Оптимизационные модели управления финансовыми ресурсами в системах логистики предприятия (стр. 1 )

Оптимизационные модели управления финансовыми ресурсами в системах логистики предприятия.

Введение

В условиях роста экономики и доходов населения перед предприятиями все острее встают задачи расширения производственных мощностей. Как правило, организациям приходится выбирать из нескольких проектов по увеличению производственных мощностей и выбор этот не всегда однозначный. Компании стремятся снизить суммарные затраты на производство продукции, её транспортировку до конечного потребителя, складирование и хранение. Один проект может быть привлекателен низкой стоимостью рабочей силы, а другой – развитой инфраструктурой и, как следствие, меньшими затратами на доставку продукции. В данной статье будет предложена математическая модель, помогающая принять решение о выборе между различными проектами на основании анализа данных о затратах на производство и перевозку продукции, а также рассмотрено практическое применение этой модели на примере проекта расширения производственных мощностей пивоваренной компании.

Модель минимизации логистических затрат

Опишем математически задачу о выборе места размещения инвестиций. Данная задача известна как производственно – транспортная. Введем систему обозначений:

i - индекс поставщика;

j - индекс потребителя;

- мощность поставщика i;

- потребность потребителя j;

- затраты на перевозку от i-го поставщика к j-му потребителю, складирование и хранение одной единицы продукции;

- затраты на производство единицы продукции в i-ом пункте производства.

С учетом этого постановка задачи будет выглядеть следующим образом. Критерий оптимальность – минимум суммарных финансовых затрат:

(1)

Суммарный ввоз продукции в каждый из пунктов потребления должен быть равен его потребностям:

, j=1,2,…,m (2)

Суммарный ввоз продукции из каждого пункта производства должен быть меньше или равен максимального объема производства данного пункта.

, i=1,2,…,n (3)

В общем случае задача (1)-(3) является задачей линейного программирования, для решения которой могут быть применены стандартные методы и процедуры.

Рассмотрим методы решения данной задачи для некоторых частных случаев. Далее будем полагать, что максимальный объем производства в каждом пункте превышает или равен суммарным потребностям всех потребителей. Другими словами удовлетворяет следующим требованиям:

, i=1,2,…,n (4)

В этом случае может быть использован следующий алгоритм. Для каждого потребителя выбирается такой поставщик, который обеспечивает минимум затрат на производство одной единицы конечной продукции и её доставки потребителю. Затем полагается, что этот поставщик обеспечивает данного потребителя продукцией полностью. Иными словами, для каждого потребителя j (j=1,2,…,m) определяется:

, j=1,2,…,m (5)

i=1,2,…,n

Тот поставщик i, на котором реализуется минимум (5) и будет поставлять весь объем продукции для поставщика j. Рассмотрим пример решения задачи (1)-(4) с использованием предложенного алгоритма. Пусть есть три производителя продукции и четыре потребителя:

; =2.5;

=3; =1; =2; =4;

Матрица затрат на перевозки равна:

Выберем поставщика для первого потребителя продукции, т. е. j=1. Определим

Это означает, что весь объем для первого потребителя =3 будет поставляться первым производителем.

Определим поставщика для второго потребителя (j=2):

min(2+2.1; 3+2; 2.5+1.9)=4.1

Из последнего соотношения следует, что второму потребителю весь объем продукции =1, также будет поставлен первым производителем. Аналогично посчитаем объем поставок от каждого производителя для третьего и четвертого потребителей. Для третьего потребителя объем поставок =2 будет выполнен вторым производителем, а для четвертого потребителя весь объем продукции =4 будет поставлен третьим поставщиком. Очевидно, что предложенная вычислительная процедура эффективнее в вычислительном отношении, чем симплекс-метод, применяемый для решения общих задач линейного программирования.

