Определители. Вычисление определителей (стр. 2 )

3. Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений с неизвестными:

где - коэффициенты, стоящие перед неизвестными; - свободные члены системы ( ).

Рассмотрим решение системы уравнений тремя способами: по формулам Крамера, матричным способом и методом исключения неизвестных – методом Гаусса.

Формулы Крамера.

Определитель, элементами которого являются коэффициенты, стоящие перед неизвестными, называется определителем системы:

Вспомогательные определители: …, составляются путем замены в определителе системы соответствующего столбца столбцом, состоящим из свободных членов:

Решение системы уравнений находится по формулам Крамера:

…,

Если определитель системы , то система имеет единственное решение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместная система уравнений, имеющая единственное решение, называется определенной. Если определитель системы и все вспомогательные определители …, также равны нулю, то такая система является совместной и имеет бесконечно много решений. Совместная система, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Если определитель системы , но хотя бы один из вспомогательных определителей …, отличен от нуля, то такая система не имеет решений. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Пример 3.1. Решить систему уравнений:

Решение. Вычислим определитель системы уравнений:

Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

Вычислим вспомогательные определители:

По формулам Крамера находим решение системы:

Матричный способ.

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, т. е. матрица

называется матрицей системы, а матрица-столбец, составленная из величин

называется столбцом свободных членов. Составим еще матрицу-столбец неизвестных:

Тогда система уравнений в матричной форме примет вид:

Если то получим решение матричного уравнения:

На данной формуле и основан матричный способ решения систем линейных уравнений.

Пример 3.2. Решить матричным способом систему уравнений:

Решение. Для данной системы

Матрица, обратная к матрице , имеет вид:

Подставляя в формулу для решения матричного уравнения, имеем:

Таким образом,

Метод исключения неизвестных – метод Гаусса.

Рассмотрим систему m – линейных уравнений с n – неизвестными:

Суть метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к равносильной матрице ступенчатого вида. Это и есть прямой ход метода Гаусса.

На основании полученной ступенчатой матрицы составляется новая система уравнений, равносильная исходной, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, находятся все неизвестные; это суть обратного хода метода Гаусса.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

где – числа, отличные от нуля.

Элементарные преобразования матрицы:

1)  отбрасывание строки, в которой все элементы равны нулю;

2)  умножение всех элементов строки матрицы на число, не равное нулю;

3)  изменение порядка строк матрицы;

4)  прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на любое число.

Пример 3.3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

вычитая из элементов 3-й строки элементы 1-й, а из элементов 2-й строки элементы 1-й, умноженные на два, получим: Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й, умноженные на семь, и поменяем местами 2-ю и 3-ю строки: Запишем систему уравнений с новыми коэффициентами:

Применим обратный ход метода Гаусса:

Решение системы:

Решить следующие системы уравнений:

3.1. 3.2. 3.3.

3.4. 3.5. 3.6.

3.7. 3.8. 3.9.

3.10. 3.11. 3.12.

3.13. 3.14. 3.15.

3.16. 3.17. 3.18.

3.19. 3.20. 3.21.

3.22. 3.23. 3.24.

3.25. 3.26. 3.27.

3.28. 3.29. 3.30.

3.31. 3.32. 3.33.

3.34. 3.35. 3.36.

3.37. 3.38. 3.39.

3.40. 3.41. 3.42.

3.43. 3.44. 3.45.

3.46. 3.47. 3.48.

3.49. 3.50. 3.51.

3.52. 3.53. 3.54.

3.55. 3.56.

3.57. 3.58.

4. Размерность и базис векторного пространства

n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде , где – i-я компонента вектора x.

Векторным пространством R называется множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где – действительные числа.

Векторы векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что выполняется равенство:

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Пример 4.1. Являются ли векторы линейно зависимыми.

Решение. Составим векторное равенство:

Запишем в виде вектор-столбцов:

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений:

Преобразуем систему методом Гаусса:

~ ~ ~ .

Если C – произвольное число.

Пусть C=1, тогда: следовательно, эти векторы – линейно зависимые.

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов уже являются зависимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Равенство

где – векторы базиса n-мерного пространства R, – не равные одновременно нулю числа, называется разложением вектора x по базису , а числа – координаты вектора x относительно этого базиса.

Пример 4.2. В базисе заданы векторы . Показать, что векторы образуют базис.

Решение. Векторы должны быть линейно независимыми. Составим векторное равенство:

Решим систему уравнений:

, следовательно, – единственное нулевое решение.

Таким образом, векторы образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис.

Переход к новому базису

В пространстве имеются два базиса: старый – и новый – . Векторы нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода:

.

Коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы матрицы. Матрица A – неособенная. Обратный переход от нового базиса к старому осуществляется с помощью обратной матрицы .

Зависимость между координатами вектора x относительно старого и нового базисов:

В матричной форме:

или .

Пример 4.3. Вектор , заданный в базисе , выразить в базисе .

Решение. Связь между базисами:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид: .

Вычислим обратную матрицу: D(A)=4; ; .

Таким образом, .

Новые координаты вектора в базисе . Вектор b может быть представлен в виде: .

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

Выяснить, образуют ли векторы p, q, r базис. Если образуют, то разложить вектор x по этому базису.

4.11. 4.12. 4.13. 4.14.

4.15. 4.16. 4.17. 4.18.

4.19. 4.20. 4.21. 4.22.

4.23. 4.24. 4.25. 4.26.

Вектор b, заданный в базисе e1, e2, e3, выразить в базисе a1, a2, a3.

4.27. 4.28. 4.29. 4.30.

4.31. 4.32. 4.33. 4.34.

4.35. 4.36. 4.37. 4.38.

4.39. 4.40. 4.41. 4.42.

5. Линейные операторы. Квадратичные формы

Рассмотрим два линейных пространства: – размерности n и – размерности m.

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из и , и записывают .

Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства и любого числа выполняются соотношения:

1.  – свойство аддитивности оператора;

2.  – свойство однородности оператора.

Вектор называется образом вектора x, а сам вектор x – прообразом вектора y.

Связь между векторами x и y представляется в следующем виде:

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы A – рангом оператора .

Связь между вектором x и его образом можно выразить в матричной форме уравнением:

,

где A – матрица линейного оператора, – матрицы-столбцы из координат векторов x и y.

Пример 5.1. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ вектора .

Решение. По формуле , имеем

, следовательно, .

Матрицы A и одного и того же линейного оператора в разных базисах и связаны соотношением:

,

где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 5.2. В базисе оператор имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе

Решение. Матрица перехода , а обратная к ней матрица , следовательно, по формуле , получаем:

.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что .