Методические указания по предмету «Математика»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологии имени »

_______________________________________________________________

П, , А,
В,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА»

Функция. Производная функции.

Приложение производной к исследованию функции.

(Для подготовительного отделения)

Москва, 2011

УДК

Джугели, . Производная функции. Приложение производной к исследованию функции.: учеб.-метод. указ. / , , . – М.: ФГБОУ ВПО

МГАВМиБ имени , 2011. – 37с.

В методических указаниях приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, приведены задания для расчетно-графической работы по разделу математики «Функция. Производная функции. Приложение производной к исследованию функции».

Методические указания рекомендованы для слушателей подготовительного отделения.

Рецензенты:

профессор ФГБОУ ВПО МГАВМиБ им.

Утверждены на заседании учебно-методической комиссии ветеринарно-биологического факультета ФГБОУ ВПО МГАВМиБ им.
(протокол от 13 сентября 2011 г.)

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящих методических указаний по теме «Функция. Производная функции. Приложение производной к исследованию функции» является познакомить слушателей с теоретическим материалом, который необходим для подготовки к сдаче ЕГЭ.

В методических указаниях рассмотрены понятие функции, основные её свойства, понятие производной функции, её геометрического смысла и приложения дифференциального исчисления к исследованию функции и построению её графика.

Одной из основных форм работы абитуриентов является самостоятельная работа над учебным материалом. Она состоит из непрерывной работы по изучению теоретического материала, по выполнению текущих заданий и контрольных работ. Результативность самостоятельной работы обеспечивается эффективной системой контроля, которая включает в себя опросы абитуриентов по содержанию лекционного материала, контрольные работы.

I. ФУНКЦИЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

1.1. Понятие числовой функции

Пусть задано числовое множество Х. Правило, сопоставляющее каждому числу х из множества Х единственное действительное число у, называют

числовой функцией, заданной на множестве Х.

х - независимая переменная (аргумент);

у - зависимая переменная (функция).

Символическая запись функции имеет вид у = f(х)

Множество Х называется областью определения функции у и обозначается D(у). Е(у) - область (множество) значений функции у – множество всех значений переменной у, которые она принимает при всех допустимых значениях х.

1.2. Четность функции

Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функ­ции, значение -х также принадлежит области определения и вы­полняется равенство f(х) = f(-х).

Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 1).

Рис. 1. График четной функции

Примеры четных функций:

Функция у = f(х) называется нечетной, ес­ли для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области опреде­ления и выполняется равенство f(x)= -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

Примеры нечетных функций:

Рис. 2. График нечетной функции

При построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь графика — для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно оси оy для четной функции и кососимметрично (т. е. симметрично относительно начала координат) для нечетной.

Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Таковы, например, функции:

1.3. Периодичность

Функция у=f(х) называется периодической с периодом , если при всех значениях х из области её определения выполняются равенства .

Если Т – период функции, то при любом \ число также является периодом функции.

Наименьший положительный период функции называется её основным периодом.

Сумма, разность, произведение и частное двух функций, имеющих период Т, обладает тем же периодом.

Сумма n периодических функций с периодами имеет период . Если функция у = f(х) имеет период Т, то функция имеет период .

1.4. Нули функции

Нулем функции называется такое действительное значение х, при котором значение функции равно нулю.

Для того чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(х)=0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции у=f(х), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пе­ресекает ось абсцисс, либо касается ее. Например, функция у = х3- 3x имеет нули в точках х = 0, , , а функция имеет нуль в точке х = 2.

Функция может и не иметь нулей. Такова, например, функция

1.5. Монотонность функции.

Переменную величину называют монотонной, если она изменяется только в одном направлении, т. е. либо только возрастает, либо только убывает. Очевидно, что движение точки х в сторону положительного направления оси абсцисс является монотонно возрастающим, а в противоположную сторону - монотонно убывающим.

Функция у = f(х) называется монотонно возрастающей на интервале (а, b), если для любых х1, и х2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х2 > х1, следует неравенство f(х2) > f(x1) (рис. 3а).