Рассмотрим ситуацию, когда ограничены финансовые ресурсы для создания (расширения) производственной мощности для каждого производителя, т. е. вводим ещё одно ограничение:

(6)

Здесь - это затраты для создания единичной мощности производства в пункте i (i=1,2,…,n). Кроме того, будем считать, что ограничение (4) в общем случае не выполняется. В этом случае задача (1)-(3), (6) может быть решена средствами Microsoft Excel (при помощи встроенной функции «Поиск решения»). В некоторых случаях потребности в продукции (j=1,2,…,m) могут быть заданы не в натуральных единицах, а, например, в количестве полностью загруженных транспортных единиц (грузовиков, контейнеров, вагонов и т. д.). В этом случае на накладываются ограничения целочисленности вида:

; , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m (7)

Где I - множество целых чисел.

В такой постановке для решения задачи (1)-(3),(6),(7) может быть использована следующая схема метода ветвей и границ, которая включает в себя три шага.

ШАГ 1. Вычисляется нижняя оценка значения целевой функции (1) задачи (1)-(3),(6),(7) на оптимальном решении . Для этого решается непрерывная задача (1)-(3),(6).

ШАГ 2. Вычисляется верхняя граница целевой функции (1) задачи (1)-(3),(6),(7) на оптимальном решении . Для этого выбирается некоторое допустимое решение задачи (1)-(3),(6),(7) и вычисляется на этом допустимом решении значение целевой функции (1). При выборе этого допустимого решения может быть использована процедура, применявшаяся при решении задачи (1)-(4).

Если , то задача решена. В противном случае переходим к шагу 3.

ШАГ 3. Вычисление текущих нижних оценок при формировании очередного допустимого решения. Эти оценки вычисляются по следующей формуле:

(8)

В формуле (8) первые два слагаемые – это затраты на производство и доставку продукции в объеме для частного решения задачи (1)-(3),(6),(7); - это минимально возможные затраты на производство и доставку продукции потребителям в объеме . Итак, вычисляем ) (j=1,2,…m) путем решения непрерывной задачи (1)-(3),(6) при условии, что объемы поставки потребителям равны .

Если , то формирование текущего плана производства и перевозок прекращается. Если же , то для очередной единицы продукции выбирается производитель, после чего снова вычисляется значение . Процедура вычисления прекращается, если полностью сформирован план производства и поставки продукции для всех потребителей в объеме . Если значение целевой функции на этом решении меньше, чем , то далее полагаем, что =.

Метод прекращает работу, когда при очередной корректировке получим, что = или после того, как все варианты формирования планов по производству и поставке продукции рассмотрены. В качестве оптимального выбирается тот план, который соответствует наименьшему значению .

Рассмотрим, как повлияет на решение задачи (1)-(3),(6),(7) рост затрат на производство и транспортировку продукции (например, инфляция). Перепишем целевую функцию в виде:

(1)

Обозначим множество всех допустимых решений задачи,( 6),(7) через

, где .

Пусть затраты на производство и транспортировку продукции растут вместе с инфляцией линейно по следующему закону:

Где,

- стоимость производства единицы продукции в пункте при уровне инфляции (в долях);

- стоимость перевозки одной единицы продукции от поставщика i потребителю j при уровне инфляции (в долях);

- коэффициент интенсивности роста затрат при производстве единицы продукции в пункте i при уровне инфляции (в долях);

- коэффициент интенсивности роста затрат при транспортировке единицы продукции от поставщика i потребителю j при уровне инфляции (в долях);

Введем функцию (k=1,2,…,N) следующего вида:

Т. е. - это значение целевой функции (1) задачи (1)-(3),(6),(7) на допустимом решении . Упорядочим X таким образом, что при k > q, . Следовательно, находится правее в списке .

Пусть является оптимальным решением задачи (1)-(3),(6),(7) при =0. Тогда при росте инфляции , начиная с некоторого , значение целевой функции (1) будет ниже на решении чем на решении , т. е Это значение вычисляется путем решения следующего линейного уравнения относительно :

(9)

Уравнение (9) можно решить для всех и выбрать , где ) и g > l. При уровне инфляции оптимальным станет решение . Продолжая эту процедуру, мы получим разбиение

интервала изменения инфляции на конечное число интервалов M , на каждом из которых остается оптимальным один и тот же план производства и транспортировки продукции поставщиками. График оптимального значения целевой функции при изменении инфляции будет выглядеть следующим образом (см. рис.1.)

