найти пункт «Уравнение» и прочесть там, что называют уравнением. Если ученик ошибается при измерении и построении углов - а эта ошибка свидетельствует, что у ученика нет навыка в использовании транспортира, - то ему предлагаю самостоятельно найти по оглавлению пункт 42 «Измерение углов. Транспортир» прочесть его и затем вновь попытаться решить заданную ему задачу.

ПРИЁМ СРАВНЕНИЯ И КОНКРЕТИЗАЦИИ

Работа с рисунками и иллюстрациями. Например, едва ли

найдется лучший прием, приводящий быстрее всего к цели,

чем рисунки с чашечными весами при формировании понятия «уравнения». При этом сам термин «уравнение» с помощью такого рисунка получает разъяснение (уравнивать, уравновесить, сравнить). Чертежи и рисунки, схемы позволяют учащимся в ряде случаев не только самостоятельно найти решение задачи, но и перейти от учебных задач и задачам прикладного характера.

Работа над понятием, термином. Правильному пониманию того или иного понятия способствует самостоятельный поиск в соответствующих словарях происхождения соответствующего термина («уравнение», «биссектриса», «краткое» и т. д.)

ПРИЁМ ОБОБЩЕНИЯ

Не менее распространенным видом самостоятельных работ является выполнение письменных работ на уроке. К ним отношу:

1. Выполнение упражнений, решение задач на

закрепление пройденного материала. Так, например, минимальные требования к знаниям, умениям учащихся при изучении темы «Законы сложения» включают знания переместительного и сочетательного законов, умение записывать их с помощью букв и применять их при вычислениях. Поэтому закрепление этого материала направлено на: а) формирование у учащихся умение записывать законы сложения с помощью букв; б) обучение применять законы сложения для получения верных равенств из данного и для вычисления рациональным способом значения (числовых) выражений. Примеры предлагаю разной степени сложности, и используя дифференцированный подход. Предлагаю ребятам индивидуальные, фронтальные, групповые самостоятельные работы. Провожу самостоятельные работы на различных этапах уроках: после объяснения нового материала (воспроизводящие), во время этапа закрепления и в качестве домашнего задания (прием конкретизации полученных знаний).

Так текущая проверка выполняет не только контролирующую, но и обучающую, развивающую, воспитывающую и управляющую функцию.

Систематическая проверка способствует выработке у школьников установки на длительное запоминание, на выполнение пробелов в их подготовке, на выполнение и включение ранее приобретённых знаний в новую систему. Часто в своей практике применяю самостоятельные работы на этапе обобщения и систематизации знаний учащихся, в которых использую задания разноуровневого характера.

(Разработка урока по теме «Сложение и вычитание смешанных чисел " (6кл); разработка урока «Действия с рациональными числами» ( 6кл); урок - зачёт по теме «Первообразная и интеграл» в форме игры «Счастливый случай» (11кл)). Практикую, чтобы сами учащиеся составляли задачи и упражнения. Ведь составление задач является процессом творческого поиска, способствующим развитию оригинальности мышления. Развиваю стремление придумать задачу не похожую на задачу учебника.

Нравятся ребятам практические работы на местности:

1) Измерить длину, ширину и высоту модели прямоугольного параллелепипеда и вычислить его объём.

2) Измерить длину, ширину и высоту классной комнаты и вычислить её объём.

3) Измерить длину, ширину своей комнаты. Начертить в тетради план этой комнаты в масштабе 1:100

4) Построить на местности отрезок длиной 100м

5) Найти расстояние между городами (г. Санкт-Петербург и г. Москва) с помощью географической карты.

Также организую работу над ошибками. В этой работе не ограничиваюсь решением того же примера или задачи, в которых ученик сделал ошибку. Выполняем задания, аналогичные тем, в которых были допущены ошибки, возвращаясь к этой работе с тем, чтобы быть уверенным, что учащийся понял, в чём заключается правильное решение или правильный ответ. В последние годы в практике обучения математике широкое распространение получило «создание проблемной ситуации». Почти каждая задача включает в себя какую-то проблему. При разрешении проблемы стараемся обсудить различные предложения учащихся. даже если эти предложения на первый взгляд «нелепы». Например, при выведении правила округления чисел (гл. II, п.33, стр. 272) рассматривается неравенство 3<3,7<4. От учеников на вопрос о том, каким натуральным числом лучше всего заменить 3,7 поступают 2 предложения: а) число 3; б) число 4.

