3. Математическое моделирование сложных
неоднородных систем
При построении математических моделей сложных неоднородных систем эффективным оказывается их последовательное расчленение на подсистемы (декомпозиция системы) с сохранением связей между выявленными подсистемами. Процедура декомпозиции осуществляется до получения таких подсистем, которые в условиях рассматриваемой задачи будут признаны достаточно простыми и удобными для непосредственного математического описания. Эти подсистемы, не подлежащие дальнейшей декомпозиции, называются элементами сложной системы.
Таким образом, в общем случае сложная система является многоуровневой иерархической конструкцией из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Представление моделируемого объекта в виде многоуровневой системы называется его структуризацией. Математическая модель сложной системы образуется композицией (в рамках выделенной структуры) математических моделей элементов и взаимодействий между ними.
Построение простой и изящной математической модели, достаточно точно описывающей процесс функционирования сложной системы, требует немалого искусства. Необходимо знать типичные математические схемы.
3.1. Математические модели элементов
Математические модели широкого класса детерминированных объектов (при описании которых влияние случайных факторов не учитывается), функционирующих в непрерывном времени, описываются чаще всего дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных.
Детерминированные объекты, функционирующие в дискретном времени, описываются математическими моделями, сводящимися к различным типам конечных автоматов.
Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются дискретные входные воздействия (сигналы) и с которого снимаются дискретные выходные воздействия; оно имеет также некоторые внутренние состояния. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-тому такту при t = 0,1,2,… через z(t), x(t), y(t). При этом, по условию z(0) = z0, az(t)
Z, x(t)X, y(t)Y. Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0,1,2,…дискретного времени автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0) = z0. Конечным автоматом называется такой автомат, у которого множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов являются конечными множествами. Абстрактно конечный автомат представляет собой математическую схему, характеризующуюся 6 элементами:
1. конечным множеством Xвходных сигналов (входной алфавит);
2. конечным множеством Zвнутренних состояний (алфавитом состояний);
3. конечным множеством Y (выходным алфавитом);
4. начальным состоянием z0;
5. функцией переходов φ (x,z);
6. функцией выходов 
(z,y).
В момент t, будучи в состоянии z(t-1), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x(t)X и выдать на выходном канале сигнал y(t) = [z(t-1),x(t)], переходя в состояние z(t) = 
[z(t-1),x(t)], z(t)Z, y(t)Y. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для автомата, называемого автоматом Мили
z(t) = [z(t-1),x(t)], t = 1,2,… ; (7.1)
y(t) = [z(t-1),x(t)], t = 1,2,… ; (7.2)
Автомат, для которого
y(t) = [z(t)], t = 1,2,3… (7.3)
т. е. функция выходов не зависит от входной переменной, называется автоматом Мура.
По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (7.2) работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный выходной сигнал, т. е. реализует логическую функцию вида
y(t) = [x(t)], t = 1,2,…
Это функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв.
По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (7.1-7.3) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может, как следует из (7.1-7.3), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое состояние, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.
Чтобы задать конечный автомат, необходимо описать все элементы кортежа <Z, X,Y,
z0>. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.
Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. На пересечении i-той строки и k-того столбца помещаются соответствующие значения (zk, xi) и (zk, xi).
Для автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив так называемую отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием zkавтомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (7.3), выходной сигнал (zk).
При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xkвызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину ziс вершиной zj, обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили – дуга из ziпомечается парой xkи y = (zi, xk). Для автоматов Мура – дуга, направленная в zj, - парой xkи y = (zj, xk).
При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица C = 
, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояниям перехода. Элемент cij=xk/ys, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу xk, вызывающему переход из состояния ziв состояние zj, и выходному сигналу ys, выдаваемому при этом переходе. Если переход из состояния ziв состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cijпредставляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенный знаком дизъюнкции.
Для автомата Мура элемент cijравен множеству входных сигналов на переходе (zi, zj), а выход описывается вектором выходов, i-тая компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние zi.
Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два ребра и более, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.
Понятие автомата в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах обработки информации и управления. В качестве таких объектов в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т. д. Для всех перечисленных объектов характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени. Но эта схема не универсальна. Данный подход не применим для описания процесса принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.
Стохастические объекты (при моделировании которых учитываются случайные факторы), функционирующие в дискретном времени, можно представить вероятностными автоматами. Для такого автомата состояние z(t-1) и входной сигнал x(t) определяют не конечное состояние z(t), а распределение вероятностей Pij перехода автомата из состояния zi= z(t-1) в одно из возможных состояний zj(t)в момент времени t под воздействием входного сигнала x(t) .
Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а лишь распределение вероятностей на множестве состояний (автомат со случайными переходами), а функция выходов – распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами). Функционирование вероятностных автоматов изучается при помощи аппарата цепей Маркова.
Математическими моделями стохастических объектов с непрерывным временем являются системы массового обслуживания (представители марковских случайных процессов).