Рис. 1. Пример разбиения интервала изменения инфляции на области устойчивости для оптимальных решений при M=3.

В некоторых случаях фирма заинтересована в оптимизации валовой прибыли с учетом производственных и логистических затрат. Для этих целей можно воспользоваться моделью многопродуктовой оптимизации размещения производства с учетом логистических затрат, которую можно описать следующей системой уравнений:

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

i = 1,2, ... ,n j = 1,2, ... ,k 1 = 1,2, ... ,L m = 1,2, ... ,М (16)

Где i = 1,2, ... ,n - количество видов производимой продукции, j = 1,2, ... ,k - число пунктов производства, 1 = 1,2, ... ,L - число пунктов потребления, т = 1,2, ... ,М - число видов оборудования. Соответственно:

- объем производства продукции вида i в пункте j для пункта потребления l

- объем производства продукции вида i в пункте j

- объем поставок в пункте потребления 1 продукции вида i

- число единиц оборудования вида m в пункте производства j

- цена одной единицы производственной площади в регионе j

- производственная площадь необходимая для установки одной единицы оборудования вида m

- спрос на продукцию i в пункте потребления 1

- время, затрачиваемое на производство продукции вида i в пункте j на оборудовании вида m.

Целевая функция (10) состоит из выручки по пунктам продаж , переменных затрат по пунктам производства , затрат на перевозку, складирование и хранение готовой продукции и постоянных затрат . Таким образом, найдя максимум этой целевой функции, мы решим задачу оптимизации валовой прибыли предприятия.

Однопериодная модель инвестирования в основной капитал предприятия.

Одной из задач логистического сервиса является достижение конкурентного преимущества всех его элементов. По данным отечественных и зарубежных консалтинговых агентств, рост рынка логистических услуг в до кризисный период составил более 7 % в год. Вместе с этим растет и эффективность инвестиций в объекты логистического сервиса, в частности, доходность капитальных вложений в складскую недвижимость в докризисный период составила около 20 % [1].

В период гг в связи с экономическим кризисом достижение приемлемой эффективности инвестиционных проектов может быть достигнута на основе тщательной аналитической проработки вопросов финансирования строительства и модернизации объектов в этой области.

Подобный анализ в современных условиях возможен только на основе описания сложных, многофакторных и стохастических процессов (материальных, финансовых, информационных и т. д.) На основе этого анализа могут быть разработаны оптимизационные модели и методы, являющиеся методологической основой при выработке окончательного управленческого решения. В данной работе предлагаются некоторые подходы для количественной оценки эффективности инвестиционных проектов в системах логистики.

Рассмотрим однопериодную модель проекта создания нового производственного предприятия, выпускающего n видов конечной продукции. В условиях ограничений на инвестиционные ресурсы в качестве критерия примем валовую прибыль, полученную в результате функционирования предприятия за вычетом средств, затраченных на строительство или покупку производственных помещений и оборудования. Формализация данной модели заключается в следующем:

(17)

(18)

(19)

, , , i=1,2,…,n (20)

В модели (1)-(4) были использованы следующие обозначения:

- цена продажи единицы продукции вида i;

- переменные затраты при выпуске единицы продукции вида i;

- постоянные затраты;

- коэффициент износа производственных мощностей ();

- коэффициент износа оборудования ();

d – стоимость одного квадратного метра производственной площади;

Z – множество целых чисел;

- объем выпуска продукции вида i;

- норма времени затрат оборудования вида p при выпуске продукции вида i;

- эффективное время работы оборудования вида p (p=1,2,…,k);

- количество единиц оборудования вида p;

- производственная площадь, необходимая для установки одной единицы оборудования вида p;

- цена одной единицы оборудования вида p;

F – объем инвестиций;

- спрос на продукцию вида i;

Многопериодная модель инвестирования в основной капитал предприятия

Ниже будет рассмотрено обобщение моделив условиях, когда спрос на каждый вид выпускаемой продукции изменяется на различных периодах проекта и дисконтирования финансовых потоков.