Функция у = f(х) называется монотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х2 > х1, следует неравенство f(x2) < f(x1) (рис. 3б).

Рис. 3. Графики монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

Естественно, что интервал (а, b) предполагается взятым из области определения функции.

При исследовании функции применяется теория дифференцирования функции. При этом необходимо знать правила дифференцирования и таблицу производных сложных функций.

II. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

С геометрической точки зрения, производная функции в точке равна тангенсу угла между касательной к графику функции в этой точке и положительным направлением оси абсцисс

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т. е. ускорение.

2.2. Основные правила дифференцирования:

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда

1) 2)

3) , 4) , где C – const.

2.3. Таблица производных для элементарных и сложной функции

1)С¢ = 0; 9)

2)(xm)¢ = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица для основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда

1. , C – const	2. , n – const
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.,,,a-соnst	14.
15. , , , a – const	16.

2.4. Решение задач на геометрический смысл производной

Задача 1. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Решение. Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga — угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной,

абсциссы и ординаты которых — целые числа, причем точка А расположена левее (ее абсцисса меньше). Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх» — точка В лежит выше точки А, — то производная положительна, если точка В ниже, то отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна 0). Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC (см. рисунок).

Модуль углового коэффициента будет равен.Найдем координаты точки A, опустив перпендикуляры на оси Ох и Оу (на рисунке показаны пунктиром). Имеем в первой задаче: А(-1; -10), B(2; -1) и С(2; -10). Тогда длина ВС равна разнице ординат точек В и С, то есть ВС == = -1 +10 = 9, длина АС равна разнице абсцисс точек С и A, СА = = 2 +1 = 3. Отсюда искомое значение производной равно =3.

Ответ: 3.

Задача 2. На рисунке изображен график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции /О) в точке х0.

Решение

При решении этой задачи важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему, а не большего к меньшему и что производная бывает отрицательной, в отличие от тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

При решении таких задач можно использовать следующее рассуждение. Если уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид
у = кх + Ь, то значение производной в точке х0 равно к. Найдя координаты двух точек А(ха, уа), В{хb, уb), лежащих на касательной, мы можем найти к из системы уравнений:

Например, на рисунке можно взять точки А(1; 6), В(4; -3) и из системы

найти к = - 3.

Ответ: -3

Задача 3.

На рисунке изображен график функции у =f(x),определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение. Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.

При решении этой задачи важно не ошибиться в том, какие мы точки ищем, с положительной производной или с отрицательной, для этого можно в условии задачи подчеркнуть соответствующее слово.

Значит, таких точек 4.

Ответ: 4.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции у =f(x) определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 18.

Решение. Прямая у = 18 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

Значит, таких точек 5.

Ответ: 5.

Задача 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (—3;8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [—2; 7].

Решение. В точке максимума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5; 4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна — это точка минимума (см. рисунок слева).

В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на :<—» — это точки максимума (см. рисунок справа). При решении этой задачи помимо того, что необходимо обратить особое внимание на то, что это график производной и точки максимума ищутся не на всей области определения, а на отрезке, нужно еще особо отметить, что ищутся именно

Таких точек 2.

Ответ: 2.

Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(х), определенной на интервале (-3; 8). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. точки максимума, а не минимума или экстремума.

Решение. Отметим, что на всем промежутке убывания функции f(x) ее производная неположительна (на промежутках возрастания соответственно неотрицательна). У нас таких промежутков два: (-1,5; 4,5) и (6,5; 8), целые точки, входящие в эти промежутки, — это -1; 0; 1; 2; 3; 4; 7, то есть искомая сумма равна —1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 7=16.

Ответ: 16

III. Приложение производной к исследованию функции

3.1. Монотонность функции

Необходимый признак возрастания (убывания).

Если дифференцируемая на интервале функция f(х) возрастает (убывает), то () для всех .

Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Если функция у =f(х) дифференцируема на интервале и для всех (при этом может быть равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция возрастает на ; а если (или равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция убывает на этом интервале. Если для всех , то f(х)=const на этом интервале.

3.2. Экстремумы функции

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а;b]. Говорят, что функция
у = f(х) имеет локальный максимум в точке х0 є [а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b ] и такая, что для любого х, при­надлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) < f(х0).

Под окрестностью точки х0 понимают интервал длины 2e с центром в точке х0, т. е. (х0-e, х0+e), где e - произвольное по­ложительное число

Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный минимум в точке х0 є[а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b] и такая, что для любого х, принадлежаще­го этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х0).

Достаточный признак экстремума функции.

Критическая точка (внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует) является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции у = f(х) на отрезке [а;b]достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.

3.3. Разбор типовых примеров.

1. Найти точку минимума функции y = + x + 25.

Решение. Найдем производную данной функции: = - + 1.

Определим промежутки знакопостоянства производной, приведя полученное выражение к общему знаменателю и разложив числитель на множители:

= .

В точке х = 5 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, эта точка и является единственной точкой минимума.

Ответ: 5.

2. Найдите наибольшее значение функции y = 1 + на отрезке [- 4; -1].

Решение. Найдем производную данной функции: = 1 - .

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и разложим числитель на множители:

= .

Отрезку [ - 4; -1] принадлежит только точка х = -3, в которой производная меняет знак с плюса на минус. Таким образом, точка х = -3 является точкой максимума и единственной точкой экстремума на данном отрезке. Значит, своего наибольшего значения на данном отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наибольшее значение: y(-3) = -3 + = - 6

Ответ: - 6.

3. Найдите точку максимума функции y = 7 + 6x – 2x .

Решение. Найдем производную данной функции:

= 6 – 3x, = 3(2 - ).

Производная обращается в нуль, если = 2, откуда х = 4. В точке х = 4 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, эта точка и является единственной точкой максимума.

Ответ: 4

4. Найдите точку максимума функции y = (x2 – 17x - 17)e7 – x.

Решение. Сначала найдем производную данной функции, применив правило для вычисления производной произведения двух функций:

= (x2 – 17x – 17)’ e7 – x + (x2 – 17x – 17)( e7 – x),

откуда = (2x - 17) e7 – x + (x2 – 17x – 17)(- e7 – x ), и, следовательно,

= - (x2 – 19x) e7 – x, или = - x(x - 19) e7 – x.

Производная обращалась в нуль при x = 0 и x = 19, причем меняет знак с плюса на минус в точке x = 19. Эта точка и является единственной точкой максимума.

Ответ: 19.

5. Найдите наименьшее значение функции y = (x – 13) eх – 12

на отрезке [11;13].

Решение. Сначала найдем производную данной функции, применив правило для вычисления производной произведения двух функций:

= (x – 13)’ eх – 12 + (x – 13)( eх – 12),

откуда = eх – 12 + (x – 13) eх – 12

и, следовательно, = (x – 13) eх – 12. В точке x = 12 производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является единственной точкой минимума на данном отрезке и наименьшего значения на этом отрезке достигает именно в этой точке. Найдем наименьшее значение: y(12) = e12 – 12 = -1.

Ответ: -1.

6. Найдите точку минимума функции y = x – 5 ln x.

Решение. Найдем производную данной функции: = 1 -

откуда = .

Производная меняет знак в единственной точке x = 5, причем знак производной в этой точке меняется с плюса на минус. Следовательно, эта точка и является единственной точкой минимума данной функции.

Ответ: 5.

7. Найдите наибольшее значение функции y = 5 - 7 x + 7 ln (x + 3)

на отрезке [- 2,5; 0].

Решение. Найдем производную данной функции: = -7 + ,

откуда = -7.

Производная меняет знак в единственной точке x = -2, причем знак производной в этой точке меняется с плюса на минус. Эта точка является единственной точкой на данном отрезке и наибольшего значения на этом отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наибольшее значение:

y(-2) = 5 - 7 .+ 7 ln(-2 + 3) = 19.