«Обоснованием» того, что надо взять число 3 може1 служить такой аргумент: при округлении чисел, надо отбрасывать десятичные знаки и ни о чём больше не думать - это самый лёгкий путь. И такой аргумент не лишён смысла. Но будет ли этот аргумент наилучшим с математической точки зрения - этот вопрос обсуждается. И далее идёт разговор в плане той аргументации, которая представлена в учебнике.

Одним из видов самостоятельной работы является выполнение домашних заданий.

С целью обеспечения самостоятельности выполнения домашних заданий и предупреждения перегрузки учащихся на уроках уделяю внимание обучению учащихся: а) алгоритмам действий;

б) решению текстовых задач (математизация ситуаций);

в) выполнению практических работ на вычисления и построения; изготовлению моделей, выполнению рисунков, схем, таблиц и т. д.

В конце каждого урока, особенно в 5,6, а так же 7 классах комментирую домашнее задание.

В процессе обучения действуют два вида связи: прямая

от учителя к ученикам - и обратная - от учащихся к учителю. Я использую взаимную проверку знаний учащимися.

При выполнении самостоятельной работы проверку осуществляю с помощью консультантов, которых назначают из числа хорошо успевающих учеников. Каждому ряду назначаю консультанта.

Практикую назначение ассистентов так же из числа

успевающих учеников. Ассистенты не выполняют работу, а сразу проверяют ход работы у учащихся. А я в это время наблюдаю и оцениваю деятельность и учащихся, и ассистентов, и провожу индивидуальную работу с отдельными учениками. Взаимная проверка хорошо себя оправдывает при проведении обобщающих уроков, зачетов

В своей работе я стремлюсь обратиться к личности ребёнка, к его индивидуальности, создать наилучшие условия для раскрытия склонностей и способностей ребёнка. Сообразуясь с этой задачей, использую разнообразные методы и средства обучения, что способствует формированию у школьников логического мышления, умение анализировать, сравнивать, делать выводы, развивает у учащихся интерес, способствует более прочному усвоению знаний. Разнообразие методов обучения - необходимое условие всестороннего развития учащихся.

СЛОВЕСНЫЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ.

Беседа - такой метод обучения, при котором учи гель, опираясь на имеющиеся у учащихся знания, практический опыт и демонстрации, с помощью вопросов подводит учащихся к пониманию и усвоению новых знаний.

При изложении материала методом беседы происходит диалог между учителем и учеником. Учащиеся под руководством учителя путём логических суждений, самостоятельной умственной работы над поставленными вопросами приходят к выводам и обобщениям.

Рассказ - это последовательное, образное изложение материала учителем, не прерываемое диалогом. Метод рассказа применяют в сочетании с демонстрацией наглядных пособий. Рассказ должен быть чётким, логически последовательным, образным, эмоциональным.

Объяснение - это последовательное, строгое в логическом отношении изложение учителем наиболее сложных вопросов. Этот метод применяют, когда нужно доказать, объяснить, обосновать. Для объяснения характерны такие черты, как суждения, умозаключения, доказательства. Он не заменим в тех случаях, когда по изучаемому вопросу у учащихся нет достаточных знаний и наблюдений, опираясь на которые учитель мог бы изложить материал методом беседы.

Лекция характеризуется большой научной строгостью изложения и большой продолжительностью. Она обычно рассчитывается на целый урок. Метод лекций приемлем главным образом в старших классах, так как требует от учащихся устойчивого внимания на протяжении длительного времени, высокого уровня развития абстрактного мышления, умения записывать по ходу лекций основные идеи, выводы, формулировки законов, формулы.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МЕТОД.

Назначение исследовательского метода заключается в

организации поисковой, творческой деятельности учащихся

по решению проблем и проблемных задач.