3.2. Математические модели взаимодействия
элементов сложной системы
Взаимодействие элементов в процессе функционирования сложной системы рассматривается как результат совокупности воздействий каждого элемента на другие элементы. Воздействие представленное набором своих характеристик, часто называют сигналом, т. о. взаимодействие элементов сложной системы может быть рассмотрено в рамках механизма обмена сигналами. Сигналы передаются по каналам связи между элементами. Начало данного канала – выходной полюс, конец канала – входной полюс элемента. Идеальным каналом называется канал, в котором передача сигнала осуществляется мгновенно и без искажений. Полностью и правильно формализованная система имеет только идеальные каналы связей. Физические каналы связи не являются идеальными. Такие каналы связи необходимо рассматривать как самостоятельные элементы системы (электрические соединительные провода – отдельные резисторы), функционирование которых сводится к соответствующим задержкам и искажениям сигнала. Т. о. окончательная формализация моделируемого объекта может привести к сложной системе, которая по составу элементов и конфигурации связей между ними отличается от конструкции, полученной в результате первоначальной структуризации этого объекта. При построении математической модели сложной системы необходимо учитывать взаимодействие её с внешней средой. Внешняя среда рассматривается как некоторая совокупность объектов, воздействующих на элементы сложной системы, а также испытывающих воздействия, поступающие от элементов сложной системы. Механизм обмена сигналами и формализованная схема взаимодействия элементов сложной системы между собой и с объектами внешней среды включает наборы следующих составляющих:
1. процесс формирования выходного сигнала соответствующим элементом системы;
2. определение адреса передачи для каждого выходного сигнала;
3. прохождение сигналов по каналам связи и компоновка входных сигналов для элементов системы, принимающих сигналы.
4. реагирование элементов на поступающие входные сигналы.
Первая и четвертая составляющие описываются в рамках математических моделей элементов. Третья составляющая связана с заменой реальных физических каналов идеальными. Вторая составляющая механизма обмена сигналами в сложной системе обеспечивает адресацию характеристик выходных сигналов и их компоновку во входные сигналы элементов, т. е. схему сопряжения элементов (иногда говорят структуру связности).
Схема сопряжения элементов системы. Пусть сложная система S содержит элементы C1, C2..CN. Предположение 1. Элементарные сигналы передаются в системе по элементарным каналам: каждый l-ый элементарный канал, подключенный к выходу элемента Сj, способен передавать только элементарные сигналы yl(j), имеющие фиксированный индекс l. Внешнюю среду можно представить в виде фиктивного элемента C0 системы S, вход которого содержит m0 входных контактов Xi(0), а выход r0 выходных контактов Yl(0). Каждый Сj (в том числе и С0) как элемент системы S в рамках принятых предположений о механизме обмена сигналами, достаточно характеризовать множеством входных контактов 
которые мы будем обозначать 
и множеством выходных контактов 
обозначаемым 
, где для простоты приняты обозначения m=mj; r=rj; j=0,1,..N.
Другими словами, математической моделью элемента Сj, используемой для формального описания сопряжения его с прочими элементами системы и внешней средой, является пара множеств: и . Для исключения неоднозначности введем предположение 2: ко входному контакту любого элемента системы подключается не более чем один элементарный канал; к выходному контакту может быть подключено любое конечное число элементарных каналов, при условии, что ко входу одного и того же элемента системы направляется не более чем один из упомянутых элементарных каналов.
Рассмотрим множество всех входных контактов всех элементов системы и внешней среды 
, а также всех выходных контактов 
. В силу второго предположения каждому входному контакту 
соответствует не более чем один выходной контакт 
, с которым он связан элементарным каналом. Поэтому можно ввести однозначный оператор =R() (7.4) с областью определения во множестве и областью значений во множестве , сопоставляющий входному контакту выходной контакт , связанный с ним элементарным каналом. Если в рассматриваемой системе к данному контакту не подключен никакой элементарный канал, то оператор (7.4) не определен на этом . Совокупность множеств и и оператора R будем называть схемой сопряжения элементов в системе S, а оператор R - оператором сопряжения. Оператор сопряжения можно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов системы j и столбцов с номерами контактов i располагаются пары чисел (k, l), указывающие номер элемента k и номер контакта l, с которым соединен контакт .
i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1,1 | 3,1 | 4,1 | 5,1 | 6,2 |
1 | 0,1 | ||||
2 | 1,3 | 0,2 | 0,3 | ||
3 | 1,2 | 2,1 | |||
4 | 3,2 | 2,1 | 2,2 | ||
5 | 2,2 | ||||
6 | 5,2 | 0,4 |
Другой способ задания оператора R получим, если столбцы и строки таблицы нумеровать двойными номерами (j,i) и (k, l) соответственно, а на пересечениях помещать 1 для контактов и , соединенных элементарным каналом и 0 в противном случае. Хотя таблицы такого рода громоздки, они не редко находят применение, т. к. представляют собой матрицы смежности ориентированных графов, вершинами которых являются контакты, а ребрами – элементарными каналы. Заметим, что соответствие между и , описываемое оператором R, не является взаимно однозначным (один и тот же выход может направляться на входы разных элементов). Рассмотрим сужение оператора R на множество , т. е. оператор Rj, определенный для данного элемента системы Сj (строка в таблице с номером j). Соответствие, описываемое оператором Rj для "j=0,1,..N является взаимно однозначным, в силу второй части второго предположения. Поэтому существует однозначный обратный оператор Rj-1, сопоставляющий каждому контакту из множества R() соответствующий контакт . Схема сопряжения, задаваемая множествами , и оператором R, содержит исчерпывающие сведения о соединениях элементов системы элементарными каналами.
Математическим описанием элементов сложной системы на единой концептуальной основе и построением соответствующей схемы сопряжения элементов исчерпывается проблема построения математической модели функционирования сложной системы.
Для моделирования технических систем в настоящее время успешно применяются структурные методы, теория автоматического управления, методы электрического аналогизирования, метод графов связей, метод, использующий библиотеку моделей компонентов – элементов и связей, тензорные методы и др.