Ответ: 19.

3.4. Выпуклость функции

Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М0(х0, у0) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция
у = f(х) выпукла вниз в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М0(х0; у0) лежит ниже графика (рис. 4б).

Если на некотором промежутке (а;b) все касательные к гра­фику функции
у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (со­ответственно выпукла вниз).

Рис. 4. Графики выпуклой функции

Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);

2) при f"(х) < 0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства
f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М0(х0; f(х0)) графика функции у = f(х) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М0 имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М0(х0; f(х0)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб

Необходимый признак существования точки перегиба.

Если функция в точке х0 имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х0 и f"(х) > 0 при х > х0 или f"(х) > 0 при х < х0 и f"(х) < 0 при х > х0, то М0(х0, (f(х0)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

3.4. Примеры исследования функции и построения графика.

1.

1)  D(y)=R, E(y)=R (находим по графику)

2)  Непрерывность.

Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. на всей числовой прямой.

3)  Четность.

Так как область определения функции симметрична относительно нуля, выясним, имеют ли место следующие равенства:

или .

.

Следовательно, функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат.

4)  Функция не является периодической.

5)  Нули функции

или

(0;0); - точки пересечения графика с осями.

6)  Монотонность функции. Экстремумы функции.

x=0 ,

x				0
y`	+	0	_	0	_	0	+
y				0		-0,007

max min

7)  Выпуклость. Точки перегиба.

x=0 или

x				0
	_	0	+	0	_	0	+
y		0,004		0		-0,004

т. перегиба т. перегиба т. перегиба

8)  График

2.

1) , E(y)= (определяем в конце задания после построения графика функции).

2) Непрерывность. Асимптоты.

Данная функция определена при всех значениях , кроме . Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка . - вертикальная асимптота.

3) Четность.

Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является четной и не является нечетной.

4) Функция не является периодической.

5) Нули функции.

y=0, если x2-x=0; x(x-1)=0; x1=0 или x2=1

(0; 0), (1; 0) – точки пересечения графика с осями координат.

6) Монотонность. Точки экстремума.

, если 2x2+2x-1=0

2x2+2x-1=0

D=4+8=12

x
	+	0	_	-	_	0	+
y				-		-0,13

max min

7) Выпуклость. Точки перегиба.

не существует при

x
	_	-	+
y		-

Точек перегиба нет

8) График

3.

1) D(y)=R, E(y)= (определяем в конце задания после построения графика функции).

2) Непрерывность. Асимптоты.

Функция непрерывна на всей числовой прямой. Точек разрыва нет. Следовательно, вертикальных асимптот нет.

3) Четность.

Область определения симметрична относительно нуля, и , поэтому функция не является четной, и не является нечетной.

4) Функция не является периодической.

5) Нули функции.

y=0, если x=-1

Если x=0, то

- точки пересечения с осями.

6) Монотонность. Экстремумы функции.

, если x = -2 - критическая точка

X		-2
	_	0	+
Y

min

7) Выпуклость. Точки перегиба.

, если x=-3

X		-3
	_	0	+
Y

т. перегиба

8)

5. Задания для самостоятельной работы

17.  Прямая у = 6х + 9 параллельна касательной к графику функции
у = х2 + 7х - 6 . Найдите абсциссу точки касания.

18.  Прямая у = 4х + 9 параллельна касательной к графику функции
у = х2 + 7х - 4 . Найдите абсциссу точки касания.

19.  Прямая у = 5х + 14 является касательной к графику функции у = х3 - 4х2 + 9x + 14 . Найдите абсциссу точки касания.

20.  Прямая у = 2х является касательной к графику функции у = х3 + 5х2 + 9х + 3 . Найдите абсциссу точки касания.

21.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-9; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой

у = 2х + 5 или совпадает с ней.

22.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6). В какой точке отрезка [-3; 3] f(x) принимает наименьшее значение.

23.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 5). В какой точке отрезка [-4; -1] f(x) принимает наибольшее значение

24.  На рисунке изображен график функции у =f(x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 1.