Формы заданий при исследовательском методе могут быть

различны. Это могут быть задания, требующие целого

урока, домашние задания на определенный, но

ограниченный срок.

Подавляющая масса исследовательских заданий должна

представлять собой небольшие поисковые задачи,

требующие, однако, прохождения всех или большинства

этапов процесса исследования.

1) наблюдение и изучение фактов и явлений;

2) выяснение непонятных явлений, подлежащих исследованию (постановка проблем);

3) выдвижение гипотез;

4) построение плана исследования;

5) осуществление плана выяснения связей изучаемого явления с другими;

6) формулирование решения, объяснения;

7) проверка решения;

8) практические выводы о возможном и необходимом применении добытых знаний.

Исследовательский метод, даже при его простых вариантах, предполагает готовность ученика к целостному решению проблемной задачи и самостоятельному прохождению его этапов.

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ПРОХОРОВСКОГО РАЙОНА

БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

МОУ «БЕРЕГОВСКАЯ СОШ»

МАТВЕЙЧУК О. М.

БЕРЕГОВОЕ

2008г

Обучение решению задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания, так как задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике.

Однако, как показывает практика обучения и анализ результатов контрольных работ, умение решать задачи оставляет желать много лучшего. И это в особенности касается задач по планиметрии, вызывающих у учащихся наибольшее затруднение.

Так, например, приступая к решению задач по планиметрии, учитель предлагает выполнить рисунок, выясняет, что известно и что нужно найти. Затем если того требует выбранный способ решения, предлагает дополнительное построение (провести прямую параллельную стороне треугольника; достроить данный треугольник до параллелограмма провести прямую, перпендикулярную данной). Не заостряя внимание учеников на том, почему необходимо именно это дополнительное построение и почему оно вообще необходимо.

Дополнительные построения используются при решении задач по планиметрии чаще всего в том случае, когда в условии задачи оказывается недостаточно данных для решения. Тогда возникает вопрос о введении вспомогательного элемента (дополнительного построения), которое преобразовало бы условие задачи и направило мысль учащегося в нужном направлении.

К дополнительным построениям прибегают и в случае поиска более рационального или более красивого способа решения.

ЗАДАЧА.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длиной 4см проведена медиана к боковой стороне. Найти длину основания треугольника, если медиана равна 3см.

РЕШЕНИЕ.

На рисунке изображается треугольник АВС и проводится В медиана АО боковой стороны Полезным на начальном этапе 2

работы мажет оказаться замена терминов их О

определениями. Вспоминаем что называется 3

медианой треугольника, и делаем вывод, что 2

ВО=ОС=2см. А С

Анализируя рисунок, замечаем, что искомая сторона АС принадлежит двум треугольникам АОС и АВС, причем в обоих треугольниках известны две другие стороны. Вспоминаем теоремы, связанные с нахождением одной из сторон, если известны две другие. Третью сторону можно найти по теореме косинусов, но для этого нужно знать величину угла, противолежащего стороне (или косинус этого угла). Т. О, задача свелась к нахождению величины углов АОС и АВС.

Какой из углов можно найти? Анализируя рисунок, замечаем, что в АВО известны все три стороны. Следовательно, cos B можно вычислить по теореме косинусов из АВО:

Cos < B =

Cos < B = =

Следовательно: АС= ВА+ ВС- 2 ВА ВС Cos < B

AC=

AC =

А теперь попробуем решить задачу другим способом применив свойство медианы треугольника, заключавшееся в том, что медиана делит треугольник на два равновеликих.

Убедившись в равенстве площадей АВО и АОС, обращаем внимание на то, что в АВО известны все три стороны. Следовательно, можно вычислить площадь по формуле Герона. Но это значит, что найдена и площадь АОС.

Можно ли найти искомую сторону АС?

