«Математические методы в экономике»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДИСЦИПЛИНЫ

Финансы

ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ

080116 «Математические методы в экономике»

Тема 1. Расчеты с простыми и сложными процентными ставками.

1.1 Ссуда в размере 100 000 руб. выдана 20 февраля под 6% годовых. Срок возврата ссуды 10 сентября. Определить размер погасительного платежа, применяя:

а) точные проценты с фактическим числом дней ссуды;

б) обыкновенные проценты с фактическим числом дней ссуды;

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

а) точные проценты с фактическим числом дней ссуды

Р – сумма выданного кредита – руб.,

i – ставка процента – 6% годовых.

К – точное число дней ссуды

фев.(28-20)+март31+апр.30+май31+июнь30+июль31+авг.31+сен.10=202дн.,

S – наращенная сумма долга.

Тогда

S = 100 000*(1+ 0,06 * 202дн.: 365 дн;) = 103 320,55 руб.

б) обыкновенные проценты с фактическим числом дней ссуды

В этом случае, так же как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням.

S= * (1 + 0,06 * 202 дн. : 360 дн.) = 103 366,67pуб.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням.

Приближенное число дней ссуды равно 200 дням:

(фев.(30-20)+30*6 (с марта. по авг.)+сен.10=200дн.),

учитывая это:

S = * (1 + 0,06 * 200 дн. : 360 дн.) = 103 333,33 руб.

1.2 Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 5%, а в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,1%. Определить множитель наращения за два года.

Решение:

S=P(1+∑ntit) → формула расчета наращенной суммы при дискретно изменяющихся во времени процентных ставках.

1+∑ ntit → множитель наращения.

1+∑ ntit =1+0,05+0,25*0,051+0,25*0,052+0,25*0,053+0,25*0,054=1,1025

Ответ: множитель наращения 1,1025.

1.3 Вексель на сумму 500 000 руб. учли в банке за 192 дня до погашения по учетной ставке 7%, (К=360). Определите

а) полученную при учете сумму и дисконт;

б) процентную ставку в случае применения математического дисконтирования с тем же дисконтом.

Решение:

а) P – полученная при учете сумма, D – дисконт.

D = (500000 *192 * 0,07) / 360 = 18666,67

P =500,67 = 48133,33.

или

D=33,33=18666,67

б) i - процентная ставка в случае применения математического дисконтирования с тем же дисконтом

или 7,27%

1.4 Владельцу векселя на 10000 руб. с датой погашения 5 августа требуется сумма 1018 руб. Раньше какой даты он не сможет получить требуемую сумму, если простая учетная ставка в банке равна 10%.

Решение:

используем схему 360/360

Выразим n

года

Выразим в днях, при условии, что в году 360 дн.

дней или 8 лет и 354 дня

Таким образом, не раньше, чем за 8 лет и 354 дня до даты погашения, или не раньше, чем 11 августа за 9 лет до года погашения векселя.

1.5 Определите сумму консолидированного на 1 августа платежа, если при начислении процентов по ставке 10% использовался метод 365/360. Консолидируются платежи: 20 000 руб., 50 000 руб. и 30 000 руб. со сроками 17 мая, 18 июня и 28 августа.

Решение:

- консолидированный платеж

- дата консолидированного платежа, 213 дней

- первый платеж, 20000руб.

- дата первого платежа, 137 дней

- второй платеж, 50000руб.

- дата второго платежа, 169 дней

- третий платеж, 30000руб.

- дата третьего платежа, 240дней

- ставка 10%

1.6. Кредит в размере 8 тыс. руб. выдан на 2 года 150 дней. Контрактом предусмотрена ставка сложных процентов, равная 8% годовых.

Определите сумму долга на конец срока, используя:

а) точный метод начисления сложных процентов;

б) смешанный метод начисления сложных процентов.

Решение:

а) S = P (1 + i)n,

n = a + b,

где n – период сделки;

a – целое число лет, 2 года;

b – дробная часть года, 150/365=0,41 года.

S=8000*(1+0,08)2,41=9631,04руб.

б) S = P (1 + i)a • (1 + bi)

S = 8000* (1 + 0,08)2 • (1 + 0,41*0,08)=9637,98руб.

1.7. Кредит выдается на полтора года по сложной годовой учетной ставке 14%. Какова сумма долга и величина дисконта, если выданная сумма равна 5 тыс. руб.?

Решение:

S=P/(1-d)n

Сумма долга

S=5000/(1-0,14)1,5=6269,35 руб.

Дисконт

D=6269,35-5000=1269,35руб.