25.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х)параллельна прямой

у = х + 7 или совпадает с ней.

10.  На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xо.

11.  На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xо.

12.  На рисунке изображен график функции у = f(х), определенной на интервале (—1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

13.  На рисунке изображен график функции у = f(х), определенной на интервале (—1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

14.  На рисунке изображен график функции у = f(х), определенной на интервале (—1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

15.  На рисунке изображён графc)ик функции и касательная к нему в точке с абсциссой

Найдите значение производной функции в точке .

16.  На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке .

17.  Найдите наименьшее значение функции у = (х-20)ех-19 на отрезке [18; 20].

18.  Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

19.  Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

20.  Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

21.  Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

22.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

23.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

24.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

25.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

26.  Найдите наименьшее значение функции

у = 12 sinx – 16x + 3 на отрезке .

27.  Найдите наименьшее значение функции

у = 5 sinx – 9x + 3 на отрезке .

28.  Найдите наименьшее значение функции

у = 10 sinx – 11x + 9 на отрезке .

29.  Найдите наименьшее значение функции

у = 3 sinx – 4x + 4 на отрезке .

30.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

31.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

32.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

33.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

34.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

35.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

36.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

37.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

38.  Найдите наименьшее значение функции

на отрезке.

39.  Найдите наибольшее значение функции

у = 4 tgx – 4x+ 3 на отрезке.

40.  Найдите наибольшее значение функции

у =13 tgx – 13x+ 4 на отрезке.

41.  Найдите наименьшее значение функции

у = 11 tgx – 11x+ 7 на отрезке.

42.  Найдите наименьшее значение функции

у = 11 tgx – 11x+ 8 на отрезке.

43.  Найдите наименьшее значение функции

у = 9 tgx – 9x+ 5 на отрезке.

44.  Найдите наименьшее значение функции

у = 12 tgx – 12x+ 4 на отрезке.

45.  Найдите наименьшее значение функции

у = 3 tgx – 3x+ 4 на отрезке.

46.  Найдите наибольшее значение функции

у = 28 tgx – 28x+7p - 9 на отрезке.

47.  Найдите наибольшее значение функции

у = 12 tgx –12x+3p - 7 на отрезке.

48.  Найдите наибольшее значение функции

у = 28 tgx – 28x+7p - 4 на отрезке.

49.  Найдите наибольшее значение функции

у = 24 tgx – 24x+6p-5 на отрезке.

50.  Найдите наименьшее значение функции

у = 8 tgx – 8x - 2p+5 на отрезке.

51.  Найдите точку минимума функции у = (х 4- 8)ех - 8.

52.  Найдите точку минимума функции у = (х + 5)ех-5.

53.  Найдите точку минимума функции у = (х + 3)ех-3.

54.  Найдите точку минимума функции у = (х +9)ех-9.

55.  Найдите точку минимума функции у = (х + 21)ех-21.

56.  Найдите точку максимума функции у = (14 - х)ех+14 .

57.  Найдите точку максимума функции у = (13 - х)eх+13.

58.  Найдите точку максимума функции у = (16 - х)ех+16.

59.  Найдите точку максимума функции у = (18 - х)ех+18.

60.  Найдите точку максимума функции у = (20 - х)ех+20.

61.  Найдите точку минимума функции у = (18 - х)е18-х.

62.  Найдите точку минимума функции у = (21 - х)е21-х.

63.  Найдите точку минимума функции у = (9 - х)e9-х.

64.  Найдите наименьшее значение функции

у =4х-ln(х + 3)4 на отрезке [ -2,5; 0].

65.  Найдите наименьшее значение функции

у =2х-ln(х + 7)2 на отрезке [ -6,5; 0].

66.  Найдите наименьшее значение функции

у =5х-ln(х + 8)5 на отрезке [ -7,5; 0].

67.  Найдите наименьшее значение функции

у =7х-ln(х + 2)7 на отрезке [ -7,5; 0].

68.  Найдите наименьшее значение функции

у =6х-ln(х + 6)6 на отрезке [ -5,5; 0].

69.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(х + х на отрезке [ -7,5; 0].

70.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(х + х на отрезке [ -2,5; 0].

71.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(х + х на отрезке [ -5,5; 0].

72.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(х + 4)4 -4х на отрезке [ -3,5; 0].

73.  Найдите наименьшее значение функции

у =3х-ln(3х)+3 на отрезке .

74.  Найдите наименьшее значение функции

у =12х-ln(12х)+4 на отрезке .

75.  Найдите наименьшее значение функции

у =5х-ln(5х)+12 на отрезке .

76.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(7х)-7х+7 на отрезке .

77.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(5х)-5х+9 на отрезке .

78.  Найдите наибольшее значение функции

у =ln(13х)-13х+10 на отрезке .

79.  Найдите наименьшее значение функции

у =х2-12х+10lnх+12 на отрезке .

80.  Найдите наименьшее значение функции

у =3х2-12х+6lnх+2 на отрезке .

81.  Найдите наименьшее значение функции

у =2х2-11х+7lnх+12 на отрезке .

82.  Найдите точку минимума функции у = (3х2- 48x+48)ех - 48.

83.  Найдите точку минимума функции у = (3х2- 21x+21)ех - 21.

84.  Найдите точку минимума функции у = (2х2- 26x+26)ех - 26.

85.  Найдите точку минимума функции у = (2х2- 30x+30)ех - 30

86.  Найдите точку минимума функции у = (х2- 15x+15)ех - 15.

87.  Найдите точку максимума функции у = (х2- 16x+16)ех+16.

88.  Найдите точку максимума функции у = (3х2- 24x+24)ех+24.

89.  Найдите точку максимума функции у = (2х2- 12x+12)ех+12.

90.  Найдите точку максимума функции у = (2х2- 24x+24)ех+24

91.  Найдите точку минимума функции у = (2х2- 22x+22)е6-х.

92.  Найдите точку минимума функции у = (2х2- 18x+18)е3-х.

93.  Найдите точку минимума функции у = (х2-17x+17)е6-х.

94.  Найдите точку минимума функции у = (2х2- 34x+34)е6-х.

95.  Найдите точку минимума функции у = (х2- 7x+7)е4-х.

96.  Найдите точку максимума функции у = (х2- 14x+14)е3-х.

97.  Найдите точку максимума функции у = (х2- 17х+17)е3-х.

98.  Найдите точку максимума функции у = (х2- 14x+14)е6-х.

99.  Найдите точку максимума функции у = (3х2- 27x+27)е3-х.

100.  Найдите точку максимума функции у = (х-3)2ех-7.

101.  Найдите точку максимума функции у = (х-9)2ех-6.

102.  Найдите точку минимума функции у = (х-7)2ех-8.

103.  Найдите точку минимума функции у = (х-9)2ех-4.

104.  Найдите точку максимума функции у = (х+3)2е2-х.

105.  Найдите точку максимума функции у = (х+10)2е6-х

106.  Найдите точку максимума функции у = (х+7)2е4-х.

107.  Найдите точку максимума функции у = (х+11)2е3-х.

108.  Найдите точку минимума функции у = (х+5)2е2-х.

109.  Найдите точку минимума функции у = (х+13)2е6-х.

110.  Найдите точку минимума функции у = (х+10)2е5-х.

Литература

1.  Зайцев, математика: учебник / . – 3-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004. – 400 с.

3.2.  Кудрявцев, курс высшей математики: учеб. пособие / В. А.  Кудрявцев, . - М. : АСТ, 2008. – 654с.

5.3.  Письменный, лекций по высшей математике: ( в2 ч.) Ч.1 / . - 7-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2007. – 288 с.

4.  ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / , , СЕ. Посицельский, , ; под ред. , .- М.: Издательство «Экзамен», 2011. — 511, [1] с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)

5.  Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М.: Интеллект-Центр, 2011. — 144 с.