Конечно, нужно только записать формулу Герона для АОС, обозначив АС через х, и решить полученное уравнение:

SAOC = =

Используя формулу Герона для АОС имеем:

SAOC =

SAOC = SABO =

=

После несложных преобразований получаем уравнение:

Оно имеет 4 действительных корня и . Отрицательные корни очевидно не подходят по смыслу задачи. Остаются два: 4 и . Значение АС=4, не удовлетворяет условию задачи ( если АС = 4, то АВС- равносторонний, и следовательно медиана АО является одновременно и высотой, т. е. АОС - прямоугольный. Но тогда

АО = ==, что противоречит условию). Следовательно, АС = . В этом случае мы вспоминаем, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а значит, применим формулу Герона для площади треугольника. Сравнив эти способы решения, учащиеся приходят к выводу, что они примерно равнозначны, но во втором способе вычисления оказались немного сложнее, и кроме того, пришлось проверять, почему значение АС=4см. не удовлетворяет условию задачи.

Последнее обстоятельство натолкнуло на мысль рассмотреть частный случай более подробно. И учащимся было дано задание сформулировать условие аналогичной задачи для равностороннего треугольника. Установим, что в этом случае достаточно указать длину медианы.

В равностороннем треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Найти стороны треугольника, если длина медианы равна 3см

После этого задача была сформулирована и решена в общем виде ( «найти стороны треугольника, если длина медианы равна м»). Далее учащимся были предложены следующие задачи

Дан равносторонний треугольник с медианой м. Найти

1 периметр треугольника;

2 площадь треугольника;

3 радиус описанной окружности;

4 радиус вписанной окружности.

Решение: 1) , , ;

2) S = = =

Для того чтобы вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей, вспомним, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении его биссектрис, а центр описанной - на пересечении его серединных перпендикуляров.

В нашем случае эти два центра совпадают, т. к. в равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры совпадают. Вспомнив, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2;1, считая от вершины, несложно найти радиусы описанной и вписанной (R = , r = ) окружностей.

Решение этой дополнительной задачи дало возможность учащимся вспомнить, где располагаются центры описанной и вписанной окружностей, а также применить еще одно свойство медиан. А не воспользоваться и нам этим свойством для решения первоначальной задачи? Давайте попробуем.

Итак, одна медиана уже проведена. Подумаем, какое дополнительное построение нам выполнить: провести оставшиеся две медианы или только одну, а если одну, то какую? Решим провести медиану к основанию, т. к. она в равнобедренном треугольнике является и высотой, что дает возможность рассмотреть прямоугольные треугольники и применить теорему Пифагора.

Проводим высоту (медиану) ВК к B

и основанию АС. М - точка пересечения медиан. О

Получились прямоугольные АКМ и АКВ, для

которых АК - общая сторона (АС=2АК). A C

Т. о. задача сведется к нахождению половины искомого отрезка. Обозначим АК через х. Далее согласно свойству медиан АМ=2см, МО=1см.

После анализа рисунка приходим к выводу, что в АКМ неизвестен катет МК, а в АКВ - катет КВ. Это наводит на мысль рассмотреть два треугольника одновременно и ввести новую переменную у: МК = у, тогда ВК=3у.

А теперь, используя теорему Пифагора, составляем систему уравнений:

 

(из АКМ)

(из АКВ)

откуда следовательно, АС = . Итак, в процессе решения мы применяем одно из свойств медиан треугольника, теорему Пифагора, а также вспомнили, что высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и медианой. Сравнивая этот способ с предыдущими, учащиеся отметили, что здесь мы вновь применили алгебраический метод решения и что алгебраический метод достаточно удобен при решении геометрических задач.

Далее было предложено учащимся вспомнить теорему Фалеса и попытаться применить ее к решению задачи. На рисунке В

изображены равные отрезки ВО и ОС на прямой

ВС. Через конец одного отрезка проведена прямая

ВК/АС. Проведем вторую прямую через конец О

другого отрезка OL//BK. По теореме Фалемса имеем: KL = LC = KC = AC. А С

К L

Обозначим LC = x, тогда AL = 3x. Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников OLA и OLC, составляем систему уравнений:

 

(из OLA)
(из OLC)

решая ее получим: , АС = см.