(21)

, p=1,2,…,k, t=1,2,…,T (22)

, t=1,2,…,T (23)

, , , i=1,2,…,n, t=1,2,…,T (24)

В этой модели были использованы следующие обозначения:

- цена реализации единицы продукции вида i на периоде времени t;

- переменные затраты при выпуске единицы продукции вида i на периоде времени t;

- объем выпуска продукции вида i на периоде времени t;

k - ставка дисконтирования;

- стоимость строительства или покупки одного квадратного метра производственной площади на периоде времени t;

- производственная площадь, необходимая для установки одной единицы оборудования вида р;

- количество единиц оборудования вида р, устанавливаемых на периоде времени t;

- стоимость одной единицы оборудования вида р на периоде времени t;

- постоянные затраты на периоде времени t;

- время работы оборудования вида р для выпуска продукции вида i;

эффективное время (время использования в производственном процессе) оборудования вида р на периоде времени t;

- объем инвестиций на периоде времени t;

- спрос на продукцию вида i на периоде времени t;

Z - множество целых чисел.

Анализ устойчивости и чувствительности в модели проекта создания производственного предприятия

Рассматривая решение задачи (17)-(20), которое задает оптимальную программу и структуру активной части основных фондов, т. е. набор производственного оборудования , можно поставить вопрос о том, насколько можно увеличить цену на конечную продукцию , которая зависит от инфляции по закону , чтобы сохранила оптимальность производственная программа. Здесь - инфляция в долях; - цена продукции вида i на текущий момент времени; - коэффициент роста цены, зависящий от вида впускаемой продукции.

Пусть - множество допустимых производственных программ. Обозначим через - значение долевой функции (1) при уровне инфляции на производственной программе (i=1,2,…,N).

Очевидно, что при росте инфляции переход с производственной программы на какую-либо программу возможен только в том случае, если , где - значение функции (17) на решении при инфляции .

Точка перехода определяется при решении уравнений:

. (25)

Выбрав минимальное решение в (25) получим точку перехода к новой оптимальной производственной программе.

Учитывая линейность роста цен от инфляции легко видеть, что число переходов будет конечно при , а следовательно, весь интервал изменения инфляции можно разбить на отрезки, при изменении инфляции на каждом из которых будет оставаться оптимальной одна производственная программа.

Аналогичное утверждение может быть оформлено и для многопериодной модели (21)-(24).

Рассмотрим чувствительность решения к изменению объема выпуска продукции с

учетом налога на прибыль. В этом случае целевая функция (21) будет иметь следующий вид:

.

Здесь задает производственные программы для периодов t=1,2,…,T;

- налог на прибыль в долях.

Тогда при изменении выпуска на периоде t на одну единицу продукции вида i значение целевой функции изменится на величину:

.

Модель оптимизации управления инвестициями в оборотный капитал торговой фирмы

Рассмотрим задачу формирования портфеля оптовых закупок товаров торговой фирмой.

Пусть на складе фирма может приобрести оптом товары n видов. Товары могут приобретаться партиями объема не менее единиц, а объем товаров вида i на складе задан величиной . Цена оптовой закупки товаров вида i составляет за единицу. Розничная цена продажи товаров вида i может изменяться на интервале . При этом (i=1,2,…,n). Интенсивность реализации товара i в торговой сети равна при цене , а если , то интенсивность реализации товара i задается следующим образом:

,

где - коэффициент влияния на снижение интенсивности продаж при увеличении цены на товар i в розничной сети.

Очевидно, должно выполняться неравенство: .

Пусть объем оборотного капитала фирмы равен F, который она использует для оптовой закупки товаров, которые должны быть реализованы на интервале времени - неделя, месяц, квартал и т. д. Необходимо приобрести такие виды товаров, которые должны быть полностью проданы на интервале и при этом дали бы максимальный прирост оборотного капитала F. Приведем формализованную постановку этой задачи.

Обозначим - число минимальных партий товара i-гo вида на складе. Необходимо максимизировать функцию:

(26)

При ограничениях: