Определители. Вычисление определителей (стр. 1 )

1. 

2. 

3.  Определители. Вычисление определителей

Определителем второго порядка называется число

где элементы и образуют главную диагональ, а элементы и - побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Определителем третьего порядка называется число

Правая часть выражения представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах. Для вычисления определителей третьего порядка используется правило треугольников (правило Саррюса):

В основе лежит главная диагональ. Вершины треугольников с одной из сторон параллель-ной главной диагонали. Произведения взяты со знаком «+».	В основе лежит побочная диагональ. Вершины треугольников с одной из сторон параллель-ной побочной диагонали. Произведения взяты со знаком «–».

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -порядка, получаемый в результате вычеркивания в определителе -го порядка строки и столбца, содержащих элемент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком «+» или «–» в зависимости от того является ли сумма номеров строки и столбца на пересечении которых стоит данный элемент четным или нечетным числом.

Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

где

где

Данные выражения называются соответственно разложениями определителя по элементам -строки и -столбца.

Пример 1.1. Вычислить определитель .

Решение. Используя правило треугольников, получаем

Пример 1.2. Вычислить определитель , разлагая его по элементам третьего столбца.

Решение.

Если в определителе -го порядка имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по элементам данного столбца (строки), можно свести вычисление определителя -го порядка к вычислению единственного определителя порядка . Если же в определителе -го порядка нет такого столбца (строки), то используя свойства определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его таким образом, чтобы все элементы некоторого столбца (строки) обратились в нуль, кроме одного.

Пример 1.3. Вычислить определитель

Решение. К третьей строке прибавим первую:

к первой строке прибавим третью, умноженную на 2, ко второй – третью, умноженную на -2, к четвертой – третью, умноженную на -2, а затем разложим полученный определитель по элементам первого столбца, получим:

ко второй строке прибавим первую, умноженную на 5, к третьей – первую, умноженную на -2, получим:

Вычислить следующие определители:

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. 1.31. 1.32. 1.33. 1.34. 1.35. 1.36. 1.37. 1.38. 1.39. 1.40. 1.41. 1.42. 1.43. 1.44. 1.45. 1.46. 1.47. 1.48. 1.49. 1.50. 1.51. 1.52. 1.53. 1.54. 1.55. 1.56.

2. Матрицы. Действия с матрицами. Вычисление ранга матрицы

Матрицей размера называется таблица чисел, содержащая строк и столбцов:

Для обозначения элементов матрицы используется система двух индексов: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которых расположен данный элемент.

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов. Элементы квадратной матрицы образуют ее главную диагональ. Если все элементы матрицы, расположенные вне главной диагонали равны нулю, то такая матрица называется диагональной. Если все элементы диагональной матрицы, расположенные на главной диагонали, равны единице, то такая матрица называется единичной.

Сложение матриц. Суммой матриц и , имеющих одинаковый размер, называется матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и :

Умножение матрицы на число. При умножении матрицы на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример 2.1. Выполнить следующие действия:

Решение.

Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу возможно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения матрицы на матрицу получится матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Произведение матриц некоммутативно, т. е. Если же равенство выполняется, то говорят, что матрицы и коммутируют.

Пример 2.2. Вычислить произведение матриц:

Решение. Перемножаемые матрицы имеют размеры и , их произведение возможно и имеет размер .

Деление матриц. Умножение матриц обладает обратной операцией. Будем рассматривать только квадратные матрицы. Если определитель матрицы отличен от нуля, то матрица называется неособенной (невырожденной). В противном случае – особенной (вырожденной). Так как произведение матриц является некоммутативным, поэтому частным от деления матрицы на матрицу можно назвать такую матрицу , что , и, с другой стороны, такую матрицу , что .

При делении особую роль играет обратная матрица. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если где - единичная матрица. Если в квадратной матрице заменить каждый элемент его алгебраическим дополнением, а затем транспонировать (заменить все строки соответствующими по номеру столбцами), то получится матрица:

Матрица называется присоединенной матрицей для матрицы .

Обратной для матрицы служит матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на определитель матрицы . Обратная матрица существует только у неособенной матрицы.

Таким образом, если даны неособенная квадратная матрица и произвольная матрица , то можно разделить матрицу на матрицу , то есть, можно решить матричные уравнения:

, .

Для решения данных уравнений достаточно положить:

Решением матричного уравнения будет матрица

Пример 2.3. Найти матрицу, обратную к матрице:

Решение. Определитель данной матрицы , матрица является неособенной, а, следовательно, имеет обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

Находим обратную матрицу :

Пример 2.4. Решить матричное уравнение:

Решение. Введем обозначения:

тогда следовательно,

Рангом матрицы называется наибольший из порядков определителей, отличных от нуля, порожденных данной матрицей.

Всякая матрица обладает рангом. Если все элементы матрицы равны нулю, то и ранг такой матрицы будет равен нулю.

Как правило, матрицы порождают большое количество определителей и поэтому вычисление ранга матрицы непосредственно основанное на вычислении определителей весьма затруднительно. Существуют особые приемы, значительно облегчающие вычисление ранга. Итак, ранг матрицы не меняется, если:

1)  все строки заменить столбцами;

2)  поменять местами две строки (столбца);

3)  умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля;

4)  сложить одну строку (столбец) с другой строкой (столбцом), увеличенной в k раз.

Пример 2.5. С помощью элементарных преобразований определить ранг матрицы:

Решение. В 4-й строке сократим общий множитель «5»:

Из 3-й и 4-й строк вычтем 2-ю и поменяем местами столбцы:

Сократим общий множитель «-9» в 4-й строке и вычтем из 2-й 1-ю:

Определитель 4-го порядка, порожденный такой матрицей, отличен от нуля, а, следовательно, ранг матрицы равен 4.

Вычислить произведения матриц:

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25. 2.26. 2.27. 2.28.

Найти обратную матрицу для следующих матриц:

2.29. 2.30. 2.31. 2.32. 2.33. 2.34. 2.35. 2.36. 2.37. 2.38. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43. 2.44. 2.45. 2.46. 2.47. 2.48. 2.49. 2.50. 2.51. 2.52. 2.53. 2.54. 2.55. 2.56.

Решить матричные уравнения:

2.57. 2.58. 2.59. 2.60. 2.61. 2.62. 2.63. 2.64. 2.65. 2.66. 2.67. 2.68. 2.69. 2.70. 2.71. 2.72. 2.73. 2.74. 2.75. 2.76. 2.77. 2.78. 2.79. 2.80. 2.81. 2.82. 2.83.

Найти ранг следующих матриц:

2.84. 2.85. 2.86. 2.87. 2.88. 2.89. 2.90. 2.91. 2.92. 2.93. 2.94. 2.95. 2.96. 2.97. 2.98. 2.99. 2.100. 2.101. 2.102. 2.103. 2.104. 2.105. 2.106. 2.107. 2.108. 2.109. 2.110. 2.111. 2.112. 2.113. 2.114.