Учащиеся признали, что данный способ аналогичен предыдущему но здесь искали не а искомой стороны АС. Прежде чем воспользоваться теоремой Пифагора пришлось доказать что AL = 3LC. В связи с этим способ был отнесен к менее рациональным («потребовалось еще одно дополнительное построение OL/AC и применение теоремы Фалеса»). Сделали вывод что нахождение длины отрезка можно свести к нахождению его части. В процессе анализа рисунка учащиеся вспомнили определение средней линии треугольника и предложили воспользоваться им.

Действительно, провести все три средние линии АВС, то можно решить задачу, используя свойство диагоналей и сторон параллелограмма.

В полученном параллелограмме

одна из сторон: В

AL = OF = = 2см;

ALOF известны обе диагонали и

AF = OL = = х cм. L L O

LF = BC = 2 см.,

AO = 3см.

Отсюда следует, что х = A F C

Поскольку мы уже провели высоту АВС, то зададим вопрос: как еще можно ею воспользоваться? Все ли знания о высоте треугольника мы использовали? Вспомним, что S1=ah. Попробуем применить эту формулу. Пусть BK = h AK = x. Тогда S АВС = хh. Но S АВС=2S АВД = , следовательно, S АВС= .

Т. к. нам нужно найти х, то выразим h через х. Это можно сделать, если применить т. Пифагора, например к прямоугольному АКВ

h =

=

АС=см

Здесь мы воспользовались результатом 2-го способа ( S АВО= ), поэтому последний способ менее рациональный. B

Но высоту можно провести к боковой стороне, тогда O

искомую сторону АС можно найти по т. Пифагора М

из АМС, если знать катеты АМ и МС. Их можно

найти из 2х прямоугольных АМО и АМВ.

Пусть АМ = х, МО = у. Используя т. Пифагора, имеем: A C

 

, откуда , .

Но и в этом случае можно использовать формулу площади треугольника

S ABC =

S ABC вычислили ранее, ВС = 4, следовательно можно найти АМ:

=, см.

Заметим, что МС = ОС-ОМ, где ОС =2; ОМ находим из АМО по т. Пифагора:

= , откуда см

=см ( АМС)

Этот способ решения был отнесен учащимся к наиболее нерациональному.

До сих пор все дополнительные построения проводились внутри треугольника. А что, если «выйти за пределы» данного треугольника. Достроим треугольник до параллелограмма. Для этого продолжим прямую АО за точку О, отложим отрезок, равный АО, полученную т. Д соединяем с точками В и С. В полученном B D

параллелограмме АВДС известны

обе диагонали (АД = 6см, ВС = 4см) 4 4

и одна из сторон (АВ = СД = 4см).

A C

Искомая сторона (АС = ВД) неизвестна. Применив теорему о сумме квадратов сторон параллелограмма, получим АД2 + ВС2 = 2АВ2 + 2АС2,

В процессе обсуждения этого способа мнения учащихся разделились: одни сочли этот способ самым рациональным («решается в одну строчку»), другие отметили, что он более интересный, оригинальный, но именно в этом виделась основная трудность («мы не додумались бы до этого сами»). В итоге пришли к выводу: нужно не только смелее применять дополнительные построения, но и учиться видеть взаимосвязь различных фигур.

Далее учащимся была предложена задача:

Доказать, что медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Эту задачу ученики решили, использовав рассмотренный прием (треугольник достроим до прямоугольника и вспомним, что диагонали прямоугольника равны и делятся в точке пересечения пополам) Т. о, школьники обнаружили новый интересный факт – свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

В заключении учащиеся систематизировали известные им сведения о медиане треугольника. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины; медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, является медианой и биссектрисой.

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Благодаря такой работе ученика снимается психологический барьер перед поиском решения задач. Зная, что задача может быть решена разными способами, он смелее будет браться за ее решение. Постепенно решая задачу за задачей, он приобретает некоторый опыт, что позволяет ему развить математическое чутье.

Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того чтобы освежить в памяти пройденный материал.

При такой работе под задачей формулируется логическое мышление учащихся развивается интуиция систематизируется знания, расширяется общеобразовательный кругозор, накапливается полезный опыт.

