4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Метод статистических испытаний
Основная идея метода статистических испытаний состоит в следующем:__________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Определенные по результатам достаточно большого числа испытаний характеристики случайных явлений используют в качестве приближенного решения задачи в качестве оценок. Допустимость этого приближения основывается на законе больших чисел.
Метод статистических испытаний применяют для решения не только тех задач, в которых в явном виде имеются случайные явления, но также и для решения многих математических задач, не содержащих таких явлений. В этом случае искусственно подбирают такое случайное явление, характеристики которого связаны с результатом решения исходной задачи. Для определения числовых значений этих характеристик используется метод статистических испытаний.
Так как достаточно высокая точность решения при использовании метода статистических испытаний гарантируется, как правило, только при проведении большого числа испытаний, этот метод практически можно реализовать только с использованием ЭВМ.
Моделирование случайной величины с равномерным распределением на отрезке 
Оказывается, что для имитации на ЭВМ случайных явлений самой различной природы достаточно получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке . Процесс получения значений случайной величины называют ее моделированием.
Непрерывная случайная величина 
имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность имеет вид:
Функция распределения случайной величины :
Числовые характеристики:
Можно моделировать случайную величину с равномерным распределением на отрезке с помощью псевдослучайной последовательности. Вместо последовательности значений случайной величины с помощью рекуррентной формулы получают последовательность чисел, обладающих статистическими свойствами, близкими к свойствам равномерного распределения на отрезке.
При использовании метода статистических испытаний для решения различных задач необходимо уметь моделировать испытания с различным числом исходов, при этом испытания могут быть как независимыми, так и зависимыми. Необходимо также уметь моделировать случайные величины с разными законами распределения.
Моделирование последовательности испытаний
Пусть проводится последовательность 
независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из двух противоположных событий 
и 
. Известна вероятность наступления события : 
. Так как события и противоположные, то 
.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Моделирование последовательности испытаний осуществляется таким образом.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Моделирование дискретных случайных величин
Если случайная величина дискретная, то в общем случае ее моделирование (получение последовательности ее значений) можно свести к моделированию независимых испытаний. Действительно, пусть имеет место следующий ряд распределения:
|
| … |
|
| … |
|
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Так как события 
несовместны, образуют полную группу, и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величиной 
, можно использовать процедуру моделирования последовательности независимых испытаний.
Помимо общего алгоритма моделирования дискретной случайной величины для многих законов распределения существуют специальные алгоритмы.
Рассмотрим специальный алгоритм моделирования случайной величины с биномиальным распределением. В соответствии с биномиальным распределением вероятность того, что определенное событие появится 
раз в 
независимых испытаниях:
____________________________________________________________________
Введем случайную величину 
– число появлений события в 
-м испытании. Очевидно, что эта величина является бернуллиевской.
Тогда число появлений события в испытаниях
____________________________________________________________________
Определение значения случайной величины сводится к следующей процедуре:
1) _________________________________________________________________________________________________________________________________;
2) _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________;
3) _____________________________________________________________.
Повторяя эту процедуру, получают последовательность значений 
случайной величины с биномиальным законом распределения.
Рассмотрим специальный алгоритм моделирования случайной величины, распределенной по закону Пуассона. Распределение Пуассона используют в том случае, когда число независимых испытаний велико, а вероятность 
появления события в каждом отдельно взятом испытании мала. Приближенно считают, что должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а 
.
При решении практических задач, связанных с законом Пуассона, обычно задается параметр 
, а ни , ни неизвестны. Алгоритм моделирования случайной величины, распределенной по закону Пуассона, при заданном следующий:
1) _________________________________________________________________________________________________________________________________;
2) _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________;
3) _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________;
4) _____________________________________________________________.
Моделирование непрерывных случайных величин
Для моделирования непрерывных случайных величин применяется метод обратных функций. Допустим, что нужно найти последовательность значений случайной величины , имеющей монотонно возрастающую функцию распределения 
.
Введем случайную величину 
. Обратим внимание на то, что так как 
, то 
. Найдем функцию распределения случайной величины 
:
т. е. – случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке .
Таким образом, случайная величина с монотонно возрастающей функцией распределения связана со случайной величиной соотношением 
. Отсюда следует, что значение 
случайной величины является решением уравнения________________________________
где 
– значение случайной величины , т. е._____________________________
Последовательности значений 
случайной величины соответствует последовательность 
значений величины с функцией распределения .
Рассмотрим несколько примеров. Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке 
. Тогда для 
функция распределения
____________________________________________________________________
Составим уравнение:_____________________________________________
Отсюда_________________________________________________________
Последовательности значений случайной величины соответствует последовательность значений
____________________________________________________________________
величины , равномерно распределенной на отрезке .
Пусть случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром 
. Тогда функция распределения
____________________________________________________________________
Составим уравнение:
____________________________________________________________________
Отсюда
____________________________________________________________________
Так как – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке , то и 
также случайная величина, равномерно распределенная на отрезке . Поэтому для моделирования случайной величины используют следующее соотношение:
____________________________________________________________________
Для моделирования случайной величины с нормальным законом распределения можно использовать как метод обратных функций, так и методы, специально разработанные для нормального закона.
При использовании ЭВМ обычно применяют метод, основанный на центральной предельной теореме. Оказывается, что для получения хорошего приближения к нормальному распределению достаточно сравнительно небольшого числа слагаемых.
Допустим, что требуется получать значения нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Пусть 
– независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке . Обозначим через сумму этих величин:
____________________________________________________________________
Учитывая, что 
, 
, найдем
____________________________________________________________________
При достаточно большом (на практике при 
) можно считать, что имеет нормальный закон распределения _______________________________.
Перейдем от величины к стандартной нормально распределенной случайной величине 
:
____________________________________________________________________
Перейдем от величины к стандартной нормально распределенной случайной величине :
____________________________________________________________________
Тогда
____________________________________________________________________
Получаем
____________________________________________________________________
Отсюда значение случайной величины :
____________________________________________________________________
где 
– значения случайной величины , равномерно распределенной на отрезке [0, 1].
Таким образом, имея значений случайной величины и подставив их в формулу, получают значение случайной величины , распределенной по закону 
; имея следующие 12 значений величины , получают следующее значение величины и т. д.
