Задачи олимпиады по математике. Школьный этап 2011–2012 уч. г.
8.1 Имеется 9 палочек длины 1, 2, …, 9. Можно ли из них сложить равносторонний
треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к
другу; требуется использовать все палочки.)
8.2 Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же
цифру, если известно, что: числа 
и 
оканчиваются на одну и ту же
цифру?
8.3 В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода.
Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между
кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит
около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?
8.4 Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину
своих монет и отдал второму, потом второй проиграл половину всех своих монет, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго-33. Сколько монет было у первого пирата до игры?
8.5 Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака
ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?
9.1 Имеется 10 палочек длины 1, 2, …, 10. Можно ли из них сложить равносторонний треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.)
9.2 Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту
же цифру, если известно, что: числа 
и 
оканчиваются на одну и ту же цифру?
9.3 Корнеев, Докшин, Мареев и Скобелев – жители нашего города. Их профессии - пекарь, врач, инженер и милиционер. Корнеев и Докшин - соседи и на работу ездят вместе. Докшин – старше Мареева. Корнеев регулярно обыгрывает Скобелева в пинг-понг Пекарь всегда ходит на работу пешком. Милиционер не живет рядом с врачом. Инженер и милиционер встречались единственный раз, когда милиционер оштрафовал инженера за нарушение правил уличного движения. Милиционер старше врача и инженера. Определите, кто, чем занимается?
9. 4 Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?
9.5 Для чисел x, y, z и k выполняются соотношения
. Найдите k.
10.1 Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов
понизилась цена товара по сравнению с первоначальной?
10.2 Число a является корнем уравнения
. Найдите значение 
.
10.3 Решите уравнение: 
.
10.4 В купе одного из вагонов Москва – Одесса ехали москвич, петербуржец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами А, Б, В, Г, Д, Е. В дороге выяснилось, что А и москвич – врачи; Д и петербуржец - учителя, а туляк и В - инженеры. Б и Е – участники отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил. Харковчанин старше А, одессит старше В. Б и москвич сошли в Киеве, а В и харьковчанин в Виннице. Определите профессию каждого из шести пассажиров и место жительства каждого из них.
10.5 На доске выписаны числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 Двое игроков по очереди зачеркивают любое из имеющихся чисел, пока не останется два числа. Если разность двух последних чисел делится на 5, то выигрывает игрок, сделавший ход первым, а если не делится на 5, то второй. Кто может обеспечить себе победу независимо от ходов другого игрока?
11.1 Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15 %, и, наконец, после пересчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов снизили всего первоначальную цену товара?
11.2 Число a является корнем уравнения. Найдите значение .
11.3 В купе одного из вагонов Москва – Одесса ехали москвич, петербуржец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами А, Б, В, Г, Д, Е. В дороге выяснилось, что А и москвич – врачи; Д и петербуржец - учителя, а туляк и В - инженеры. Б и Е – участники отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил. Харковчанин старше А, одессит старше В. Б и москвич сошли в Киеве, а В и харьковчанин в Виннице. Определите профессию каждого из шести пассажиров и место жительства каждого из них.
11.4 Решить систему уравнений:
11.5 На доске написано п минусов. Два игрока по очереди переправляют 1 или 2 соседних минуса на плюсы. Выигрывает тот, кто переправляет последний минус. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
Требования к проверке работ:
-Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаакуратность, исправления в работе;
- объективность и непринятие к учету школьных оценок по математике (возможны случаи, когда потенциально, с точки зрения математических способностей, более способный учащийся хуже успевает на уроках математики)
- решение каждой задачи оценивается в соответствии с данными критериями:
баллы | Правильность (ошибочность ) решения |
7 | Полное верное решение |
6-7 | верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
5-6 | Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
3-4 | верно рассмотрен один из существенных случаев. |
2 | доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
0-1 | рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения |
0 | решение неверное или отсутствует |