Учащиеся овладевают основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, учатся рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности наблюдение, сравнение, обобщение и. т.д.

МЕТОД ПРОБЛЕМНОГО ИЗЛОЖЕНИЯ

Позволяет построить обучение не как сообщение и воспроизведение готовых знаний, а как творческий познавательный процесс, активизирующий духовные и интеллектуальные силы школьника, развивающий наблюдательность, мышление, речь, формирующий приемы рациональной деятельности, умение сравнивать, абстрагировать, обобщать, анализировать, делать умозаключение.

ЧАСТИЧНО - ПОИСКОВЫЙ МЕТОД.

Это более высокий уровень самостоятельного мышления. Он заключается в том, что учитель сообщает проблемный вопрос и ставит перед учащимися задачу самостоятельно обсудить его, сформулировать гипотезу и т. п. Из пою видно, что данная работа основана на том, что учитель конструирует и видит поиск ответа на проблемный вопрос, выступая в качестве «дирижёра». Часть информации сообщается им самим. Высший уровень самостоятельного мышления - поисковая деятельность учащихся. Задания поискового характера, включающие проблемные задачи и задания частично поискового характера - это такой вид заданий, при выполнении которых учащихся без непосредственного участия (проблемные задачи) или при некоторой подсказке (задание частично поискового характера) открывают новые задания или способы их добывания.

Очень интересна в плане поисковой деятельности учащихся теорема Пифагора. При изучении этой теоремы есть возможности при наличии в классе сильных учеников, разбирающихся в математике, превратить класс в исследовательскую лабораторию. Учащиеся слушают, наблюдают, составляют план изложения учителю, классифицируют, следят за логикой рассуждений, направленных на поиск ответа на проблемный вопрос.

В процессе рассуждений, анализа в исследовательской лаборатории учащиеся самостоятельно подходят к формулировке теорем и доказывают её, при этом, естественно, пользуются знаниями, владение которыми не обходимо.

Т. о., выполнение заданий поискового характера способствует достижению двух целей: во - первых, овладению анализом, исследованию различных сторон математических явлений; во - вторых, развитию интереса к предмету, и науке математики, любознательности, творческого подхода, умения и предрасположения к самостоятельной работе.

КОЛЛЕКТИВНАЯ (ГРУППОВАЯ) ФОРМА РАБОТЫ.

Для коллективного способа деятельности школьников характерно:

1) наличие общей цели;

2) разделение труда и обязанностей;

3) сотрудничество и взаимопомощь, как обязательное условие достижения общей цели;

4) самоконтроль и взаимоконтроль;

5) учёт интересов коллектива и каждой личности и в нем. Коллективная работа, предусматривающая объединение ребят в группы, предполагает их свободное общение, умение выслушать ответ товарища, проанализировать, оценить.

В группы включаются ребята разного уровня подготовки с учётом интереса к предмету, уровня знаний, отношения друг к другу. Обязательным требованием к работе группы является выполнение задания каждым учеником, обсуждение допущенных ошибок, их исправление, нахождение различных способов решения задач, упражнений. Принцип сотрудничества в процессе обучения является ведущим.

Использовать такую форму обучения можно на всех этапах: объяснение нового, повторение, обобщение.

Постоянное увеличение доли самостоятельной деятельности учащихся, её усложнение готовит учеников к самообразованию: к самостоятельному анализу учебного материала, формулировке целей своей работы («Что я должен иметь?»), приобретения навыков самоконтроля. В такой форме снимается напряжение, формируются внимательность и аккуратность, развивается чувство ответственности. Уроки включающие коллективные формы работы, можно назвать уроками общения, а это в свою очередь способствует выработке правильной математической речи, умению найти ошибку и исправить её в обстановке активного обсуждения, помощи и взаимопомощи.

Такая форма коллективной деятельности, как организация «смешанных» группы, где есть и «сильный» и «слабый» ученик, даёт возможность организовать группы (пары) переменного состава.