1.8. Номинальная процентная ставка 12 % годовых. Какова эффективная процентная ставка, если проценты начисляются:

а) по полугодиям,

б) ежеквартально,

в) ежемесячно?

Решение:

а) m=2

или 12,36%

б) m=4

или 12,55%

в)m=12

или 12,68%

1.9. Сравните условия вложения средств в банк в следующих случаях:

а) номинальная ставка 12% при ежемесячном начислении процентов;

б) номинальная ставка 13% при ежеквартальном начислении процентов;

в) номинальная ставка 14% при начислении процентов каждые полгода.

Сравнение проведите двумя способами:

1) используя эффективную ставку;

2) рассчитывая время удвоения.

Решение:

1)а) или 12,68%

б) или 13,65%

в) или 14,49%

Лучшие условия в), т. к. эффективная ставка больше

2) срок удвоения n=ln2/ln(1+i/m)m

а) n=ln2/ln(1+0,12/12)12=5,81

б) n=ln2/ln(1+0,13/4)4=5,42

в) n=ln2/ln(1+0,14/2)2=5,12

Лучшие условия в), т. к. срок удвоения меньше

1.10. Кредит в сумме 26 тыс. руб. взят на 5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 6%. Соглашение пересмотрено так, что через 3 года производится выплата 10 тыс. руб., а еще через 3 года выплачивается оставшаяся часть долга.

Определите сумму окончательного платежа.

Решение:

Составим уравнение эквивалентности:

тыс. руб.

Тема 2. Количественный анализ потоков платежей.

2.1. Замените годовую ренту с платежом 102 $ и длительностью 15 лет на ренту длительностью:

а) 18лет;

б) 10лет.

Ставка процента 5 % в год.

Решение:

а) $

б) $

2.2. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи:$ немедленно и по 980 $ ежегодно в течение 5 лет; 2)8020 $ немедленно и по 280 $ ежемесячно в течение пяти лет. Какой вариант выгоднее при годовой ставке процента 5 %; 10 %?

Решение:

ставка 5%

1) наращенная сумма за пять лет:

2) наращенная сумма за пять лет:

ставка 10%

1) наращенная сумма за пять лет:

2) наращенная сумма за пять лет:

При ставке 5% продавцу выгоднее вариант 1), при ставке 10% выгоднее вариант 2)

2.3. Семья хочет накопить нужную сумму для покупки машины, внося в начале каждого года вклады в течение 5 лет. Величина первого вклада 106 тыс. руб., каждый следующий вклад на 20 тыс. руб. больше предыдущего. Сможет ли семья купить желаемую машину, если ее цена к тому времени 872 тыс. руб., а процентная ставка в банке начислялась ежегодно по ставке 10%?

Решение:

Найдем наращенную сумму через 5 лет

Полученная сумма больше стоимости машины, следовательно, семья сможет купить машину.

2.4. Семья хочет накопить нужную сумму для покупки машины, внося в начале каждого года вклады в течение 5 лет. Величина первого вклада 106 тыс. руб., каждый следующий вклад на 5% больше предыдущего. Сможет ли семья купить желаемую машину, если ее цена к тому времени 872 тыс. руб., а процентная ставка в банке начислялась ежегодно по ставке 10%?

Решение:

Найдем наращенную сумму через 5 лет

Полученная сумма меньше стоимости машины, следовательно, семья не сможет купить машину.

2.5. Через 5 лет необходимо начать инвестирование проекта, требующее ежегодных вложений по 5 млн. руб. в начале каждого года в течение 7 лет.

Определите величину ежегодных платежей для аккумуляции необходимых для осуществления инвестиций средств, при условии, что вложения производятся ежегодно (в конце года). Считайте, что проценты начисляются ежегодно по ставке 7%.

Решение:

Найдем современную стоимость расходного потока

Необходимо найти ежегодный платеж, для получения 28,8327 млн. руб. через 5 лет.

млн. руб.

Тема 3. Планирование погашения долгосрочных задолженностей.

3.1. Рассчитайте величину платежей погашения кредита в 11 млн. руб. равными аннуитетам постнумерандо в течение 14 лет, если ставка сложных процентов равна 10% годовых.

Составьте план амортизации с указанием частей аннуитета, идущих на погашение основного долга и выплату процентов на текущий остаток долга.

Решение:

D=11млн. руб, n=14 лет, i=0,1, m=1

Ежегодная выплата равна:

млн. руб.

Величина процентного платежа за первый год составит

млн. руб.

Выплата основного долга

млн. руб.

Остаток основного долга после первого года

млн. руб. и т. д.