В процессе обучения школьники могут меняться ролями кому то в паре лучше удаётся планирование, кому то контроль. Главная задача заключается в том, что каждый её участник обязан обучить другого тому, чем владеет сам лучше своего товарища.

В технологиях дифференцированного обучения (Н. Гузик, И. Первин, В. Фирсов и др.) и связанных с ним групповых технологиях основной акцент сделан на дифференциацию постановки целей обучения, на групповое обучение и его различные формы, обеспечивающие специализацию учебного процесса для различных групп обучаемых.

ВЫВОД:

Чёткая, продуманная учителем самостоятельная работа ученика на уроке при опоре на дифференцированный подход, позволяет качественно решать задачу повышения результативности обучения, способствует развитию математического мышления.

Результаты участия на муниципальном этапе всероссийской олимпиады школьников

Учебный год	Фамилия, имя уч-ся	класс	место
	Кокорева Анна	11	1
	Фомина Ирина	9	3
	Хомякова Юлия	9	Призер
	Хомякова Юлия	10	призер

Динамика качества знаний

Разработка урока по математике

6 класс

«Действия с рациональными числами»

«Учиться можно только

весело …

Чтобы переваривать знания,

надо поглащать их с аппетитом»

А. Франс.

Тема: «Действия с рациональными числами».

Цели: Обобщение изученного материала по теме; формирование умений применять математические знания к решению практических задач;

Развитие познавательной активности, творческих способностей;

воспитание интереса к предмету.

Оборудование: таблицы с заданиями для всего класса; таблицы ответов к заданиям, карточки с индивидуальными заданиями, карточки для самостоятельной работы (4 варианта); индивидуальный набор сигнальных карточек для упражнений; приложение к математическому «Полю чудес».

Ход урока

I Организованный момент.

II Проверка домашнего задания.

Вывешивается плакат с заданиями по домашней работе в 2-х вариантах

1 а) Вычислите

I-вар. II-вар.

1.  -2,1 +(-1,2) 1. -3,2+(-1,7)

2.-2,5+(-1,5)

2.  -3-(-1,7)/2 )

3.  -1,2 +1,9 4. 11/5 · 8

4.  6 · (-1,7) 5. 6,4 : 1,6

5.  6,8:1,7

б) Взаимо - проверка результатов задания и оценивание работы проводится учащимися.

Таблица ответов вывешивается на доске

в) Подводим итог работы (кратко)

Задание 2. Устно установить, как знак должен быть у множителя х для того, чтобы выражения были положительными и ответить с помощью сигнальной карточки.

1.  3 ·(-5) · х

2.  -6·(-5) · х

3.  -4(-5) · (-х)

4.  -5· 2/3 · х

5.  -2·(-6)·(-х)

6.  -1·4/7 · х

Подводим итог работы: отметить активных учащихся.

Задание 3 Блиц-опрос: (устный молниеносный опрос)

Тестовые вопросы.

На доске записаны два целых числа -11 и 13.

Ученик быстро отвечает на вопросы, которые учитель задаёт в краткой форме.

1)  Модуль?

2)  Какое число больше?

3)  Два целых числа между ними?

4)  Два числа, меньше обоих чисел?

5)  Два числа, больше обоих чисел?

6)  Сума чисел?

7)  Разность чисел?

8)  Произведение?

9)  Частное?

10)  Среднее арифметическое?

11)  Числа, противоположные им?

12)  Числа, обратные им?

Итог работы: замечания, оценки

Задание 4

Воспроизведение правил сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел (фронтально)

1.  Сформулировать правило сложения двух отрицательных чисел.

2.  Чему равна сумма двух противоположных чисел?

3.  Сформулировать правило сложения двух чисел с разными знаками.

4.  От чего зависит знак суммы двух рациональных чисел?

5.  Сформулируйте правило вычитания рациональных чисел.

6.  Когда разность двух рациональных чисел положительна? Отрицательна? Равна 0?

7.  Как найти произведение двух отрицательных чисел? Чисел с разными знаками?

8.  При каком условии произведение равно 0? Приведите примеры.

9.  Сформулируйте правила деления двух отрицательных чисел, чисел с разными знаками. Как находят модуль частного?

10.  Обоснуйте, что частное от деления нуля на любое число, отличное от нуля, равно нулю.

Итог. Прокомментировать ответы учащихся

III.

Задание 5 Повторение темы «Задачи на дроби»

Задача В сбербанке денежный вклад увеличился за один год на 9 % . Сколько денег будет у вкладчика через год, если он положит 63000 руб.? Перед решением повторяется правило «подсказка»

Дробь от числа хотим найти,

Не надо мам переживать

Нам надо данное число

На эту дробь умножить.

Решение.

0% = 0,09

1)  63000·0,09=5670 (руб.) составляют 9%

2)  63000+56770=68670 9руб.) у вкладчика через год

Ответ: 68670 руб.

IV Закрепление изученного материала через игру «Поле чудес».

1.  Выбрано высказывание Цицерона

«Жизнь коротка, но слава может быть вечной».

(Цицерон -древнеримский оратор, поэт, адвокат, политический деятель, I ст. дон.)

2.  По количеству букв в этом высказывании (19) подбирается столько же примеров, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы (34).

3.  Каждому ученику даётся 2 карточки с заданием и ученик сразу начинает решать

4.  На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. (Ниже записаны числа по предмету (по количеству букв в высказывании)

5.  Ученик, выполнивший задание, называет номер своих карточки и букву, под которой записан ответ.

6.  Учитель под числом ставит названную букву.

7.  Ученик, решивший задание раньше других старается получит другую карточку. За правильное решение 2-3 заданий он может получить оценку, поэтому карточки приготовлено больше, им учеников.

А	Б	В	Е
-7,6	4	-52	84
Ж	3	И	Й
-28,5	-22	-2,1	-50,4
К	Л	М	Н
-5,2	-12	-2,7	-12,6
О	Р	С	Т
-22	81	84	4,1
Ч	Ы	В
-12,5	-2,4	27

Над ответом к заданиям.

Задания индивидуальные на карточках.

9

ж и з н ь к о р о м к а

1319

н о с л а в а м о ж е м

2531

б ы т ь в е ч н о й

(Цицерон)

Задания:

1.  -30+1,5 (-28,5) 18 -2,26 (-52)

2.  5,5 – 7,6 (-2,1)·3,8 (-7,6)

3.  -5 –

4.  -8-4,6 (-12,6) 21 2,2·(-

5.  -131/2 ·(,5 ,5)

6.  1,3(,2)·(

7.  88:(-41/10) (4,1)

8.  (-:-

9.  6,6:-0,3) (-,9,:(,4)

10.  -32,8:(-8) (4,1),4: (-3,1) (4)

11.  4-9,2 (-5,2)

12.  -15,2+7,6 (-7,6)

13.  -2,6,6): (-1/3) (84)

14.  14)3 (-125)

15.  -28· (,21 ,6)

16.  -+0,5(-

17.  -18,2+10,6 (-7,6) 34 25,2 ·(,4)

V. Самостоятельная работа.

Проверить качество усвоения четырёх действий с рациональными числами.

1 вариант	2 вариант
15-25	-30+15
3-7,5	5-7,6
-7-14	-6-17
-2-4,9	-3-4,6
-4·(-15)	-71-12)
-0,3·12	13·(-4)
-0,5·(-2,4)	-0,8·(-1,2
36: (-12)	-84:7
-14,2:(-2)	81,3: (-0,3)
2,17: (-0,7)	-3,28: (-0,8)
34	24
(-2)3	(-3)3

1 вариант	2 вариант
-28+18	14-24
2-3,4	7-9,3
-4-17	-3-19
-5-8,5	-3,4-6
-8·(-13)	-7·(-14)
-0,4·12	-0,6·13
-0,2·(-1,4)	-0,4·(-1,6)
-46:23	68: (-17)
-16,5:(-3)	-16,6:2
3,06: (-0,9)	18,4: (-0,4)
53	62
(9-4)3	(-5)3

VI. Подведение итога урока.

Объявление оценок за работу на уроке.