План погашения представим в таблице

годы	остаток долга	процентный платеж	погашение основного долга	ежегодный платеж
1	11,0000	1,1000	0,3932	1,4932
2	10,6068	1,0607	0,4325	1,4932
3	10,1743	1,0174	0,4758	1,4932
4	9,6985	0,9698	0,5234	1,4932
5	9,1751	0,9175	0,5757	1,4932
6	8,5994	0,8599	0,6333	1,4932
7	7,9662	0,7966	0,6966	1,4932
8	7,2696	0,7270	0,7663	1,4932
9	6,5033	0,6503	0,8429	1,4932
10	5,6604	0,5660	0,9272	1,4932
11	4,7333	0,4733	1,0199	1,4932
12	3,7134	0,3713	1,1219	1,4932
13	2,5915	0,2592	1,2341	1,4932
14	1,3575	0,1357	1,3575	1,4932
итого	-	9,9049	11,0000	20,9049

3.2. Кредит в 46 млн. руб. взят на 12 лет под 10% годовых с выплатой равными аннуитетами постнумерандо. После 5 лет выплат решено погасить остаток долга единовременным платежом. Определите величину погасительного платежа.

Решение:

D=46млн. руб, n=12 лет, i=0,1, m=1

Определим остаток долга на начало 6-го года

млн. руб.

Нужно выплатить 32,8672 млн. руб.

3.3. Потребительский кредит в сумме 14 тыс. руб. взят на 10 мес. под 10% годовых. Кредит погашается ежемесячно равными суммами. Определите величину ежемесячного платежа.

Решение:

D – кредит, 14000руб.;

i - годовой процент, 10%;

n - срок кредита, 10/12 года;

ежемесячный платеж руб.

3.4. Потребительский кредит в сумме 14 тыс. руб. взят на 10 мес. под 10% годовых. Кредит погашается ежемесячно по правилу «78». Составьте план амортизации. Сравните его с планом задачи 4.3.

Решение:

D – кредит, 14000руб.; i - годовой процент, 10%; n - срок кредита, 10/12 года;

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

По сравнению с предыдущей задачей, первые четыре платежа больше, остальные меньше и постепенно уменьшаются в размере.

3.5. Заем в 10 млн. руб. на 7 лет может быть получен в трех различных банках на следующих условиях:

1) курс займа С=80, процентная ставка – 12%;

2) курс займа С=90, процентная ставка – 13%;

3) курс займа С=95, процентная ставка – 14%.

Сравните условия займов и определите наиболее выгодные из них.

Решение:

Курс займа ,

где - величина долга, записанная кредитором за должником.

=D/C*100 S=(1+n*i)

1) =10/80*100=12,5 S=12,5(1+7*0,12)=23

2) =10/90*100=11,11 S=11,11(1+7*0,13)=21,22

3) =10/95*100=10,53 S=10,53(1+7*0,14)=20,84

Выгоднее условия 3.

Тема 4. Анализ эффективности финансовых операций.

4.1. По срочному годовому рублевому вкладу платят 41 % годовых. Прогноз повышения курса доллара за год – с 24 руб. до 34 руб. Какое принимать решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и хранить их в “в банке в тумбочке”?

Решение:

Если положить деньги в банк, то в конце года получим 1,41 от вклада.

Если купить доллары по курсу 24руб. в начале года и продать в конце года по

34 руб., то доход составит 34/24=1,417 от вклада, таким образом выгоднее купить доллары.

4.2. Какая должна быть ставка сложных процентов, чтобы при инфляции 4% в полгода обеспечивалось реальное наращивание денежных средств в размере 7% годовых?

Решение:

=4% инфляция полугодовая

- индекс инфляции за год,

I=1,0816

Ставка сложных процентов с учетом инфляции или 15,73%

4.3. Определить реальную годовую ставку доходности, если номинальная ставка 19%, а квартальный темп инфляции составляет 2%.

Решение:

=2% инфляция квартальная

- индекс инфляции за год,

I=1,0824

Реальная годовая ставка или 9,94%

4.4. Определить реальную годовую ставку доходности, если номинальная ставка 22%, а месячный темп инфляции составляет 1% с учетом налогообложения прибыли в размере 12%.

Решение:

=1% инфляция месячная

- индекс инфляции за год,

I=1,1268

Ставка с учетом налогообложения:

Реальная годовая ставка с учетом налогообложения или 5,93%

4.5. В 1993 году в России можно было поместить деньги под 502% годовых. Инфляция в этом году составляла примерно 904 %. Какова доходность вложения?

Решение:

=904% инфляция годовая

- индекс инфляции за год,

I=10,04

Реальная годовая ставка или -40,04%, т. е. деньги за год обесценивались на 40,04%